新高考数学一轮复习题型归类与强化测试39数列求和2

专题39数列求和

知考纲要求

识

考点预测

梳

理常用结论

方法技巧

题题型一：分组转化求和

型

题型二：错位相减法求和

归

类题型三：裂项相消法求和

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强

单选题：共8题

化

多选题：共4题

测

试填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.熟练掌握等差、等比数列的前"项和公式.

2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.

【考点预测】

数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

(1)等差数列的前〃项和公式：

„n(ai+an),«(«-1)_,

S=—---------=nai-\--d.

n22

⑵等比数列的前"项和公式：

,q=L

S”="一。应’1(1—4"),

.\~q1-q

2.分组求和法与并项求和法

(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和

后相加减.

(2)形如斯=(—lyys)类型，常采用两项合并求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即

可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(2)常见的裂项技巧

【常用结论】

1.1+2+3+4H——卜〃="(〃+1)

〃〃

2+22+…+〃2=n(+1)(2+1)

6

3.裂项求和常用的三种变形

1__L

(n(〃+1)

nn~\-1

(2)------------------------12n-\-1

(2//—1)(2〃+1)2

4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况

求解.

【方法技巧】

1.分组转化法求和的常见类型

(1)若斯=s土以，且｛6〃｝,｛金｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛斯｝的前九项和.

An为奇数

(2)通项公式为斯=・一的数列，其中数列｛幻｝,匕"｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法

Cn,n为偶数

求和.

2.用错位相减法求和的策略和技巧

(1)掌握解题“3步骤”

(2)注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

②在写出“S,”与“qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S"—qS「的表达

式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q=l和两种情况求解.

3.裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目

的，其解题的关键就是准确裂项和消项.

①裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

②消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

［注意］利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消

消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.

二、【题型归类】

【题型一】分组转化求和

【典例1】已知等差数列｛许｝的前〃项和为a,且关于x的不等式aix2-5zx+2<0的解集为(1,

2).

(1)求数列｛服｝的通项公式；

(2)若数列｛儿｝满足bn=a2„+2a„-\,求数列｛bn｝的前n项和T„.

【典例2］已知数列｛a„｝的通项公式是念=23口+(—l)"(ln2—In3)+(—3,求其前n项

和S“.

【典例3］已知各项都不相等的等差数列｛斯｝,然=6,又0,。2,。4成等比数列.

(1)求数列｛以｝的通项公式；

(2)设b„=2“"+(-1)%„求数列｛b„｝的前2"项和T2m

【题型二】错位相减法求和

【典例1】设｛。〃｝是公比不为1的等比数列，为。2,。3的等差中项.

(1)求｛诙｝的公比;

(2)若01=1,求数列的前〃项和.

【典例2】已知数列他“｝的前〃项和为S”ai=-1,且4a+i=3S“一9MdN*).

(1)求数列｛©,｝的通项公式；

(2)设数列｛儿｝满足36“+(〃―4)以=O(〃GN*),记也”｝的前〃项和为7k若4W心“,对任意〃dN*恒成立,求

实数力的取值范围.

【典例3】在①&=2斯+1；②的=—1,log2(a“a〃+i)=2〃一l；③雇+1=斯斯+2,&=­3,6=

—4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.

问题：已知单调数列｛斯｝的前〃项和为且满足.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)求数歹U｛—〃斯｝的前〃项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【题型三】裂项相消法求和

【典例1】数列｛以｝的前〃项和为S”m=l.现在给你三个条件.①诙+1=2丽②5"=2°"+匕③S“=2"+无从

上述三个条件中.选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答.

已知，若，”=log2a”+i,｛6〃｝的前n项和为Tn.

(1)求Tn；

(2)求证：数列“的前〃项和4<2.

【典例2】数列｛。“｝满足。1=1,7点+2=。”+1(〃GN*).

(1)求证：数列｛忌｝是等差数列，并求出｛斯｝的通项公式；

(2)若Z>„=—f—,求数列｛b„｝的前〃项和.

2

【典例3］在①数列的前n项和51„=1«+|«；②加一斯一晶.1一斯_i=0(〃N2N*)，an

>0，且ai=Z>2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的"存在,求出河

的最小值；若/不存在，说明理由.

’1、

数列｛儿｝是首项为1的等比数列，bn>062+63=12，且>设数列anlog3bn+\.的

前〃项和为Tn>是否存在/©N*，使得对任意的〃©N*，Tn<M?

三、［培优训I练］

【训练一】［校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.

规格为20dmX12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX6dm两种规

格的图形，它们的面积之和S=240dm2,对折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三种规格的图形，它们的面积之和§2=180dn?,以此类推，则对折4次共可以

n

得到不同规格图形的种数为;如果对折〃次，那么？科=dm2.

