2023-2024学年重庆市某中学高考适应性月考卷（三）数学试题及答案

2024届高考适应性月考卷(三)

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.已知集合A={x|x=4k,kGZ|,B={x|x=4m+l,m^Z},C=|x|x=4n+2,nCZ|,D={x|x=4t+3,t©Z},若aCB,bCC,

则下列说法正确的是

A.a+bGAB.a+b^BC.a+becD.a+b^D

2.已知a-be[5,27],a+be[6,30],则7a-5b的取值范围是

A.[-24,192]B.[-24,252]C.[36,252]D.[36,192]

3.已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a丰1)恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+x11的图象不经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知非零向量石，b的夹角为2兀/3,且满足(值+6)，胃则向量在向量b方向上的投影向量为

A.--bBibC.-^bD.-当b

4222

5.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点M在C上，直线1：2x-y+6=0与x轴、y轴分别交于A,B两点，若AAMB

面积的最小值为，当,则p=

A.44B.4C.4或44D.1或4

6.把二项式(逐+：)8的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为p,有理项两两不相邻的概率为

q,贝1J-=

q

11

A.5B.7C.4D.y

54

7.已知等差数列国的前n项和为S,对任意的ndN,均有S<Sn成立，则典的值的取值范围是

n5a6

A.(3,+oo)B.[3,+oo)

C.(-00,-3)u[3,+oo)D.(-00,-3]U[3,+oo)

8.已知函数f(x)的定义域为(0,+oo),导函数为f(x),不等式(x+l)[2f(x)+xf(x)]>xf(x)恒成立，且f(6)=5，则不

等式f(x+4)提的解集为

(X+4J

第1页共4页

A.(-*4)B.(0,2)

C.(-4,2)D.(-4,4)

二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求

的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分)

9.分别经过以下选项中的图象变换之后，能得到函数y=sin(3x-］)的图象的是

A.先将y=cosx的图象上各点的横坐标缩小为原来的g再将图象关于x轴翻折

B.先将y=sinx的图象上各点的横坐标缩小为原来的号再向右平移9个单位长度

C.先将y=sinx的图象向右平移看个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的3

D.先将y=cosx的图象向左平移兀个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的?

10.已知向量记=(2金),3=(*4),其中a>0,b>0,则下列说法正确的是

A.若t,7,n可以作为平面向量的一组基底，则log2ab#-3

mn

B.若记_L1则2?a+b=1

C.若a+b=l,则in-五有最小值6+4立

D.若|m|=|n|>4V2,则ge(1手)

11.已知定义在R上的函数f(x)=xsinx-九cosx(Q>-l),记f(x)在［-k兀,卜兀］(1<6>1.)上的极值点为*1，*2，“户11乂<

x2<…<Xn)共n个，则下列说法正确的是

A.n=2(k+l)

B"+i=0

C.当k=l时,对任意X>-1,XI,X2,,Xn均为等差数列

D.当k=2时，存在X>-1,使得XI,X2,..„Xn为等差数列

12.已知函数f(x)=a冈-|loga|x||(a)0)且a#l),则下列说法正确的是

A.若函数y=f(x)有4个零点，则0<a<l

B.当0<a<l时，函数y=f(x)有4个零点

C.若函数y=f(x)有2个零点,则a>l

D.当a>l时，函数kf(x)有2个零点

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

2

13.已知在等比数列an|中,a2,aio是方程x-13x+14=0的两个实数根，则a«=.

14.已知H(0,-c),F2(0,c)是双曲线E:《—l(a〉0,b>0)的下、上焦点，直线y=x+c与x轴交于A点，与双

曲线的渐近线在第三象限内交于B点，且晒+用=2币,则双曲线的渐近线方程为.

第2页共4页

15.已知函数f(x)满足：①f(x)的图象过点(8弓)；②f(x)是偶函数；③对任意的非零实数Xi，X2，f(x。=

f(X2),Xi，X2，f®=侬),请写出一个满足上述条件的函数f(X)=.

