2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二年级下册开学考试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二下册开学考试数学

模拟试题

一、单选题

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},5={x|-l<x<2|,则408=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.“x=l”是“。-1)(》-2)=0”的()条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设2=乌上，则|司=()

1

A.72B.y/5C.2D.5

4.不等式2*-'>4的解集为()

A.(-00,-1)B.(-1,2)

C.(-co,-1)0(2,+co)D.(-00,2)5-1,+°°)

5.已知矩形力8CD中，E为NB边中点,，线段NC和。E交于点尸，则丽=()

A.一一AB+-ADB.-AB---AD

3333

2—1—2—

C.—AB——ADD.

3333

6.己知实数a>b>0>c,则下列结论一定正确的是()

A-公B.(J>(3

C.—<-D.a2>c2

ac

7.已知{。〃}是等差数列，且4+/=4叼4=-6,则该数列的公差是()

A.3B.-C.—4D.-14

4

8.过点(。,3)且与曲线y=x3-2x+l相切的直线方程为()

A.x-y-3=0B.x-y+3=0C.x+y+3=0D.x+y-3=0

二、多选题

9.下列命题正确的是()

A.垂直于同一个平面的两平面平行

B.两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等

C.一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行

D.一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行

10.函数/(x)=Nsin(0x+g)(/>0,。>0,04s42兀)的部分

图像如图所示，则下列说法正确的是()

71%

A.<y=-B.7=12C.(p=~

66

11.已知圆。:/+/-2》-8=0,直线/：y=Mx+l)+l,贝ij

()

A.圆C的圆心为(1,0)B.点(T,D在/上

C./与圆C相交D./被圆C截得的最短弦长为4后

12.函数

/(x)=ax3+bx2+cx+d*0)的图

象如图所示，设/'(x)是函数“X)的

导函数，则下列结论正确的是()

人./编)>0的解集是(2,5)

B.3Q+26+C=0

C.X=2时，/'(X)取得最大值

D./(x)/(x)>0的解集是(e,-l)U(1,2)U(3,5)

三、填空题

13.函数/(x)=j2+3x+f的定义域为

兀

14.己知ae2，nsina=—,则COS(兀—a)=

15.已知事件/发生的概率为0(4)=0.3,则它的对立事件彳发生的概率

P(A)=.

16.某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件

的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机

抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,40),

[40,50),…，[90,100],整理得到如下频率分布直方图.这1000

名用户满意度的第25百分位数是.

四、解答题

17.已知函数/(x)=sinxcosx+gsiifx.

(1)求函数/(X)的最小正周期T;

(2)求函数/(x)的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x的值.

18.已知等差数列｛%｝满足：6=10,且%+1。,%+8,%+6成等比数列.

(1)求数列｛〃.｝的通项公式；

，、,1

(2)若数列也｝的通项公式为»=S_8)(“一6)求数列也｝的前〃项和S,,.

19.如图，四边形是正方形，平面NBC。，EB//PA,

AB=PA=4,EB=2,尸为尸。的中点.

⑴求证:AF1PC；

(2)求二面角。-尸C-E的大小.

20.已知椭圆C:1+y2

l(a>6>0)的左右焦点分别为片，鸟,椭圆C经过点次0焦),且直

aF

线”尸2，与圆/+/=2相切.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线了=6+1(左>0)与椭圆C交于P,0两点，点〃在x轴上，且满足砺•闻+说・网=0,

求点M横坐标的取值范围.

21.某校在2022年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40

名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组［75,80),第

2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］,

得到的频率分布直方图如图所示.且同时规定成绩小于85分的

学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成

绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试

(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；

(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人,再从这5人中选2人发言,

那么这两人都“优秀”的概率是多少？

(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前22%

的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能宜接

进入复试？

3

22.已知函数/(》)=4111丫+5/-(4+3)》,4€1^.

(1)若曲线y=〃x)在点(2,7(2))处的切线的斜率为4,求。的值；

(2)当a>0时，求"X)的单调区间；

(3)已知/(x)的导函数在区间(l,e)上存在零点.求证：当xe(l,e)时，

答案:

1.A

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

【详解】因为/={-2,-1,0,1,2},8={x[-l<x<2},

所以4门8={0』},

故选：A.

2.A

【分析】根据题意，由充分性必要性的定义，分别验证即可得到结果.

【详解】根据题意，显然当x=-l,可得(x-lg-2)=0成立，所以充分性满足；

当(x-l)(x-2)=0时，可得x=l或x=2,所以必要性不满足；

即“x=—1”是“红-12-2)=0”的充分不必要条件.

