2023-2024学年天津市宁河区高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年天津市宁河区高二上册期末数学模拟试题

一、选择题（每小题5分，共45分）

x2v2

1.椭圆一+上-=1上一点P到一个焦点的距离为7,则P点到另一个焦点的距离为（）

259

A.5B.3C.4D.7

2.已知等差数列｛4｝满足%+&=18,则其前10项之和为（）

A.90B.180C.99D.81

3.双曲线或—F=1的渐近线方程是（）

4

A.x±y[2y-0B.y/2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

4.如图，在三棱锥P—48C中，点N为棱力产的中点，点”在棱8C上,且满足CW，

设P4=/PB=b,PC=f,则加

）

1X2?1>1X2,X1>

cB.一Q---b——cC.—〃+—/?——c

233233233

1x2^1>

D.——a——b+-c

233

5.设QEA,则“。=—2”是“直线4：QX+2y-1=0与直线/2：%+（。+1）^-。2=0”

平行的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也

不必要条件

6.记等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若S4=3,Sg=9,则S12=（）

A.12B.18C.21D.27

7.已知抛物线的准线是圆/+丁2-4=0与圆/+丁2+%一3=0的公共弦所在的直线，则

抛物线的标准方程为（）

A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

8.在公差不为零的等差数列｛%｝中，6,生,。5依次成等比数列，前7项和为49,则数列｛%｝

的通项。〃等于（）

A.nB.n+1C・2拉—1D.2〃+1

/V2

9.设片,K为椭圆G：=+J=I（Q>6>0）与双曲线G的公共的左右焦点，它们在第一

ab

象限内交于点△孙工是以线段孙为底边的等腰三角形，且|M用=2.若椭圆G的

一34'

离心率ee,则双曲线C,离心率取值范围是（）

|_79」2

A.号鼻B.[3,+8）C.（2,4]D.[3,4]

_43_

二、填空题（每小题5分，共计30分）

10.已知抛物线C:x2=2眇（P〉0）上一点（见8）到其焦点的距离为10.抛物线C的方程

为；准线方程为.

11.已知数列｛%｝满足q=2,。〃+]=1---,则4023=-

12.设椭圆的两个焦点分别是片，工，过月作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P.若△大利

为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是.

13.数列｛%｝的前“项和为S”，若4=--—，则S2023=_______________.

n（n+1）

14.在长方体Z6CD—48cA中，Z8=4,NZ）=3,Z4=5,点E为N8的中点，则点

B到平面QEC的距离为.

15.若直线y=2x+6与曲线歹=3—"x--有公共点，则6的取值范围是.

三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上.）

16.已知圆C的圆心在直线2x—y—2=0上，且与直线/:3x+4y-28=0相切于点

尸(4,4).

(1)求圆C的方程；

(2)求过点Q(6,-15)与圆C相切的直线方程.

17.已知｛a,｝为等差数列，前〃项和为｛〃,｝是首项为2的等比数列，且公比

大于0,b2+b3=l2,4=%-2q,S]]=1也.

(1)求｛%,｝和也｝的通项公式：

(2)求数列J｛a,也｝的前n项和(〃eN*).

18.如图，在四棱锥中，底面488是边长为4的正方形，是等边三

角形，平面尸4。，E,F,G,0分别是尸。/。,8。,/。的中点.

(1)求证：PO1ABCD；

(2)求平面EFG与平面/BCD的夹角的大小：

7T

(3)线段尸Z上是否存在点"，使得直线GM与平面EFG所成角为一，若存在，求线段

3

尸"的长；若不存在，说明理由.

,丫2/

19.已知点尸为椭圆7Vl(a〉b>0)的右焦点，/为椭圆的左顶点，椭圆的离心率

为旦,连接椭圆的四个项点得到的菱形的面积为4.

2

(1)求椭圆的方程;

(2)设过点/作斜率为斤的直线交椭圆于另一点8,

①求E4•必的取值范围；

4百

②若求人的值.

20.已知数列｛“”｝和数列也｝,满足〃“用一(〃+1次=n(n+1)(neN*),且4=1,

(1)证明数列［勾］为等差数列，并求｛a｝的通项公式;

I«

…111II1(

(2)证明：—J-+—z-+-y++—z-<------------(neN

a；da；a239〃+3，

答案和解析

1-5BADBC；6-9CACD

2cc/T202330V469

10.1Ox—8y?y——211.212.J2—113.〃力)*—-----14.------

20232024469

15.-2*\/^-146W3

16.【解】

4

(1)过点尸(4,4)与直线/:3x+4y—28=0垂直的直线机的斜率为左=§,

4

所以直线机的方程为y—4=§(x—4),即4x—3y—4=0.