16.在三角函数部分，我们研究过二倍角公式cos2x=2cos2x-l,我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式.根

据你的研究结果解决如下问题：在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AW，cosC+

4cos3A-3cosA=0,则4tanAH---二的取值范围是

tan(B—A)

四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

2023年9月23日，第19届亚洲运动会在杭州正式开幕.这是1990年第11届北京亚运会、2010年第16

届广州亚运会之后，中国第三次主办亚运盛会，也进一步激发了中国全民参与体育活动的热情.为调查

学生对亚运会相关知识的了解情况，某中学进行了亚运会知识问答测试，将得分在70分及以上的学生

称为“亚运迷”.现将该学校参与知识问答活动的学生的得分(满分100分)进行了统计，得到如下的频

分布列和数学期望E(4).

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=V13COS(JL)X-cos((nx—)—sin2(jox((jo)O),G(°彳)且tan=2V3,

f(x)的最小正周期为兀

(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数y=f(x)在区间相，时上的值域.

19.(本小题满分12分)

已知数列｛an｝满足an+i=aR+k,neN+，keR.

(1)若ai=l且数列｛a。｝是递增数列，求实数k的取值范围;

(2)若ai=3且k=0,求数列｛an｝的通项公式.

20.(本小题满分12分)

第3页共4页

已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2asinB=V3b,AC-AB=|AB|2.

⑴若b=2,求AABC的面积；

(2)若D为AABC所在平面内一点，且D与B不在直线AC的同一侧,CD=3AD=6,求四边形ABCD面积

的最大值.

21.(本小题满分12分)

已知椭圆C：!|+W=l(a>b〉O)的上、下顶点分别为A,B,左顶点为D,Z\ABD是面积为旧的正三角

形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆外一点M(m,0)的直线交椭圆于P,Q两点，已知点P与点P关于x轴对称，直线PQ与x轴

交于点K；若NAKB是钝角，求m的取值范围.

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=要,g(x)=acosx.

(1)求证:xG时,f(x)vl;

(2)当xC(―却)U(0?时,f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当xC(―却)U(0?时，［f(x)户g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

第4页共4页

巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（三）

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号12345678

答案DDDABABC

【解析】

1.由题意设。=4m+1,。=4〃+2,其中仅〃都是整数，则。+6=4（机+〃）+3,其中根+〃是

整数，可以是奇数也可以是偶数，故〃+故选D.

[m+n=7,fm=6,

2.^la-5b=m(a-Z?)+n(a+/?)=(m+n)a-(m-n)b,所以《解得《所以

[m-n=5,[n=1,

7a-5b=6(a-b)+(a+b)；又a-be[5,27],«+G[6,30],所以

7a-5b=6(tz-Z?)+(tz+/?)G[36,192],故选D.

3..•./(x)=优t一2且awl,恒过定点(1,-1),...机=1,"=一1,g(x)=l+J，其图

象不经过第四象限，故选D.

4.因为(a+为心，所以0+初.1/+々"=0,，|滤弓㈤㈤=0,同=:出],所以々在

(1•h-1-»

否方向上的投影向量为―于•6=-：6,故选A.

IP|•|/?|4

5-不妨设4-3,0),8(0,6),由|AB|=36，"碰濡=^，知(%»濡=近・设

/2\--^0+6-金+66-艺

%，贝！F=------=-------------F=------------,故=-^=石，故

12P-JJ5，575

P=4,故选B.

6.&]=《・（五）8。]£|=c；・J收，其中0WW8,r

eN,当r=0,2,4,6,8时为有理项,

A5.A5*三，故坦=9注=5,故选A.

