浙江省嘉兴市八校联盟2022-2023学年高一年级下册期中联考数学 含解析

2022学年高一年级第二学期嘉兴八校联盟期中联考

数学试题

考生须知：

1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名.考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.复数z=3-4i的虚部是()

A.3B.-4C.4iD.-4i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的相关概念，即可判断.

【详解】根据虚部的定义，可知，复数z=3—4i的虚部是T.

故选：B

2.已知向量。=(1,2),2-2=(3,2),则［=()

A.(-2,0)B.(4,4)C.(2,0)D.(5,6)

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量减法的坐标运算可得答案.

【详解】8=a—(a—。)=(1,2)—(3,2)=(—2,0),

."=(-2,0).

故选：A.

3.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是()

俯视图

A.圆柱B.棱柱C.棱台D.圆台

【答案】D

【解析】

【分析】根据三视图确定正确选项.

【详解】由三视图可知，该几何体上下底面是圆且两个圆的半径不相同，所以该几何体是圆台.

故选：D

4.已知(l+i)z=2+4i,则|z|=()

A.10B.2C.回D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求出z再求模长可得答案.

2+4i_(2+4i)(l-i)_2+4+2i_

【详解】z:-1+i(l+i)(l-i)2-'+1'

则目=师

故选：C.

5.ABC中，点M为AC上的点，且AM=3MC，若+(4〃eR),则几一〃=

()

111

—B.---C.—D.-

3232

【答案】B

【解析】

13

【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量8M，结合条件即可求得九=一,〃=一,

44

可得答案.

33

【详解】由题意可得8M=BA+AM=BA+二AC=6A+-(BC-BA)

44

13

^-BA+-BC,

44

13

又6M=48A+〃6C,故4=—,〃=—,

44

故/1-//=——,

故选:B

6.若(a+0+c)("+c-a)=3Ac,S.ccosB-bcosC,那么..ABC是()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理求出cosA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值，再利用ccosB=/?cosC

结合余弦定理可得出b=c,即可得出结论.

【详解】因为(a+0+c)("+c—a)=38c,^\(b+cf-a2=3bc,可得从+c?=从，

由余弦定理可得cosA="一+c?=J.,因为A«O,兀)，所以，4=:，

2bc2''3

22122.I22

因为ccos3=bcosC,则「3七二b.a—C,整理可得。=c.

2ac2ah

所以，..ABC为等边三角形.

故选：A.

7.在如图的平面图形中，已知OM=2,ON=1,/MON=60，BM=3MA，CN=3NA，则

8C・OM的值为()

A.-15B.-12C.-6D.O

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的线性运算将BC用,ON表示,再由向量数量积运算可得结果.

BM=3MA>AB=4AM，

CN=3NA,：.AC=4AN,

：.BC=AC-AB=4AN-4AM=4（AN-=4MN,

又MN=ON-OM，

BC=4（ON-OM）,又|0M|=2,|QV|=1,/MON=60，

：.BCOM=40M（ON-OM）=4OMON-4OM'

=4x2xlxcos60°-4x2?=-12.

故选：B.

8.一个棱长为。的正四面体中内切一个球。，若在此四面体中再放入一个球O',使其与三个侧面及内切

球。均相切，则球。的半径为（）

«V6>/2V6V2

A.。BR.aCr.ciDn.d

882424

【答案】C

【解析】

【分析】根据球的几何性质，结合正四面体的性质、三棱锥的体积公式、等积法进行求解即可.

【详解】设内切球。的半径为r,球O'的半径为R.设此棱锥的高为〃，底面心/WC的中心为M,

因为正四面体的棱长为。，所以底面的AN=与，s——巴

2A"224

所以三棱锥P-ABC的表面积为岛1.

9.设加，〃是两条不同的直线，«,仅是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A.若,则〃

B.若加〃〃，ml/a,则〃//a

（1若加（=1,nu0,则加，〃是异面直线

D.若a//£,mua,nuP,则相〃〃或"”是异面直线

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据面面平行的性质、线面平行的性质逐一判断即可.

