青岛版数学九年级上册专题突破讲练：四点共圆问题大盘点

初中数学四点共圆问题大盘点编稿老师田莉凤一校杨雪二校黄楠审核杨国勇1.四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。2.四点共圆常用的判定方法：判定1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。假如：OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。假如：△ABD和△BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。假如：A、D在公共边BC同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆。判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。假如：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则A、B、C、D四点共圆。判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）例题（郑州模拟）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F。（1）求证：A、E、F、D四点共圆；（2）若正△ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径。解析：（1）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=180°，即可证得A，E，F，D四点共圆；（2）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为。答案：（1）证明：∵AE=AB，∴BE=AB，∵在正△ABC中，AD=AC，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=180°，所以A，E，F，D四点共圆。（2）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，∵AE=AB，∴AG=GE=AB=，∵AD=AC=，∠DAE=60°，AB=AC∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为。点拨：本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理实力与分析运算实力的考查，属于难题。【方法定位】将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面仔细分析、思索，即可发觉，适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能奇妙地找到解决问题的途径。也就是说，四点共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。例题（河南模拟）如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H。（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）若GH=6，GE=4，求EF的长。解析：（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆；（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE·GF=GC·GD。由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC·GD，进而得到GH2=GE·GF。即可答案：证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE。∴C，D，E，F四点共圆；（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF=GC·GD。∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC·GD，∴GH2=GE·GF。又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。∴EF=GF－GE=9－4=5。点拨：娴熟驾驭圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。此题综合性较强，涉及学问点较全面。（答题时间：30分钟）一、选择题1.锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成四点共圆的组数是（）A.4组B.5组 C.6组 D.7组2.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。其中正确的是（）A.①② B. ①③ C.②③D.①②③3.如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为100°、40°，则∠P的度数为（）A.40° B.35°C.60° D.30°4.（高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（）A.B. C. D.5.已知Pi（i=1，2，3，4）是抛物线y=x2+bx+1上共圆的四点，它们的横坐标分别为xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0的根，则二次函数y=x2+bx+1的最小值为（）A.－1B.－2 C.－3 D.－4二、填空题6.如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为。7.（济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=度。8.已知△ABC的中线AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四点共圆，则CK=。**9.如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B，E，F，C四点共圆。若DB=BE=EA，则过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为。三、解答题10.（太原模拟）如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E。AD⊥DC，D为垂足。（1）求证：A、D、F、B四点共圆；（2）求证：EF=FB。*11.（贵阳模拟）如图，AP是圆O的切线，A是切点，AD⊥OP于D点，过点P作圆O的割线与圆O相交于B，C两点。（1）证明：O、D、B、C四点共圆。（2）设∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC的大小。*12.（长春模拟）如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。（1）求证：E、H、M、K四点共圆；（2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。一、选择题1.C解析：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组。故选C。2.C解析：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示，∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，∴四边形ENFM是平行四边形，①当AC=BD时，则有EM=EN，所以平行四边形ENFM是菱形，而菱形的四个顶点不肯定共圆，故①不肯定正确；②当AC⊥BD时，由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°，所以平行四边形ENFM是矩形，则有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四点共圆，故②正确；③当AC=BD且AC⊥BD时，同理可得：四边形ENFM是正方形。则有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四点共圆，故③正确。故选C。3.D解：连接BD，∵=100°，∴∠ADB=100°×=50°，又∵=40°，∴∠B=20°，在△DBP中，∠P=∠ADB－∠B=50°－20°=30°。故选D。4.B解：连接BD，AB是直径，则∠ADB=90°，∴∠CDB=∠BCM=60°，∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°，∵∠CBA=180°－∠CDA=30°，∴tan∠ABC=tan30°=，故选B。5.C解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。所以由（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0可知，该抛物线的对称轴为x=2。则b=－4。所以最小值为。二、填空题6.解：作OF⊥ED于点F，∵AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，∴∠AOB=90°+∠C，CO平分∠ACB，又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，∴90°+∠C＋∠C=180°在AB上截取AM=AE，可得△AOE△AOM∴OE=OM，∵∠DOE=120°，∴∠EOA=∠AOM=∠DOB=∠BOM=60°，∴△BOM△BOD∴OD=OM，∴OD=OE，∴∠OED=∠ODE=30°，∴FD=，tan30°=，∴FO=，OD=OE=，∴△ODE的周长为：2+3，∴△ODE的面积为：×3×=，∴△ODE的内切圆半径为，故答案为：。7.解：∵AB=AC=AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD所对的圆周角，∠CAD是弧CD所对的圆心角；∵∠CAD=76°，∴∠CBD=∠CAD=×76°=38°。8.解：作△ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，则∵K，D，C，E四点共圆，DE∥BA∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC，∴AK∥HB，∵D为BC的中点∴点K是CH的中点，即CK=KH，又K是重心，∴FK=HF=CF，由相交弦定理，得BF×FA=CF×FH，∴·=CF2，∴CF=，∴CK==1，故答案为1。9.解：如图所示，连接EF。∵DC是△ABC的外接圆的切线，∴∠DCB=∠EAF，∵BC·AE=DC·AF，∴，∴△BCD≌△FAE，∴∠CBD=∠AFE，∵B、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠CBE，∴∠CBD=∠CBE，又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°，∴AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径。不妨设DB=1，则BE=EA=DB=1，由切割线定理可得：DC2=DB•DA=1×3，，在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE。∴CE=DC=，在Rt△CBE中，BC2=CE2－BE2=，在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=。故答案为。三、解答题10.证明：（1）∵FB是半圆O的切线，∴∠ABF=90°，又∵AD⊥DC，∴∠ADF=90°，∴A，D，F，B四点共圆。（2）解：连接BC，则BC⊥AC，∵DF是半圆的切线，∴∠DCA=∠ABC，∵∠DCA=∠ECF，∴∠ECF=∠ABC，在Rt△ABE中，BC⊥AE，∴∠ABC=∠E，∴∠ECF=∠E，∴EF=FC，∵FC，FB是半圆的切线，∴FC=FB，∴EF=FB。11.解：（1）证明：∵AP是圆O的切线，A是切点，∴OA⊥AP，∵AD⊥OP，∴AP2=PD·PO，∵AP是圆O的切线，PBC是圆O的割线，∴AP2=PB·PC，∴PD·PO=PB·PC，∵∠DPB=∠CPO，∴△DPB∽△CPO，∴∠PDB=∠PCO，∴O，D，B，C四点共圆；（2）解：连接OB，则∠OBC=∠