故选:A.

3.B

【分析】将复数化简后再求共辗复数的模长，

一2+il

【详解】解：z=—=l+2i,Z=l-2i,/.|z|=^5.

i

故选:B.

4.C

【分析】由题意可得—-x-2>0,解此不等式即可.

【详解】解：因为2**>402/-、>220》2-工>20/-》_2>0，

所以(x-2)(x+1)>0,

解得x>2或x<-l,

所以不等式的解集为.(-8,-1)7(2,”)

故选：C.

5.D

【分析】取CO中点G,可证得四边形8EDG为平行四边形，得到BG//DE,结合三角形中

位线性质可确定尸为/C上靠近A的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.

【详解】取C。中点G,连接BG,交“C于点”，

,:BE=DG,8E=OG,.,.四边形8EOG为平行四边形，

BG//DE,又E为中点、，；.AF=FH,同理可得：CH=FH,

.•.万==存+砌，

:.BF^BA+JF^-AB+-(AB+Ab'\^--AB+-Ab.

3、>33

故选：D.

6.A

【分析】由不等式的性质，逐个验证选项的结果.

【详解】A选项中，因为a>6>0>c,所以；>0>色，故A选项正确；

bc

B选项中，因为函数》=(；]在R上单调递减且”>c,所以故B选项错误：

C选项中，因为a>O>c,则工>0>1,故C选项错误；

ac

D选项中，若a=l,c=-2,满足a>O>c,但〃2<《2,故D选项错误.

故选：A.

7.A

【分析】设数列｛即｝公差为力首项为％,则由4+%=4%%=-6可得关于q和d的

方程组.

【详解】设数列｛"〃｝公差为力首项为％,贝I」由4+〃9=4叼4=-6可得：

+10d=4q+16d1q=一9

[a.+d=-6=[1=3.

故选：A

8.B

【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线斜率，得到切线方程，代入切线过的点，求出未

知数即可得到方程.

【详解】由y=r-2x+l,则J/=312一2，

设切点坐标为(%,与3-2%+1),则切线的斜率4=3/2-2,切线方程为

32

y-(X0-2X0+1)=(3X0-2)(X-X0),

由切线过点(0,3),代入切线方程解得％=-1,则切线方程为y-2=x+l,即x-y+3=0.

故选：B

9.BC

【分析】AD考虑包含、相交、平行的可能即可判断；BC由性质定理判断即可.

【详解】对A,垂直于同一个平面的两平面可能平行，也可能相交，A错；

对B,两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等(性质推论)，B对；

对C,一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行(判定定理)，C对；

对D,一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行或在另一平面内，D错.

故选：BC.

10.ABCD

【分析】由图像最高点可得Z及T,由7可得勿，后由5①+<p=n+2&",kGZ可得。.

【详解】对于AB,由图可得，/(X)周期为=又T=12,>。，得刃=工,

同

故AB正确;

由图可得，5。+9=口+2后n,左eZ,即0=巴+2依，又04042兀，得/=色，故C正确；

66

对于D,由图可得，图像最高点对应纵坐标为5,又/>0,则4=5,故D正确.

故选：ABCD

11.ABC

【分析】根据圆的标准方程可判断A,直线方程的点斜式表示方法判断B,根据点与圆的位

置关系判断C,根据弦长公式判断D.

【详解】圆C:(X—1)2+/=9,所以圆心为C(l,0),A正确；

因为/:y=A:(x+l)+l,所以y-1=Hx+l),所以直线过点N(T,1),B正确；

因为只。="71=若<3=J所以点4-1,1)在圆C内，

所以/与圆C相交，C正确；

因为圆心C(l,0)到直线/：夕=”(》+1)+1的距离〃4|/。=百，

所以/被圆C截得的弦长为2尸彳22M二=4,D错误，

故选:ABC.

12.BC

【分析】根据图象可得出/(x)<0以及/(x)>0的解集，根据图象的上升下降可得/网x)>0

以及/'(力<0的解集.由此可判断A、D项；由图象分析可知。<0,1和3是函数/(x)的两

个极值点，所以有/'(1)=0以及/'(3)=0,代入可判断B项，联立即可得到a,b,c的关系，

代入导函数整理可得到/'(X)=34X-2)2-3a,即可判断C项.