故有5项有理项，4项无理项，故°=55,q=

A9A9qA4•A5

7.由题意知S5是等差数列｛%｝的前〃项和中的最小值,必有力<0,公差d>0,若〃5=0，

数学参考答案•第1页（共10页）

此时邑=邑，S4,项是等差数列｛4｝的前〃项和中的最小值，止匕时〃5=q+4d=0,即

氏+7d3dc

a^-Ad,则上=七27=7=3；若％<。，%>0,此时Ss是等差数列也,｝的前”项和

中的最小值，止匕时限=+4d<。，/=。1+5d>0,即~5<—-<—4,则

d

幺+7a

—=£L±T7=--=1+^—e(3,+8),综合可得：曳的取值范围是［3,+8),故选B.

a6a1+jd+5—+50

dd

8.由(x+l)［2/(x)+矿⑺］>双龙)，可得2对■(无)+天2/8)>立区，即。杼(初'>立区，

X+lX+1

令g(x)=x"(x),则0>%_g'(x)=g(x)g'(：)(x+l)令G(x)=%,

x+1x+1x+1

G，(x)=［咨［=g'"：：：；；；g°)>0，所以G(x)在(0,+功上是单调递增.不等式

〃x+4)〈手嚏，等价于(X+4)"(X+4)<3,即G(x+4)=g(x+4)<3,

(x+4)x+5x+5

6(6)=.=效也=3,所求不等式即G(x+4)<G(6).由于GQ)在(0,+刃)上是单调递

77

增函数，所以x+4<6,解得尤<2,且x+4>0,即x>-4,故不等式的解集为(-4,2),

故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

题号9101112

答案ABDACDBCBC

【解析】

9.函数y=sinbx-lj=-cos3x,A选项，将y=cosx的图象上各点的横坐标缩小为原来的;

得y=(：053%,再将图象关于x轴翻折得到y=-cos3x的图象；B选项，将y=$也尤的图象

上各点的横坐标缩小为原来的L得看sin3尤，再向右平移四个单位长度得

36

y=sin3、-今|=311(3苫-日的图象；C选项，将y=sinx的图象向右平移巳个单位长度

数学参考答案•第2页(共10页)

得'=5迫、-£1的图象，再将各点的横坐标缩小为原来的;得y=$桁〔3》-1]的图象；D

选项，将》=cosx的图象左平移兀个单位长度得y=-cosx,再将各点的横坐标缩小为原来

的的图象，故选ABD.

10.\-m=（2,-n=[^~,41,;.m-n=-+^.对A：若后7可以作为平面向量的一组基

<a）\b）ab

底，则m,n不平行，故—x：-2x4w0,■，故\og,abw-3,故A正确；对B：若机j_〃，

ab82

---424Z?+2a

贝！=—+丁=-----=0,故〃+2Z?=0,2〃+Z?的值不确定，故B错误；对C：若

abab

一一4242r4/72〃、/,

a+b=\,则根•〃=_+_=(〃+/?)—+-=6-1------1-----26+2=6+4行，当且

ababab

4b_2a

Q=2-V2?

仅当<4b时取等号，故c正确；对D：由|m|=|n|>4A/2,知

a+b=\

11

2

z+F<7

4+»16>32,故，-)=12且：>16,故》-+12Te1

lI4-

aFFF<

卜n

故—w,故D正确，故选ACD.

°I2)

11.7'(%)=(4+l)sinx+xcosx,令/'(x)=0,贝Ij(2+l)sinx=-xcosx,当cosx=0时，

sinx=±l,则(/l+l)sinx=-xcosx无解，此时/(%)无极值点；当cosxwO时，

tanx=--^―x(2>-l),数形结合知：y=tan无与j=--^―x(A>-1)在

2+1A+1

xw|-E,E](左eN+)上有〃=2左+1个交点，对应/。>在[-阮，E](%£N+)上的极值点为

%,马，••.，X2k+X{xi<x2<---<x2k+l),5.%1+x2k+l=x2+x2k=x3+x2k_x=...=xk+xk+2=0,

4+1=0,故A错误，B正确；当左=1时，n=3,并且无[+尤3=2%=0,故占，%W为等

差数列，C正确；当％=2时，”=5,并且无]+%=%+4=2尤3=0，

X]e1-2兀，-|兀)％e,兀，-；兀)，故要使%，％，…，尤5为等差数列，只需%，9,x3(=0)

为等差数列，即等价于%=2x2成立即可，故

数学参考答案•第3页（共10页）

12

tan石=-----%=>tan2x2=---------x2,

'；1'+1ntanZx?=2tan%,由二倍角公式：

tanx2=~~-x2

32tanx?八-无，-;兀）时无解，故当％=2时，不存

tan212=--------=2tanx2,故tan/=0=>々w

1-tanx2

在2>-1使得占，孙…，毛为等差数列，D错误，故选BC.