【详解】A：当m//a,〃//a时，m,〃可以相交、平行、异面，因此本选项不正确；

B：当加〃〃，m//a时，直线〃可以在平面a内，因此本选项不正确；

C：当加ua,时，m,〃是可以是相交直线、平行直线、异面直线，因此本选项不正确；

D：因为a//〃，mua,nu0,所以直线加，〃是两条没有交点的直线，

所以加〃〃或加，〃是异面直线，因此本选选项正确，

故选：ABC

10.如图所示，.A'6'C是水平放置的一ABC的斜二测直观图，其中则以下说

法正确的是（）

A._A8C是钝角三角形

B.ABC的面积是AB'C'的面积的2倍

C.是等腰直角三角形

口._43。的周长是4+40

【答案】CD

【解析】

【分析】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.

【详解】根据斜二测画法可知，

在原图形中，。为C4的中点，ACA.OB,

因为O'C'=O'A!=20'B'=2,

所以C0=A0=2,AC=4,OB^2,

则-ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示:

CA~

所以一ABC的周长是4+4夜，面积是4,故A错误，C,D正确.

在，A'B'C中，AC=4,

过8'作无轴垂线，垂足为。C,N8'O'4=45°,

所以8'。'=也0B=变，

22

所以A'B'C的面积是正，的面积是4，

.ABC的面积是A'3'C'的面积的20倍，故B错误.

故选：CD

11.已知向量。/不共线，若=b，AC=a+A2b,且A,B,C三点共线，则关于实数4,4

的值可以是()

A.2,gB.—31—C.2,----D.—31一

2323

【答案】CD

【解析】

【分析】由A,B,。三点共线，可得存在唯一实数/I,使46=7143,从而可得到4,4的关系，进

而可得答案

【详解】因为向量。/不共线，AB=\a-h,AC=a+^b,且A,B,。三点共线，

所以存在唯一实数2,使AB=4AC，

所以4a—B=/L(a+45),所以I］，

所以44=-i,

故选：CD

12.在平面内，设Q4=q,AB=b，BC=c>CO=d>M1=4,\b\=2,|c|=1,则以下结论正确

的是()

A.a=—3+6+0B.IdI的取值范围是[0,7]

C.c,d的最大值是5D.cM的最小值是—9

【答案】AC

【解析】

【分析】利用d+AB+BC=OC可判断A：网=k+人+c|,当&,人，c都同向时可得卜|长度最大

值，当b，C同向，且与。方向相反时可得|4的长度最小值可判断B,利用=-l-(a+b)-c,当

a,Z?同向，且与c同向时，可得c・d最小值可判断D,当a,Z?同向，且与c反向时可得c・d最大值

可判断C.

【详解】0A—a»AB=b，BC=c»CO=d^|^|=4,|/?|=2,|c|=l,

OA+AB+BC=OC即CO=d=_OC=_(a+〃+c),故A正确；

同=|d+b+d，当a，b，c都同向时，|《的长度最大为l+2+4=7,

当匕，C同向，且与a方向相反时，W=|a+b+c|的长度最小为1,

即M的取值范围是[1,7],故B错误；

cd=-[a+h^-c-c1=-l-(a+Z?)・c,

则当。，匕同向，旦与c同向时，C.d最小为—1—6x1=—7,故D错误；

当。，人同向，且与c反向时，c-d最大为T+6xl=5,故C正确.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：由次+AB+BC=OC，当a，b，e都同向时，|"|的长度最大，当沙，。同

向，且与〃方向相反时，同=,+b+c|的长度最小.

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若圆锥的母线长为2cm,底面半径为icm,则该圆锥的表面积为cm2.

【答案】37t

【解析】

【分析】根据给定条件，利用圆锥表面积公式计算作答.

