2022-2023学年江苏省泰州二中附中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省泰州二中附中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图,直线a〃/V/c,直线4c分别父a,b,c于点4B,C：直线。尸

分别交a,b,c于点D,E,F.若台I，则器=（）

2.数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边4B=c,

一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断

44cB是直角的依据是（）

A.勾股定理

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90。的圆周角所对的弦是直径

3.已知一个正多边形的内角是140。，则它是几边形（）

A.10B.9C.8D.7

4.如图，转盘中点A,B,C在圆上，44=40。，48=60。，让转盘

绕圆心。自由转动，当转盘停止时指针指向区域HI的概率是（）

2

-

A.9

9

D1

5.如图，在△ABC中，DE//BC,EF//AB,记=16,S2EFC=%贝U

S平行四边形DBFE=（）

BC

A.9

B.12

C.16

D.20

6.在平面直角坐标系中，设函数、=。%2+（£1-1次一19是常数，。=0）

①若a>0,则该函数图象与x轴一定有两个交点，而且在原点两侧.

②无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点.则（）

A.①错误，②错误B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①正确，②正确

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.已知线段a=4,线段b=9,则a,b的比例中项是

8.若。。的半径为3cm,点4与圆心。的距离为4cm,则点4与。。的位置关系是.

9.不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出

一个球是红球的概率是

10.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,剪去一个矩形28EF后,

余下的矩形EFDCs矩形BC/Z4,则EC的长为.

11.如图，在平面直角坐标系中，点4在第一象限内，点8在x轴正半

轴上，△。。。是以点。为位似中心，在第三象限内与AOAB的相似比

为:的位似图形.若点C的坐标为则点4的坐标为.

12.有甲、乙两组数据，如下表所示:

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为S今,S；,则SiS家填“>”，“<”或"="）.

13.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的侧面面

积为cm2（结果保留切.

14.二次函数y=2/-4x+3m的图象的顶点在久轴上，则?n的值为.

15.△力BC中，BD平分42BC交4c于点。，且4DBC=ZC,若

BD=5,AD=2,则BC=.

16.在平面直角坐标系中，己知二次函数'=机％2+71丫+2(巾,"是常数，加40)的图象和直

线y=mx+4n都经过点(2,p),则m?+/一7rm的范围为.

三、解答题(本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

(1)解方程：6%2-72%+15=0；

(*+2v1

(2)解不等式组3.

(2(1-x)<5

18.(本小题10.0分)

人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口

发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向

第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件.某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查

数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

(数据分成6组：0Wx<20,20Wx<40,40Wx<60,60Wx<80,80Wx<100,100<

x<120)

频数/省、自治区、直辖市个数

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数(百万人)在40Wx<60这一组

的数据是：58,47,45,40,43,42,50；

信息三：2010-2021年全国大陆人口数及自然增长率;

II全国大陆人口

一•一自然增长率

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为百万人.

(2)下列结论正确的是.(只填序号)

①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有2个地区；

②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

(3)2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低.

(3)请写出2016—2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化

趋势谈谈自己的看法.

19.(本小题8.0分)

现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别

写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾.其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放

了两袋垃圾.

(1)直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；

(2)求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率.

20.(本小题8.0分)

如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形4BC的边上,已知△ABC的ZB=AC=10,

BC=16,记矩形DEFG的面积为S,线段BE为久.

(1)求S关于x的函数表达式；

(2)当S=24时,求x的值.

21.(本小题10.0分)

如图，点4在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D,C两点.

(1)04与。。满足什么条件时，AC=BC,写出满足的条件，并证明4c=BC；

(2)在(1)的条件下，若。4=1,BD=3\[-2＜求CD长.

22.(本小题10.0分)

某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y(瓶)与每瓶售价%(元

)之间存在一次函数关系(其中10WXW21,且x为整数)，当每瓶消毒液售价为12元时，每天

销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；

(1)求y与4之间的函数关系式；

(2)设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售

该消毒液每天销售利润最大.

23.(本小题10.0分)

如图1,平行四边形ABCD中，。为BC上一点，4。平分4BAD,以。为圆心，OC为半径的圆，

与AB相切于点E

(1)求证：。。与4D相切

(2)如图2,若。。与/D相切于点F,DF=7,80=5,且4。>45°,求弧FC、线段DF和CD组

成的图形面积.

24.(本小题10.0分)

2

已知函数yi=x-1>y2=x-1,函数5/3=a(7-1)+b(x-l)(aH0)称为y1、及的组合

函数.

