第01讲 中考热点实数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（上海专用）（解析版）

第01讲中考热点实数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计有45个考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到位为准。但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综合实数模块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注到基础概念的准确深入的理解，而不是死记硬背知识点。【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识导图】【考点梳理】考点一：实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二:实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三:实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四:实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五；实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六：有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】题型一、实数的有关概念 【例1-1】（1）a的相反数是，则a的倒数是_______．（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:则化简=______．（3）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5；（2）-a-b；（3）1.02×107亩.【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．【例1-2】．在实数－，0，，－3.14，，，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C；【解析】在上面所给的实数中，只有，，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是有理数，故选C.【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如=2是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，但它是无限不循环小数，是无理数．是无理数，而不是分数．【变式1】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【答案】C.【变式2】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______，绝对值等于它本身的数是______．【答案】±1；0；非负数.题型二：实数的分类与计算【例2-1】下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、、.【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．【变式】在中，哪些是有理数?哪些是无理数?【答案】都是有理数；都是无理数.【例2-2】．计算：计算：．【答案与解析】【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．【变式1】计算：【答案】；【变式2】计算：【答案】设n=2001，则原式=（把n2+3n看作一个整体）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.【例2-3】(1)有一列数，…，那么依此规律，第7个数是______；（2）已知依据上述规律，则．【答案】(1)；（2）.【解析】(1)符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.（2）【点评】(1)规律：（n为正整数）；（2）规律：（n为正整数）.【变式】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则．【答案】因为，……..三个一循环，因此题型三：实数大小的比较【例3-1】比较下列每组数的大小：（1）与（2）a与（a≠0）【答案与解析】（1），，而与可以很容易进行比较得到：，所以；（2）当a<-1或O<a<1时，a<；当-1<a<0或a>1时，a>；当a=时，a=.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.【变式】比较下列每组数的大小：（1）和（2）和【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，，，，所以.（2）因为，所以.【例3-2】若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．【答案与解析】a=，b，，∴a<b．【点评】通过通分进行比较.【变式】当时，比较1＋b与1的大小.【答案】（1）∵b≠0时，∴b＞0或b＜0．当b＞0时，1＋b＞1，当b＜0时，1＋b＜1.题型四：平方根的应用【例4-1】已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.【答案】.【解析】，即两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.【点评】此题考查的是非负数的性质.【例4-2】已知，求的值.【答案与解析】∵≥0，≥0，≥0，.∴解得则.【点评】利用≥0，≥0，≥0（为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、、的值，代入后本题得以解决。【变式】已知x、y是实数，且+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，则实数a的值是（）A．B．－C．D．－【答案】A.∵+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－，y=3．∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3，∴a=∴答案选A.题型五：实数运算中的规律探索【例6-1】细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，（2）因为OA1=，OA2=，OA3=…，所以OA10=（3）S12+S22+S32+…+S102===.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】2（512）.【例6-2】在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．

（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？

（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？【答案与解析】（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；