2

【详解】依题意，该圆锥的表面积为兀xlx2+兀xF=37r(cm).

故答案为：3兀

14.彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬

塔的高度A3,选取了与塔底8在同一水平面内的两个测量基点。与。，现测得N8CD=15，

ZBDC=135，CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高A3m.

【答案】20指

【解析】

【分析】在<中，由正弦定理［-------------------二可得CB,再由AB=C8tan60可得答案.

sinNDBCsinZBDC

【详解】因为NBCZ)=15，ZBDC=135，所以NO8C=30，

CD

在43OC中，由正弦定理可得———,可得CB=———sinNBDC=20及，

sinNDBCsinZBDCsinZDBC

在直角三角形一ABC中，ZACB=60，

所以AB=CBtan60=2072x73=2076.

故答案为：20>/6.

15.已知平面向量"=6,e是单位向量，e与a夹角为60，则向量a在向量e上的投影向量为

【答案】3e

【解析】

【分析】根据投影向量的定义计算可得答案.

【详解】向量£在向量"上的投影向量为|a|.cos60•j=6x]xe=3e.

故答案为：3e-

16.已知中角A£C所对的边为a,/?,c,A8=J5,AC=1,点。在8。上,

51

NBAD+NBAC=%,记△A6O的面积为E，ABC的面积为$2，肃=£,则

323

【答案】2

【解析】

【分析】利用面积公式和已知面积比可以求得%=],从而得到AD=：,在△A3。和中同

ACj3

时应用正弦定理并结合得到处=42=2.设CD=X,则比>=2x,BC=3x,在△ABD和_ABC

BCAC3

中同时应用余弦定理并结合，消角求值：

【详解】设=则N84C="-6>,

则&=；xV5A£）sine,S2=；x0xlxsin（乃一夕）.

S,22

因为U=所以AD=；

S233

在△A3。中，由正弦定理得上■=图、

sinBsin6

ACBC

在'ABC中'由正弦定理得而F4西'

两式相比得挺AD2

BC~AC~3

设CD=x,则BD=2x,BC=3x，

在,ABC中，由余弦定理得2+l—2x夜xlxcos(〃-8)=9f,

所以20cos6=9x2—3①.

在△A8Z)中，由余弦定理得2+3-12&cose=4%2,

9

所以3拒cos9=1-9%2②,

2

2

联立①②得％=—，所以8C=2.

3

故答案为：2.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.求实数巾的值或取值范围，使得复数z=/«2+加一2+（加2—分别满足：

（1）z是实数；

（2）z是纯虚数；

（3）z是复平面中对应的点位于第二象限.

【答案】（1）m=±\

（2）tn=—2

（3）-2<m<-l

【解析】

【分析】（I）根据复数的概念列式可求出结果；

（2）根据复数的概念列式可求出结果；

（3）根据复数的几何意义可求出结果.

【小问1详解】

由题意得加2一1=（）,所以%=±1；

【小问2详解】

m+加-2=0

由题意得《2，所以机=-2；

於一IwO

【小问3详解】

\m2+m-2<0

由题意得〈,,所以一2</〃<一1.

/n2-l>0

18.已知向量。=(3,2),/?=(x,-l).

(1)当(a+2Z?)J_(2a—切且x>0时，求卜+目；

(2)当c=(—8,-1),a//S+c)求向量。与力的夹角a.

【答案】(1)痣；(2)

4

【解析】

【分析】(1)由向量的坐标运算法则先求出a+2b，2a-〃的坐标，再由条件可得

@+2斗(2：」)=0,求出x的值，再求+人的坐标，得出其模长.

(2)由向量的坐标运算法则先求出%+1的坐标，由a//(6+c),求出x的值，然后由向量的夹角公式可

得答案.