【详解】对于A项，由图象可得，函数/(x)在(1,3)上单调递增,所以/卜)>0的解集是(1,3),

故A项错误；

对于B项，因为/'(x)=3ax2+26x+c.又由图象知，函数〃x)在x=l处取得极小值，

所以有/'(l)=3a+2&+c=0,故B项正确；

对于C项，由图象知，当x«l,3)时，“X)单调递增，则/(x)>0；当时，/(x)

单调递减，则/'(力<0;

当xe(3,+oo)时，/(x)单调递减,则/'(》)<0.所以/'(力<0的解集为(-8,1)33,+8),

H(x)>0的解集为(1,3).

又/'(x)=3"?+2bx+c为二次函数，根据二次函数的图象可知。<0.因为函数/(x)在x=l

以及x=3处取得极值，

f/,(l)=013a+2b+c=0_[6=-6a

所以有八，即”々八，所以0，

[/(3)=0〔27a+6b+c=0[c=9a

所以/'(力=？。X2+2/?x+c=3ax2-12ax+9a=34X-才-3d,

因为。<0,所以、=2时，/'(x)取得最大值，故C项正确；

对于D项,由/(x"(x)>0可得，,(j)>I或[,(：)：；.由图象知,

(x)<0

当XWu(2,5)时，/(x)>0.又"(x)>0的解集为(1,3).所以由匕,(?>:可得

J(V〉u

.re(2,3)；

由图象知，当X«-1,2)U(5,E)时,/卜)<0.又/。)<0的解集为(7,1)33，”).

所以由可得》«-1,1川(5,+<»).所以，/(力/'(力>0的解集是

(-1,1)U(2,3)U(5,-H»),故D项错误.

故选：BC.

13.(-<»,-2]U[-!,+<»)

【分析】利用根式有意义及一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】要使函数/(x)=J2+3X+Y有意义,

只需2+3》+/20,即(x+l)(x+2)20,解得x£—2或xN—1,

所以函数/（切=垃4不:7的定义域为（-8,-2］U［-l,+8）.

故答案为.(_8,-2]U[-l,+8)

4

14.

5

【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式求解.

3/----------------4

【详解】因为兀sincr=—,所以cosa=-vl-sin2a=——,

4

又因为cos（4一a）=-cosa,所以cos（兀一a）=不，

4

故答案为：一.

5

15.0.7

【分析】根据对立事件的知识求得正确答案.

【详解】依题意，尸（1）=1一尸（4）=1-0.3=0.7.

故0.7

16.54

【分析】利用频率分布直方图结合百分位数的定义求解即可.

【详解】由已知可得，样本中满意度在区间［30,40）内的样本的频率为0.005x10=0.05,

样本中满意度在区间［40,50）内的样本的频率为0.010x10=0.1,

样本中满意度在区间［50,60）内的样本的频率为0.025x10=0.25,

所以样本中满意度在区间［30,50）内的样本的频率为0.15,满意度在区间［30,60）内的样本的

频率为0.40,故用户满意度的第25百分位数在区间［50,60）内，

设用户满意度的第25百分位数为x,则

0.15+（x-50）x0.025-0.25,所以“54,

所以这1000名用户满意度的第25百分位数是54.

故54.

17.（1）7=兀

（2）最大值1+立，x=—+kn,kGZ

212

-2兀

【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式变形化简，然后根据公式7=同可得周期.

（2）利用正弦函数的性质可得/（x）的最大值及取最大值时x的值.

【详解】(1)由已知

/'3=sinxcosx+6sin、=—sin2x+

2

所以函数/(x)的最小正周期r=

(2)由(1)/(x)=sin(2x-g)+日得

二函数/(x)的最大值为1+日，

TTTTJTT

止匕时有2%一§二耳+2痴,％GZ,即x=—4-kn,keZ.

18.⑴。〃=2〃+8

⑵s”二扁

【分析】(1)利用等差数列的通项公式和等比中项求解即可；

(2)利用裂项相消法求解即可.

【详解】(1)等差数列｛%｝的首项6=10,公差设为"，

由〃2+10，/+8,4+6成等比数列可得

3+8)2=(%+10)(%+6),即(4+24+8)2=(%+"+10)(6+31+6),

即(18+2d)2=(20+d)(16+3d),解得d=2,

所以4=q+(〃-l)d=2〃+8.

11]

(2)由(1)得b〃=

2〃(2〃+2)4\nn+\)

所以s〃=；(i21111n

223n7+1

19.(1)证明见解析;

/八\5九

(2)—;

o

(3)〃,E重合时，符合题意，|丽|=2店.