（2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b

两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，

未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b

根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）

而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b

所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．【点评】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．【例6-3】探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A．363B．153C．159D．456【答案】B；【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B．【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153．【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：（1）第四个图形中火柴棒的根数是；（2）第个图形中火柴棒的根数是.【答案】（1）13；（2）.【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了个数；当按顺序从第个数到第个数（＜）时，共数了个数。【答案】5；.【中考过关真题练】一、单选题1．（2022·上海·中考真题）8的相反数是（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是，故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．（2011·上海·中考真题）﹣5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C． D．【答案】A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A．3．（2016·上海·中考真题）如果与3互为倒数，那么是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：3的倒数是．故选D．【点睛】本题考查了倒数．4．（2017·上海·中考真题）下列实数中，无理数是（）A．0 B． C．﹣2 D．【答案】B【分析】根据无理数的定义逐一判断即可得．【详解】0，﹣2，是有理数，是无理数，故选B．5．（2015·上海·中考真题）下列实数中，是有理数的为（）A． B． C．π D．0【答案】D【详解】是无理数，A不正确；是无理数，B不正确；π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选D．二、填空题6．（2015·上海·中考真题）计算：_______．【答案】【详解】试题分析：．考点：1．绝对值的定义；2．有理数的基本运算．7．（2012·上海·中考真题）计算：=_________．【答案】【分析】按照有理数的减法法则结合绝对值的意义进行解答即可.【详解】.故答案为：.8．（2019·上海·中考真题）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是_____________．【答案】【分析】设这个正方形的边长为x（x＞0），由题意得x2＝3，根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：设这个正方形的边长为x（x＞0）．由题意得：x2＝3．∴x＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形的面积以及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．9．（2018·上海·中考真题）的立方根是__________．【答案】-2【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，故答案为﹣2．【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．三、解答题10．（2021·上海·中考真题）计算：【答案】2【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．【详解】解：，=，=，=2．【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．11．（2017·上海·中考真题）计算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．【答案】+2【详解】试题分析：根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．试题解析：原式=3+2﹣2+1﹣3+2=+2.考点：二次根式的混合运算12．（2016·上海·中考真题）计算：．【答案】．【详解】试题分析：根据绝对值、分数指数幂，二次根式、负指数幂的定义解答即可．试题解析：原式．考点：实数的运算．13．（2013·上海·中考真题）计算：．【答案】【分析】针对二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.【详解】解：原式=.14．（2022·上海·中考真题）计算：【答案】【分析】原式分别化简，再进行合并即可得到答案．【详解】解：==【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．15．（2019·上海·中考真题）计算：【答案】-3．【分析】首先进行二次根式的化简、去绝对值符号以及二次根式的乘法，然后再合并同类二次根式即可．【详解】解：==-3．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．16．（2020·上海·中考真题）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|．【答案】0．【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【详解】原式=+﹣4+3﹣=3+﹣4+3﹣=0．【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．17．（2012·上海·中考真题）计算：．【答案】3.【分析】利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用实数的混合运算法则计算即可.【详解】原式=.【中考挑战满分模拟练】一、单选题1．（2022·上海普陀·二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案．【详解】2到原点的距离是2个长度单位，1到原点的距离是1个长度单位，-1.5到原点的距离是1.5个长度单位，-3到原点的距离是3个长度单位，即到原点的距离最远的点是﹣3．故选：D．【点睛】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．2．（2022·上海奉贤·二模）如果实数a与3互为相反数，那么a是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义可得答案．【详解】解：实数a与3互为相反数，故选D【点睛】本题考查的是实数的相反数的含义，掌握“相反数的定义”是解本题的关键．3．（2022·上海奉贤·二模）据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：数字316000000科学记数法可表示为3.16×108．故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2022·上海静安·二模）下列各式中，计算结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把分数指数幂转化成开平方可解决A选项；负整数指数幂遵循“底倒，指反”的原则可解决B选项；利用任何数的1次方都等于它本身，可解决C选项；利用任何一个不为零的数的0次幂都等于1，可解决D选项．【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；B、，故选项错误，不符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，故选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了幂的运算，正确运用运算法则是解决本题的关键．5．（2022·上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（

）①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据平方根、近似数及分数指数幂可进行排除选项．【详解】解：①2能被6整除，原说法错误；②把16开平方得16的平方根，表示为，原说法错误；③把237145精确到万位是，原说法错误；④对于实数，规定，当m、n不为正整数时，不成立，原说法错误；所以错误的有4个；故选：D．【点睛】本题主要考查平方根、近似数及分数指数幂，熟练掌握平方根、近似数及分数指数幂是解题的关键．6．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×人．关于这里的近似数8.63×，下列说法正确的是（

）A．精确到百分位，有3个有效数字； B．精确到百位，有3个有效数字；C．精确到百分位，有5个有效数字； D．精确到百位，有5个有效数字．【答案】B【分析】在标准形式a×10n中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是8，6，3，且其展开后可看出精确到的是百位．【详解】解：8.63×104=86300，所以有3个有效数字，8，6，3，精确到百位．故选：B．【点睛】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．7．（2022·上海松江·二模）下列各数中，无理数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A.是无理数，此选项符合题意；B.是有理数，此选项不符合题意；C.＝2是有理数，此选项不符合题意；D.是有理数，此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数，无理数的定义是解题的关键．8．（2022·上海闵行·二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（