【详解】⑴向量4=(3,2),b=(x,-l)，则。+2Z?=(3+2x,0),2a—Z?=(6-九,5)

由(a+2b)1(2a—b),可得。+21).(2：—=0

3

即(3+2x)(6—x)+0x5=0,解得％=6或%=一一

又x>0,所以x=6,则人=(6,-1)，则。+6=(9,1)

所以,+0=历了=短

(2)由c=(-8,—1),b=(x,-l)-a=(3,2),则b+c=(x-8,-2)

由a//S+c),可得3x(—2)—2x(x—8)=(),解得x=5

所以,卜屈，卜卜而，a-b=3x5+2x(—1)=13

a-h13V2

cosa=.11,=—j=——T==—

同堀V13xV262

A__7^

又aI[0,乃],所以a=—

4

19.如图，A8是圆柱的底面直径，42=2,必是圆柱的母线且雨=2,点C是圆柱底面圆周上的点.

p

（1）求圆柱的侧面积和体积；

（2）若AC=1,。是PB的中点，点E在线段用上，求CE+E。的最小值.

【答案】（1）圆柱的侧面积为4兀，体积为2兀

⑵非

【解析】

【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式即可求解；

（2）将CE和转化到一个平面中，利用两点间线段最短即可求得最小值.

【小问1详解】

圆柱的底面半径r=l,高力=2,

圆柱的侧面积6=2兀/=27ixlx2=47i.

圆柱的体积V=nr2h=7ixI2x2=2TI-

小问2详解】

将绕着PA旋转到R4C使其与平面以8共面，且C'在AB的反向延长线上

71

VPA=AB=2,/PBA=—,

4

BD=、BP=五,BC=3A+AC=2+1=3,

2

.•.在三角形C'B。中，

由余弦定理得CZ>=，3?+（、历『―2x3x夜x*=石，

，CE+ED的最小值等于75.

20.己知村庄B在村庄A的北偏东45°方向，村庄C在村庄A的北偏西75。方向，且村庄AC之间的距

离是千米，村庄c在村庄8的正西方向，现要在村庄8的北偏东30°方向建立一个农贸市场。，使

得农贸市场。到村庄C的距离是到村庄8的距离的6倍.

（1）求村庄&C之间的距离;

（2）求农贸市场。到村庄8,C的距离之和.

【答案】（1）6千米;

（2）6+6百千米.

【解析】

【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；

（2）设=则OC=gr，在ABC。中，由余弦定理求出r,从而可求解.

【小问1详解】

由题意可得AC=2#，ZBAC=120°,ZCBA=45°.

AQBC

在」ABC中，由正弦定理可得---------

sinZCBAsinABAC

2任xB

则BC=­1=6.

V2

T

即村庄8,C之间的距离为6千米.

【小问2详解】

村庄C在村庄B的正西方向，因为农贸市场。在村庄8的北偏东30°的方向,

所以NO8C=120°.

在△88中，设DB=f,则。。=疝，

由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-IBC-BDcosZCBD，

化简得「一3f—18=0,解得f=6或，=一3（舍去），

即B£>=6,CD=6百.

所以农贸市场。到村庄区。的距离之和为6+6J5千米.

21.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，尸为A3上的点，且AE=2E8，E为

（1）证明：PB〃面AEC

（2）在PC上是否存在一点G,使得尸G〃面AEC?若存在，指出点G位置，并证明你的结论；若不

存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）PC上存在点G,且CG=2GP,证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据中位线定理作图，结合线面平行的判定定理，可得答案；

（2）根据等比例平行，结合线面平行判定以及面面平行判定，利用面面平行性质，可得答案.

【小问1详解】

证明：连BO交AC于。，因为E为尸。中点，所以EO是△BPD中位线,

所以EO//PB.又EOu面AEC,PBu面A£C.

所以PB〃面AEC.

【小问2详解】

PC上存在点G,且CG=2GP,使得FG〃面钻C,

证明：Q4上取点“，且AH=2HP，

因为尸为A3上的点，且AF=2EB，

所以在；A4B