4x-3y-4=0

解得C(l,0).

2x—y—2=0

所以尸=J(4_1)2+(4-0)2=5.

故圆C的方程为：（x—l）2+y2=25.

（2）①若过点。（6,-15）的直线斜率不存在，即直线是x=6,与圆相切，符合题意;

②若过点。（6,-15）的直线斜率存在，设直线方程为y+15=Hx-6）,

即依一y—6左一15二0,

若直线与圆C相切，则有、，6左一15|=5,

4

解得左=一一.

3

4

此时直线的方程为—y-7=0,即4x+3y+21=0.

综上，切线的方程为x=6或4x+3y+21=0.

17.【解】

（1）设等差数列｛2,｝的公差为心等比数列｛2｝的公比为小

由已知4+a=12,得仿（。+/）=12,而乙=2,所以d+q-6=0.

又因为q〉0,解得q=2.

所以，b„=2".

由4=%-2。］，可得3d-q=8①,

由S”=11"，可得％+54=16②，

联立①②，解得q=l,d=3,

由此可得%=3〃一2.

所以，｛%｝的通项公式为%=3〃-2,｛4｝的通项公式为"=2".

(2)设数列｛外,也｝的前八项和为I，

由a“=3/7—2»有=1X2+4X2~+7X23+L+(3〃—2)x2",

27；=1x2?+4x2)+7x2,+L+(3〃-5)x2”+(3〃—2)x2"i,

上述两式相减，得一7；=lx2+3x22+3x23+L+3x2”-(3〃-2)x2"i

12X(1-2"T),,

=2+——^^一(3〃-2)x2.=一(3"-5)2"2一10.

得看=(3〃—5)2*+10.

所以，数列｛々/“｝的前〃项和为(3〃-5)2"+2+10.

18.【解】

(1)证明：因为△尸力。是正三角形，。是力。的中点，所以PO_L/。.

又因为CO_L平面P/D,POu平面尸Z。，所以尸O_LCO.

AD。。=。,/。,。。<=平面45。£>,所以POJ.面Z8CQ.

(2)以。点为原点分别以O/、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

系.

则

(9(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2折,E(-1,2,扬

F(-l,0,V3),£F=(0,-2,0),EG=(1,2,一百)

「’八X

,―EE\m=0-2y=0

设平面的法向量为加=(、//),所以<T<x即《

EG-m=0x+2y-y/3z=0

令z=1,则m=(>/3,0,1)

又平面ABCD的法向量n=(0,0,1),

XX1

所以|cos〈加，〃〉|=

旧7(V3)2+l2xl2

TT

所以平面EFG与平面ABCD所成角为一.

3

71

(3)假设线段A4上存在点M,使得直线G"与平面石月G所成角为一,则直线G"与平

3

八71

面EPG法向量加所成的夹角为一，

6

设尸W=2/%4e[0,l],PA/=2(2,0,-273),A/(2>t,0,273-2732),

所以GM=(22,-4,273(1-2)),

Jl""乂X

所以COS—=|COS〈GM,〃2$|=—/=,

62V422-62+7

整理得4/!?一64+7=l,A>0,可知存在.

19.【解】

(1)由e='=^^,得3a2=41,

a2

3

再由—力2=，=—/,解得Q=26,

4

由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4可得,x2ax2b=4,即=2,

2

a=2b

解方程组1，解得。=2,b=l,

ah=2

所以椭圆的方程为土+v=l;

4-

(2)①由(1)可得c=6,所以根据题意可得力(一2,0),/(百,0),设点8(再/J,

则FA=(-2-50),齿=(x,-6丹)

•-，、-_____

FA-FB=(-2-肉,一@=一(2+屈J+(26+3)

由题意得一2<玉<2,所以一14-(2+Ji"+(20+3)<7+4AA，

-\<FA-FB<l+4y/3,^IFA-FB的取值范围为[-1,7+4省)：

②由①可知力(-2,0),5(占,必),

由题意可知直线的斜率存在，设直线/的斜率为4,则直线/的方程为y=/x+2),

y=k(x+2)

于是4、8两点的坐标满足方程组《丫2消去y并整理得

—+/=1

I4

(1+4左2)/+16左2%+(16左2—4)=o,A=(16左2)2—40+4左2)(16人2一4)〉0,

16左2—42-8左214k

所以一2七------r+2

1+4左2，得的=；］：，从而必=人1+4公1+4公

2

2-8公、4k；W1+/24百

所以|Z8|=J-2-+

1+4吃1+4左21+和一9

1左2卷整理得16人4—19左2-26=0,即(*_2乂16尸+13)=0,

两边平方可得“2