12.令y（x）=/-|log“|x||=0,则胪=|log0|x||,y=/与y=|log0|x||都是偶函数，故考虑

x>0时：>=胪=炉与y=|log.|x|HlogH的图象的交点；当0<。<1时，作出函数

xx

y=a,y=|loga尤|的图象易得：函数y=a,y=|log”的图象有两个交点，所以当

0<。<1时，函数/（x）=a*TlogaX|的零点个数为2；当时，作出函数

>=优，>=|108«彳|的图象，此时两个函数图象的交点个数取决于方程优=log”x的解的个

数，>="与y=log“x的函数图象关于y=x对称，故临界情况是y=屋与y=log.x都与

=X,——九二e,

V=x相切，此时有<'=>〃=户nxlnx》=lnx=1=><i故当x〉0时:

ax]na=l〃=e]

xx

1<a<e；时，函数y=a,y=\logax|的图象有3个交点,a=嬴时,函数y=a,y=|logflx\

的图象有2个交点，时，函数y="，y=|log”尤|的图象有1个交点.综上所述：

a>e：时，函数y=/（x）的图象有2个零点；0<。<1或°=d时，函数？=/（无）的图象

有4个零点；l<a<e：时，函数y=/（无）的图象有6个零点，故选BC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号13141516

1

答案V14y=±—x10g|x|（答案不唯一）

24

【解析】

13.,•a2,阳是方程x2_i3x+14=0的两个实数根，Acz2+a10=13,cz2a10=14,故

a2>0,aw>0,根据等比数列的性质有：a；=的阳=14且%=%•>0，故

数学参考答案•第4页（共10页）

jr

14.直线>=尤+。过上焦点鸟(0,c)且倾斜角为屋由月月+丽=2月I知A是B工的中点，

由8(0,c),A(-c,0),得3(-2c,-c),故双曲线的渐近线方程为y=±gx.

15.对数函数符合/&]=/5)-/(%)，结合/(x)是偶函数：可令"尤)=log”E，代入点

(8,1J，解得°=4，故/(x)=log”|尤|.

16.三倍角公式：cos3A=cos(2A+A)=cos2AcosA-sin2AsinA=(2cos2A-l)cosA-

2(1-cos2A)cosA=4cos3A-3cosA,故cosC+cos3A=OncosC=-cos3A=

„.71

0<A<—,

2

IT

cos(兀—3A)nC=兀-3A=>B=2A,△ABC为锐角三角形，故0<2A<5，解得

0<7t-3A<-,

2

兀，兀,，囱“1..1

一<&<一,故J<tanA<l,4tanA+——―-=4tanA+——-

643tan(B-A)tanAIL

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

解：（1）由频率分布直方图可知：分数低于70分的学生所占比例为40%,分数低于80

分的学生的所占比例为70%,

所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数在［70,80）

内.......................................................................（2分）

0.50-0.40=当

由70+10x53

0.70-0.403

所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数约为73.3分.

...........................................................................................................................................（5分）

（2）根据按比例的分层抽样：抽取的“亚运迷”学生3人，“非亚运迷”学生2人，

4的所有可能取值分别为0,1，2,(6分)

C°_1尸©=1)=41=三C；_3

%=0)=尸G=2)=

cf-ioC；5cf-io

（9分）

数学参考答案•第5页（共10页）

所以J的分布列为:

0012

133

P

10510

所以数学期望E(9=0x/lx|+2xW

（10分）

18.（本小题满分12分）

1

解：(1)由tan0=2j§,知sin(p=1—,cos^?=.—?