【训练二】已知数列/二方『,£方看,£L］或金…(其中第一项是以‘接下来

的22—1项是2W'会，再接下来的23—1项是「|\',依此类推)'其前n项和

为出，则下列判断正确的是()

210—1

是｛斯｝的第2036项

B.存在常数M，使得恒成立

C.52036=1018

D.满足不等式y>1019的正整数〃的最小值是2100

【训练三】已知等差数列｛斯｝中，05—03=4,前〃项和为S“，且S2,邑一1,S4成等比数列.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)令d=(—1)TJ求数列｛b„｝的前n项和Tn.

【训练四】在等差数列｛斯｝中，已知06=12,418=36.

(1)求数列｛斯｝的通项公式。“；

(2)若,求数列｛瓦｝的前〃项和S”

在①儿=^^,②6“=(-1产a,”③儿=2%•a”这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.

【训练五】已知数列｛为｝是正项等比数列,满足“3是2对,3放的等差中项,04=16.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)若C=(-l)"log2a2"+1,求数列｛小｝的前〃项和Tn.

【训练六】已知｛为｝为等差数列,｛儿｝为等比数列，01=61=1,45=5(<24—。3),65=4(64—63).

⑴求。｝和仇｝的通项公式；

(2)记｛4”｝的前〃项和为求证：S5+2〈忌+1(〃GN*)；

⑶对任意的正整数〃，设c〃=

.(3a〃-2)〃为奇数，

a”斯+2

—,〃为偶数，

b“+1

求数列｛c“｝的前2〃项和.

四、【强化测试】

【单选题】

1.数列｛斯｝的通项公式是a“=(—1)"(2〃-1),则该数列的前100项之和为()

A.-200B.-100C.200

2.已知数列｛斯｝满足斯+1一。"=2,ai=—5,则⑶|+|a21H--卜|熊|=()

A.9B.15C.18

3.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十

七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传意为：“996斤棉花，分别赠送给8

个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定

要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩

子分到的棉花为（）

斤斤

斤斤

4.在数列｛念｝中，若41=1,42=3,斯+2=.+1—斯（〃七N*）,则该数列的前100项之和是（）

A.18B.8C.5

5.已知函数人x）=〃+6（a>0,且的图象经过点P（l,3）,0（2,5）.当〃6N*时，0=人：,二口,记

数列｛斯｝的前〃项和为S,,当a=热，〃的值为（）

A.7B.6

C.5D.4

6.在数列｛斯｝中，若“1=1,42=3,an+2=an+i—an（neN*）,则该数列的前100项之和是（）

A.18B.8

C.5D.2

7.已知数列｛服｝满足m=2,4a3=然，是等差数列，则数列｛（一1）"斯｝的前10项的和$0是（）

A.220B.110

C.99D.55

8.数列｛斯｝满足劭+1=（—1）"+%〃+2〃一1，则数列｛为｝的前48项和为（）

A.1006B.1176

C.1228D.2368

【多选题】

9.设出是数列｛诙｝的前〃项和，且ai=—1，a”+i=SS+i，则（）

A.数列H为等差数列

B.S=--

nn

—1577=1，

C-%=-1——i，〃三2，“GN+

n~\n

111

Dn.------_i1-_------_L1-----।H-〃-----1-

S1S2S2s3Sn-lSn〃

10.已知数列｛呢｝为等差数列，首项为1，公差为2.数列｛儿｝为等比数列，首项为1，公比为2.

设c„=abn-Tn为数列｛c„｝的前〃项和，则当Tn<2019时，〃的取值可能是()

A.8B.

C.10D.11

已知数列｛〃｝：［，

11.a-F—+---1-----…，若儿=—"—,设数歹U

23344410101010an-a„+i

｛儿｝的前"项和S”则()

._n„

——D.dn—77

〃+17?+1

12.已知数列｛斯｝的前〃项和为和，且有(。1+。2+…+念)斯=(。1+。2+…+斯一1)斯+i(〃N25n

'1,

£N*)，m=42=1.数列［log2s〃+1•log2sMi的前〃项和为A，则以下结论正确的是()

A.an=\B.S〃=2"—1

n—I—1

C.Tn=—D.｛T〃｝为增数列

n+3

【填空题】

13.已知数列｛斯｝的首项为-1,奥斯+1=—2",则数列｛念｝的前10项之和等于.

14.已知数列｛诙｝满足ai=1,且&+1+勿=〃-1009(〃WN*),则其前2021项之和82021=

15.已知数列｛〃斯｝的前〃项和为S„,且an=2",且使得〃斯+1+500的最小正整数〃的值

为.

16.设数列｛。“｝的前力项和为S”且内=1,即+即+1=£("=1,2,3,…)，则S20-1=.

【解答题】

17.已知在等差数列｛斯｝中，S”为其前〃项和,且的=5,5