）A． B． C． D．0.2022022022…【答案】C【分析】根据有理数，无理数的定义进行判断即可．【详解】是整数，不是无限不循环小数，A选项不符合题意；是分数，不是无限不循环小数，B选项不符合题意；是无限不循环小数，C选项符合题意；0.2022022022…是无限循环小数，D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2022·上海徐汇·二模）下列实数中，有理数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用有理数的定义判断即可．【详解】、、都是无理数，是分数，是有理数故选：D【点睛】此题考查了实数，以及有理数，整数和分数统称为有理数．10．（2022·上海·模拟预测）在下列四个实数中，最小的是（

）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．【答案】A【分析】根据实数的大小比较方法即可求解．【详解】解：∵﹣2＜﹣＜0＜最小的是故选A．【点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的大小比较方法．11．（2022·上海宝山·二模）若数轴上表示－1和－3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（

）A． B．－2 C．2 D．4【答案】C【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．【详解】解：AB=|-1-（-3）|=2．故选：C．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及有理数的减法运算，正确表示数轴上两点间距离并准确计算是解题关键．12．（2022·上海长宁·二模）的倒数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据求一个数的倒数的方法排除选项即可．【详解】的倒数是；故选D．【点睛】本题主要考查二次根式的化简及倒数，关键是根据题意得到这个数的倒数，然后根据最简二次根式化简即可．二、填空题13．（2022·上海嘉定·二模）化简：||＝_____．【答案】##【分析】先判断>0，再根据绝对值的意义进行求解即可．【详解】解：∵3＞2∴∴>0∴||＝故答案为：【点睛】本题考查了实数的绝对值，根据绝对值的意义进行求解，关键是确定实数的符号．14．（2022·上海·模拟预测）的相反数是______，-2的绝对值是______．【答案】

