高中数学概率大题(经典一)

中学数学概率大题（经典一）一．解答题（共10小题）1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参与竞赛．（1）假如随机抽派5名队员上场竞赛，将主力队员参与竞赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习竞赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；则为了场上参与竞赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客起先办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟起先办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列与数学期望．3．某单位举办2010年上海世博会学问宣扬活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精致卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会祥瑞物）图案；抽奖规则是：参与者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参与者接着重复进行．（1）有三人参与抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列与Eξ的值．4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布与数学期望；（3）假如取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，肯定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面对上的次数为奇数的概率为P1，正面对上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币匀称，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面对上的概率为，试比较P1与P2的大小．7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，依据统计资料预料，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了爱护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一爱护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵挡一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不实行措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．8．2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京高校和清华高校的共计6名高校生志愿服务者被随机平均安排到天安门广场运输矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运输矿泉水岗位至少有一名北京高校志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京高校、清华高校的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京高校、清华高校人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京高校志愿者的人数，求ζ分布列与期望．9．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列与其数学期望Eξ．10．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．

参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参与竞赛．（1）假如随机抽派5名队员上场竞赛，将主力队员参与竞赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习竞赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；则为了场上参与竞赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X=0时，表示主力队员参与竞赛的人数为0，以此类推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由题意知①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种．2．（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客起先办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟起先办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列与数学期望．【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事务“第三个顾客恰好等待4分钟起先办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且其次个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且其次个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和其次个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X全部可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且其次个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．3．（2012•海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会学问宣扬活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精致卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会祥瑞物）图案；抽奖规则是：参与者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参与者接着重复进行．（1）有三人参与抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列与Eξ的值．【解答】解：（1）记至少一人获奖事务为A，则都不获奖的事务，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，∴，由题意：，∴n≥7．至少7张“海宝”卡，（2）ξ～的分布列为；，．4．（2011•江苏模拟）一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布与数学期望；（3）假如取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事务的概率，∵试验发生包含的事务是从9个球中任取2个，共有C92=36种结果，满意条件的事务是取出的2个球的颜色相同，包括三种状况，共有C42+C32+C22=10设“取出的2个球颜色相同”为事务A，∴P（A）==．（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P（ξ=0）=P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列是∴Eξ=0×+1×+2×=．（3）由题意知本题是一个等可能事务的概率，事务发生所包含的事务数Cx+52，满意条件的事务是Cx1C31+Cx1C21+C31C21，设“取出的2个球中颜色不相同”为事务B，则P（B）=＜，∴x2﹣6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3﹣，x的最小值为6．5．（2010•鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，肯定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事务的概率，试验发生的全部事务是从6个球中取三个，共有C63种结果，而满意条件的事务是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C21C42+C22C41设“一次抽奖中奖”为事务A，∴即一次抽奖中奖的概率为；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，∴X的概率分布列为∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．6．（2010•盐城三模）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面对上的次数为奇数的概率为P1，正面对上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币匀称，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面对上的概率为，试比较P1与P2的大小．【解答】解：（Ⅰ）抛硬币一次正面对上的概率为，∴正面对上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=∴（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1则P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15=[（1﹣p）﹣p]15=（1﹣2p）15，而，∴1﹣2p＞0，∴P2＞P17．（2010•南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，依据统计资料预料，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了爱护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一爱护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵挡一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不实行措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．【解答】解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事务A，“乙河流发生洪水”为事务B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•+•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（•）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000600000P0.340.0450.615（2）对方案1来说，花费4000元；对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵挡一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．8．（2010•海安县校级模拟）2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京高校和清华高校的共计6名高校生志愿服务者被随机平均安排到天安门广场运输矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运输矿泉水岗位至少有一名北京高校志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京高校、清华高校的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京高校、清华高校人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京高校志愿者的人数，求ζ分布列与期望．【解答】解：（1）记“至少一名北京高校志愿者被分到运输矿泉水岗位”为事务A，则A的对立事务为“没有北京高校志愿者被分到运输矿泉水岗位”设有北京高校志愿者x个，1≤x＜6，则P（A）=，解得x=2，即来自北京高校的志愿者有2人，来自清华高校志愿者4人；（2）记“清扫卫生岗位恰好北京高校、清华高校志愿者各有一人”为事务E，则P（E）=，所以清扫卫生岗位恰好北京高校、清华高校志愿者各一人的概率是；（3）ξ的全部可能值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，所以ξ的分布列为Eξ=9．（2010•苏州模拟）在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列与其数学期望Eξ．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事务的概率，试验发生所包含的事务数C93，满意条件的事务3个数中至少有1个是偶数，包含三种状况一个偶数，两个偶数