713713

（1分）

故/(x)-cosox•(cos<yx+2A/3sina)x)-sin2cox-cos26yx-sin20x+6sin2o)x

=V3sin2。尤+cos2ox=2—sin2®x+-cos2®x=2sin2a)x+—,

[22I6

7

（4分）

2兀

所以T==兀，解得啰=1,

2（0

所以/(x)=2sin(2x+tj.

（5分）

兀TT717T717171

(2)由xe—,(p,得2尤+±e-,2"+[,tancp-2V3=>

1212633f2

7135兀-7兀

2(p+—e\——，

6166

7171

y=2sinx在XG一，一上单调递增，在工£$20+?上单调递

32ZO

减,（7分）

2tan(p+1-tan2cp

2sin—=V3,2sin—=2,2sin[20+£)=Gsin20+cos2(p=拒。

321+tan2cp1+tan2cp

1

（11分）

13

所以函数y=/（x）在区间联，（P上的值域为。12.

13

（12分）

数学参考答案•第6页（共10页）

■口

19.（本小题满分12分）

解：（1）由。〃+1>an，知〃2=〃；+左=1+女>q=1,故人>0.

...........................................................................................................................................（2分）

当人>0时,显然%>0,且an+l-an=a；_心=（%+%）（。“-«„_）），

aa

故4+1-%与n-n-t同号，故对一切neN+都有an+l>an.

综上所述：实数上的取值范围是（0,+8）.......................................................................（5分）

（2）若q=3且左=0,贝!]an+l=a：.

由q=3>0,知。〃>0,

两边取对数:In〃般+i=ln〃；=21n〃“，且lnq=ln3,.....................................................（8分）

故ln〃“=ln3・2i,故%=e'*=32"，

2

故数列｛4｝的通项公式为an=3"（neN+）...................................................................（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（1）在△A8C中，由2asin8=gb,

可得：2sinAsinB=V3sinB,而sinB>0,

所以sinA=与，即4="|或4=，.

7T

由起.15=1而/，知2=5,

故4=弓，C=3....................................................................................................................（3分）

36

由匕=2,知c=1,〃=

1、万

故△A3C的面积为S4ABC=2〃csinB=；-......................................................................（5分）

（2）在△AC0中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cosD=40-24cosD,

...........................................................................................................................................（7分）

=5百+3A/7sin（D-cp）,

甘r+i-V272-\/7/11八、

具中sm°=二厂CGS（P=7,.......................................................................................（11分）

jr

所以，当。=万+。时，SABCD取得最大值5百+3疗........................（12分）

数学参考答案•第7页（共10页）

■口

21.（本小题满分12分）

解：（1）由已知得厂O’:

§AABD=曲="3\b=L

....................................................................（2分）

所以椭圆c的标准方程为W+y2=i........................................（4分）

3

V2=

（2）设直线P'。的方程为x=（y+"（rxO）,联立方程了+>-'

x=ty+n,

得：（Z2+3）y2+2mj+（n2-3）=0.

2tn

设尸'（小%）,。（尤2,%），则由韦达定理：，,

n-3

....................................................................（6分）

由点尸与点P关于x轴对称知尸（"-X），

由M，P，。三点共线知^^=32,即二^=二^,即—=——，

x2-mX]—mty2+n-mtyx+n-m

故一明%~(n-m)y2=tyly2+(n-m)yi,即2第必+(〃-m)(%+y2)=0.

....................................................................(8分)

代入韦达定理：2r一机)•粤=粤二"=驾"二2=o,

r+3t2+3/+3〃+3

3

由。w0,知〃=—,

m

故直线尸'。与X轴交于定点0)......................................(10分)

由0)在椭圆C：(+y2=l外，得：me(-co,-^3)U(V3,+co),

由ZAKB是钝角,知|OK|<|041=6=1(O为坐标原点)，

3

即一w(0,l),解得冽w(—°°，—3)U(3,+00),

m

综上所述：机的取值范围是(-8,-3)U(3,+8),

（12分）

数学参考答案•第8页（共10页）