2【分析】据相反数的定义和绝对值的性质解答即可．【详解】解：的相反数是；−2的绝对值是2，故答案为：，2．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及相反数的定义；符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，0的相反数是0．15．（2022·上海·模拟预测）若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．【答案】1【分析】根据题意可得：a=±3，b=±4，根据a、b异号可得：当a=3时，b=-4，a+b=-1；当a=－3时，b=4，则a+b=1.【详解】∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4，∵a、b异号，∴当a=3时，b=-4，；当a=-3时，b=4，.故答案为1【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，是解此类问题的关键．16．（2022·上海·二模）已知满足，则的值是_______．【答案】73【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，然后化简绝对值，再根据算术平方根求解．【详解】解：∵a-9≥0，∴a≥9，∵，∴，∴，∴a=73，故答案为：73．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的意义，以及无理方程的解法，根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围是解答本题的关键．17．（2022·上海奉贤·二模）某眼镜店暑假期间开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如图，那么广告牌上填的原价是______元．【答案】200【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：原价为160÷0.8=200（元）；故答案为200．【点睛】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意．18．（2022·上海浦东新·二模）在北京冬奥运的火炬传递活动中，火炬传递的总里程大约为137000公里，用科学记数法可表示为________公里．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．19．（2022·上海宝山·二模）如果一个数的平方等于，那么这个数是______．【答案】【分析】根据平方根的定义即可求解．【详解】解：这个数是．故答案是：．【点睛】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键，一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数．20．（2022·上海市青浦区教育局二模）如果从、、-1、、任意选取一个数，选到的数是无理数的概率为________．【答案】【分析】先找出无理数的个数，再利用概率公式计算即可．【详解】解：在、、-1、、中，无理数有和，共计2个，所以，选到的数是无理数的概率为．故答案为：【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数的定义，找出无理数的个数是解题关键．21．（2022·上海奉贤·二模）的立方根是________．【答案】－3【分析】根据立方根的定义求解即可．【详解】解：－27的立方根是－3，故答案为：－3．【点睛】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键．22．（2022·上海·格致中学二模）9的算术平方根是．【答案】3【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．【详解】∵，∴9算术平方根为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．23．（2022·上海·模拟预测）对于正整数a，规定，如：，，则____________．【答案】2016【分析】根据题意得到f（a）＋f（）＝1，进而即可得到结果．【详解】解：由，得到，f（1）＝，∴，∴原式＝[f（2017）＋f（）]＋…＋[f（2）＋f（）]＋f（1）＝1＋1＋…＋1＋＝2016，故答案是：2016．【点睛】此题考查了有理数的运算及定义新运算，得到f（a）＋f（）＝1，是解题的关键．24．（2022·上海·模拟预测）小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入……12345…输出………那么，当输入的数据为8时，输出的数据为________.【答案】【分析】根据题意找出一般性规律，写出即可．【详解】根据题意得：当输入的数据是n时，输出的数据为则当输入的数据是8时，输出的数据为，故答案为.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．三、解答题25．（2022·上海·位育中学模拟预测）计算：．【答案】【分析】分别计算零次幂，三角函数与绝对值，负指数幂及立方，在依次计算即可．【详解】解：原式＝1﹣（1）＝．【点睛】本题主要考查实数的运算，运用到知识点：；一个数的绝对值是非负数；的奇次幂是；．26．（2022·上海·一模）计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，零次幂进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，零次幂，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．27．（2022·上海·二模）计算：．【答案】2﹣π．【分析】根据题意利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算先化简各式，然后再进行计算．【详解】解：＝3﹣（π﹣）+（﹣1）﹣＝3﹣π+﹣1﹣＝2﹣π．【点睛】本题考查含乘方和算术平方根的实数运算，熟练掌握利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算法则进行化简是解题的关键.28．（2022·上海崇明·二模）计算：【答案】【分析】对每一项分别进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】原式【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算．29．（2022·上海黄浦·二模）计算：．【答案】5【分析】先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，并把特殊角三角函数值代入，最后计算加减即可．【详解】解：原式＝5．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂与负整指数幂运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．30．