【分析】(1)以A为原点，力，万，万分别为x，乃z轴正方向，建立空间直角坐标系.利用

向量法证明；

(2)利用向量法求出二面角D-PC-E的余弦值，得到二面角。-PC-E的大小；

（3）利用向量法判断出当也与E重合时，符合题意，进而求出|丽

【详解】（1）因为四边形是正方形，尸/_!_平面458,所以以A为原点，JD,AB,AP

分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.

因为/8=尸/=4,EB=2,尸为尸。的中点，所以

4（0,0,0）,P（0,0,4）,0（4,0,0）,C（4,4,0）,5（0,4,0）,E（0,4,2）,F（2,0,2）.

所以巨心=（4,4,-4）,/=（2,0,2）.

因为正•砺=（2,0,2）=4x2+0+-4x2=0,所以定1万，即//FPC.

（2）因为P/_L平面”88,COu平面/8C。，所以「NLCO.

又ZF_LPC,"04=/,4尸<=平面尸49,/>/<=平面?/。，

所以CD_L平面P/O.

因为ZFu平面所以CD_L/F.

又AFLPC,8（"|氏？=（?,"）<=平面尸。,尸。匚平面「。，

所以/F_L平面PCD,即万^⑵。,2）为面尸CD的一个法向量.

-/、，-，A,-HPC=4x+4y-4z=0

设〃=x,y,z为面尸CE的一个法向量，则_",

n-PE=0x+4y-2z=0

不妨设V=l,则3=（1,1,2）.

由图示，二面角。-尸C-E为钝角，设其为0,所以

C0S^,£gL=.|lx2+0xl+2x^=巫

卜卜|AFyVl2+12+22x>/22+02+222

因为ee[0,7t],所以。="，即二面角。-尸C-E为”.

66

（3）假设在棱PE上存在点使得直线。必与平面PCE所成角的正弦值为好.

9

设丽=2万=（0,42,-24）,（04441）,则丽=而+两=（-4,42,4-24）.

因为直线。M与平面PCE所成角的正弦值为如，

9

所以卜闻的,小逅，即用邛，所以/卜：+：+8_邛,解

I\/I9\DM\x^9J16+16%2+(4-2/l)xJl+1+49

得.2=1

所以当A1与E重合时，直线。〃与平面尸CE所成角的正弦值为逅.

9

此时，|所卜|而卜|(0,4,-2)|=新+4?+(一2『=2A/5.

2,,2

20.(1)—+—=1

84

(2)［一半,0)

4

【分析】⑴根据椭圆过点4。,2)可得b=2,然后再利用直线/工与圆x2+/=2相切得到c,

进而求解方程；

(2)由已知条件可得：MNLPQ,进而得到&将直线方程与椭圆方程联立，利用韦

K

达定理和中点坐标公式得到点N横坐标的表达式，根据直线AW的方程和基本不等式即可

求出点M横坐标的取值范围.

【详解】(1)•••椭圆C经过点40,2),.♦"=2,

由题意得直线工厂,的方程为2+4=1，即2x+cy-2c=0,

c2

・・,直线力工与圆一+『=2相切,

22

*,*/=〃+（工=8,工椭圆。的方程为---1--—=1；

84

(2)设尸(石,必)0(工2，%)，点8(%,%)是「。的中点,

y=kx+1,

-4k.2k

由//，得（1+2-卜2+4kx-6=0

—+—=1

84

*/MP•PQ+MQ・PQ=（MP+MQ）-PQ=2MN•PQ=0,

___一1

K

直线的的方程为y-%=-幺…。），

K

.•.点用的横坐标为'=如+'。=.2+丸+%=一含=一亡;,

十乙K

k

,：k>0,：.j-+2k>2-j2,AXe[--,0).

二“点M的横坐标的取值范围为[-名,0).

21.(1)82.5

⑵3

10

(3)92分

【分析】(1)根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；

(2)先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再列出样本空间，确定事件这两

人都“优秀”所包含的基本事件数，根据古典概型的公式即可求解；

(3)由条件列方程组求出加，〃，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的

学生分数在第四组，设为至少x分能进入面试，列方程即可求解.

【详解】(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为：；(80+85)=82.5

(2)“良好”的学生频率为(0.01+0.07)x5=0.4,“优秀”学生频率为1-0.4=0.6；

由分层抽样可得“良好”的学生有5x04=2人，“优秀”的学生有3人，

将三名优秀学生分别记为Z,B,C,两名良好的学生分别记为a,b,

则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种，

其中事件这两人都“优秀”包含的基本事件有：/8,/C,8c共3种，

所以事件这两人都“优秀”的概率尸=百

(3)由第三、四、五组的人数成等差数列得

(0.02+")x