（2022·上海市进才中学一模）计算：．【答案】【分析】由绝对值运算、幂运算公式、二次根式的运算可求得答案．【详解】解：原式=【点睛】本题考查绝对值运算、幂运算公式、二次根式的运算，熟练掌握相关公式和计算方法是解题的关键．31．（2022·上海长宁·二模）计算：﹣12022+2cot260°﹣|π﹣3|+．【答案】【分析】根据有理数的乘方运算，特殊角的三角函数值，化简绝对值，分数指数幂，进行求解即可【详解】解：原式＝【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握有理数的乘方运算，特殊角的三角函数值，化简绝对值，分数指数幂是解题的关键．32．（2022·上海徐汇·二模）计算：．【答案】【分析】化简零指数幂，负整数指数幂，二次根式，绝对值，代入特殊角三角函数值，利用相关运算法则进行简便运算，再合并同类二次根式，最后再加减．【详解】解：原式===【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式，绝对值，代入特殊角三角函数值，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．【名校自招练】一．选择题（共3小题）1．（2016•宝山区校级自主招生）根据第六次全国人口普查，我国全国人口为1370536875人，用科学记数法表示该人口可表示为（）A．0.1370536875×1010 B．1.370536875×109 C．13.70536875×108 D．137.0536875×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：1370536875＝1.370536875×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2016•宝山区校级自主招生）若＝a+b，其中a是整数，0＜b＜1，则a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】首先得出a+b的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵＝a+b，≈1.4，≈2.23，∴3＜a+b＜4，∵a是整数，0＜b＜1，∴a的值是：3．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确记忆与的近似值是解题关键．3．（2016•宝山区校级自主招生）假设a是无理数，b是有理数，下面有可能是有理数的是（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．a÷b【分析】A、无理数与有理数的和一定是无理数，本选项错误；B、无理数与有理数的差一定是无理数，本选项错误；C、无理数与有理数的积可能是有理数，举例说明；D、无理数与有理数的商不可能为有理数，本选项错误．【解答】解：A、无理数与有理数的和一定是无理数，本选项错误；B、无理数与有理数的差一定是无理数，本选项错误；C、无理数与有理数的积有可能是有理数，例如×0＝0，本选项正确；D、无理数与有理数的商不可能为有理数，本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，弄清有理数与无理数的运算是解本题的关键．二．填空题（共17小题）4．（2016•宝山区校级自主招生）计算：+++…+＝．【分析】原式拆项后，抵消合并即可得到结果．【解答】解：原式＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案为：【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2014•宝山区校级自主招生）360的正因数有24个．【分析】根据有理数的乘法解答即可．【解答】解：360＝23×32×5，所以360的正因数有（3+1）×（2+1）×（1+1）＝24，故答案为：24．【点评】此题考查有理数的乘法，关键是把360分解因式解答．6．（2002•闵行区校级自主招生）用科学记数法表示：0.00034＝3.4×10﹣4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：用科学记数法表示0.00034＝3.4×10﹣4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．7．（2016•闵行区校级自主招生）若的立方根是A，的算术平方根为B，则A+B＝2．【分析】直接利用立方根的定义和算术平方根的定义得出答案．【解答】解：∵的立方根是A，的算术平方根为B，∴，＝，∴A+B＝2．故答案为：2【点评】此题主要考查了立方根和算术平方根，正确把握相关定义是解题关键．8．（2017•杨浦区校级自主招生）若的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数，这样的正整数n共有2个．【分析】先求出1001﹣3的结果为998，再将998分解质因数即可求解．【解答】解：1001﹣3＝998，998＝2×499，故n+3＝499或998．故正整数n共有2个．故答案为：2．【点评】考查了有理数，关键是将998分解质因数．9．（2017•浦东新区校级自主招生）已知实数x满足|x+1|+|x﹣4|＝7．则x的值是﹣2或5．【分析】分三种情况：x＜﹣1；﹣1≤x≤4；x＞4；去绝对值后解方程即可求解．【解答】解：x＜﹣1时，﹣x﹣1﹣x+4＝7，解得x＝﹣2；﹣1≤x≤4时，x+1﹣x+4＝7，方程无解；x＞4时，x+1+x﹣4＝7，解得x＝5．故答案为：﹣2或5．【点评】考查了绝对值，注意分类思想的运用，是中档题型．10．（2017•杨浦区校级自主招生）从1，4，7……295，298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有197个．【分析】两个数相加最小的和是1+4＝5，最大的和是295+298＝593，和也是隔3的自然数，根据等差数列通项公式求出项数即可求解．【解答】解：1+4＝5，295+298＝593，和是隔3的自然数，n＝（593﹣5）÷3+1＝588÷3+1＝197．故答案为：197．【点评】考查了有理数的加法，等差数列通项公式，关键是求出两个数相加最小的和，以及最大的和．11．（2016•宝山区校级自主招生）正数360共有24个正因数．【分析】将360分解成几个质因数乘方的形式，利用约数和定理即可求出正因数的个数．【解答】解：360＝23×32×51，因此共有（3+1）×（2+1）×（1+1）＝4×3×2＝24个约数，分别是：1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，故答案为：24【点评】此题考查了有理数的乘法，利用了约数和定理求一个合数约数个数方法．12．（2016•宝山区校级自主招生）正整数2015的不同正因数的个数为8个【分析】根据因数的定义即可求出正整数2015的不同正因数的个数．【解答】解：正整数2015的不同正因数有1，5，13，155，31，65，403，2015，一共8个．故答案为：8．【点评】考查了有理数的乘法，关键是得出正整数2015的不同正因数．13．（2016•宝山区校级自主招生）请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）6，7，2；1，5，9；8，3，4．【分析】因为1+2+…+9＝45，45÷3＝15，所以每行为15；又因15÷3＝5，所以中间必须填5；其他8个数按1+9＝10，2+8＝10，3+7＝10，4+6＝10的要求填在相对的其他8个方格内；每行、每列、每条对角线上的数按大数和小数互相搭配填，再调整就可以了．【解答】解：答案如下：672159834故答案为：6，7，2；1，5，9；8，3，4．【点评】本题考查了有理数的加法，这类问题关键是再求出中间数，然后把剩下的数根据和凑成对，根据幻和调整每一对数的位置填入表中．14．（2012•长宁区校级自主招生）两个自然数的积是3322，那么这两个自然数的和最小是173．【分析】把3322分解质因数，进而找出符合条件的两个自然数，进而求得它们的和，从而找出和最小是多少即可．【解答】解：3322＝2×11×151，符合条件的两个自然数可以是：1和3322，2和1661，11和302，22和151，所以这两个自然数的和最小是：22+151＝173；故答案为：173．【点评】主要考查了有理数的乘法，解决此题关键是把3322分解质因数，找出符合条件的两个自然数，进而求和加以比较得解．15．（2021•宝山区校级自主招生）[]+[]+…+[]＝4045（其中[a]表示不超过a的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．【分析】利用取整函数把算式变为404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5，再进行计算即可．【解答】解：[]+[]+…+[]＝（[]+…[]）+（[]+…[]）+（[]+…[]）+（[]+…[]）+（[]+…[]）+[]＝404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5＝4045故答案为：4045．【点评】本题考查了有理数的混合运算，能够理解取整的函数是解答本题的关键．16．（2017•浦东新区校级自主招生）进制是人们规定的一种进位方法．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制．而十五进制是15为基数进位的计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的旧面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系，现采用数字0﹣9和字母A﹣E共15个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：15进制0123456789ABCDE10进制01234567891011121314例如，用十五进制表示：5+9＝E，3+D＝11，E+D＝1C．则A×C＝80．【分析】在解决本题时首先将15进制转化成10进制，如：3+D＝3+13＝16（10进制）＝11（15进制），按此方法即可得出答案．【解答】解：A×C＝10×12＝120＝15×8（10进制）+0＝80（15进制）+0＝80．故答案为：80．【点评】本题主要考查了十进制与15进制之间的相互转化，弄懂10进制与15进制之间的转化关系是解决本题的关键．17．（2016•宝山区校级自主招生）六位数123123含有质因数的个数是5．【分析】将123123分解质因数，依此可求六位数123123含有质因数的个数．【解答】解：123123＝3×7×11×13×41，故六位数123123含有质因数的个数是5．故答案为：5．【点评】考查了有理数的乘法，关键是将123123分解质因数．18．（2016•宝山区校级自主招生）若x是实数，则y＝|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|+5|x﹣5|的最小值为15．【分析】分6个区域：（1）当x≤1，原式＝1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝55﹣15x；（2）当1＜x≤2时，原式＝x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝53﹣13x；（3）当2＜x≤3时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝45﹣9x；（4）当3＜x≤4时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝27﹣3x；（5）当4＜x≤5时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（5﹣x）＝5x﹣5；（6）当x＞5，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（x﹣5）＝15x﹣55；比较最小值，即可求得答案．【解答】解：方法1：（1）当x≤1，原式＝1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝55﹣15x，则x＝1时，有最小值40；（2）当1＜x≤2时，原式＝x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝53﹣13x，则x＝2时，有最小值27；（3）当2＜x≤3时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝45﹣9x，则x＝3时，有最小值18；（4）当3＜x≤4时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝27﹣3x，则x＝4时，有最小值15；（5）当4＜x≤5时，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（5﹣x）＝5x﹣5，则y没有最小值；（6）当x＞5，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（x﹣5）＝15x﹣55，则y没有最小值；故当x＝4时，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|+5|x﹣5|的最小值为15．方法2：共有1+2+3+4+5＝15个绝对值之和，故x取第8个零点值，即x＝4时和最小，3+2×2+1×3+0×4+5×1＝3+4+3+5＝15．故答案为：15．【点评】此题考查了绝对值的最值问题．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．19．（2016•徐汇区校级自主招生）一堆水果因长期放置，含水量从97%下降至96%，那么这堆水果的总重量下降了25%．【分析】根据含水量的变化＝总重量的变化，列方程计算．【解答】解：设总重量原有x，现有y，则减少量为（x﹣y），97%x﹣96%y＝x﹣y，解得，3x＝4y，所以下降了＝25%．答：这堆水果的总重量下降了25%．故答案为：25%．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确含水量的重量变化和总重量变化的关系．20．（2017•杨浦区校级自主招生）方程x＝（x﹣）+（1﹣）的解为x＝．【分析】运用换元法，化简求解可得结果．【解答】解：∵x＝∴x＝，①设y＝，②则xy＝x﹣﹣