(1)求力、旷2的图象的交点坐标；

(2)%、的图象的交点为4B,抛物线丫3顶点为C,若△ABC是等腰直角三角形，请直接写

出符合条件的a、b的值.

25.(本小题12.0分)

(1)如图1,。、E为等边△A8C中BC边所在直线上两点，/.DAE=120°,求证：△ABD"ECAx

⑵△ADE中，/.DAE=120°,请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点B、C,点B在点C

的左侧，使得A/IBC为等边三角形；

⑶在(1)的条件下，H为BC边上一点、,过H作〃力。交AB延长线于点F,HG〃AE交AC延长

线于点G,若力B=6,BD=a,Z.HAE=60°,求鉴的值.(用含有a的代数式表示)

n(j

图1图2

26.(本小题14.0分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线yi=-x2-6x.

(1)求抛物线力的顶点P坐标；

(2)平移抛物线yi得抛物线丫2,两抛物线交于点4过点A作x轴的平行线交抛物线乃和平移后

的抛物线丫2分别为B和C(点B在点C的左侧).

①平移后的抛物线为顶点在直线x=1上，点/的横坐标为-1，求抛物线的表达式；

②平移后的抛物线丫2顶点在直线％=1上，点4的横坐标为巾(一3<m<1),求BC的长；

③设点4的横坐标为71,BC=10,抛物线的顶点为Q，设PQ2=y,求y关于n的函数表达

式，并求PQ的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•：*=,，

DCo

AB2

‘AC=5"

・・・a〃b“c,

.DE_AB_2

DFAC5

故选：B.

先由黑=3根据比例的性质可得喋=I,再根据平行线分线段成比例定理求解即可.

考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的

关键.

2.【答案】B

【解析】解：由作图痕迹可以看出。为48的中点，以。为圆心，A5为直径作圆，然后以B为圆心

BC=。为半径画弧与圆。交于一点C,故乙4cB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断44cB是

直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.

故选：B.

由作图痕迹可以看出48是直径，44cB是直径所对的圆周角，即可作出判断.

本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：设正多边形的边数是n,由内角和公式，得

(n-2)x180°=nx140°.

解得n=9,

故选：B.

多边形的内角和可以表示成(n-2”180。，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成

140°n,列方程可求解.此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角

和定理求解.

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变

形和数据处理.

4.【答案】C

【解析】解：SCAB=40。，乙ABC=60°,

•••4ACB=180°-40°-60°=80°,

•••UOB=160°,

・••当转盘停止时指针指向区域HI的概率是翳=I

故选：C.

根据三角形内角和求出乙4cB=80°,根据圆周角定理可求乙4OB=160°,再根据概率公式即可求

解求解.

此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现m种

结果，那么事件4的概率P（a）=M

5.【答案】C

【解析】解：,：DE//BC,

:.Z-AED=乙C,

•・•EF//AB,

••Z.A=乙CEF,

・•・△AED^h.ECF,

.S&AED_/空、2

-一（点），

SMDE=16，S&EFC=%

AE_

盗=2,

AE2

•••AC=3f

vDE//BC.

**.△&ABC9

.S^ADE_（竺）2_£

飞说一"。，-9'

•，,SBABC=36,

S平行四边形DBFE=36_\6_4=\6，

故选：C.

证明△AE/AAECF,根据相似三角形的性质求出黑=I，再证明△ADEsUBC,根据相似三角

/ICo

形的性质计算即可.

本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关

键.

6.【答案】D

【解析】解:a>0,

・,・函数y=ax2+(a-1)%一1为二次函数，

v/=(a—I)2—4aX(-1)=(Q+I)2,

而a>0,

(a+1)2>0,即4>0,

，该函数图象与不轴一定有两个交点，所以①正确；

设抛物线与％轴的两交点的横坐标分别为打、%2,

则》1、要为方程a%?+(a—l)x—1=0的两实数根，

1

VXrX2=一公V0,

・•・力与％2异号,

・•・抛物线与y轴的两交点在原点两侧，所以①正确；

vy—ax2+(Q—l)x—1,

・•・(%2+x)a=%+y—1,

当Q有无数个值时，/+x=0且％+y-1=0,

解喏匕畴

••・无论a取何值，该函数图象必定经过点(0,-1)和所以②正确.

故选：D.

由于a>0,则计算根的判别式得到4=(a+I)2>0,于是可判断该函数图象与x轴一定有两个交

点，设抛物线与x轴的两交点的横坐标分别为修、g，根据抛物线与％轴的交点问题，工1、兀2为方

程a/+(a-1)X-1=0的两实数根，利用根与系数的关系得x62=—5<0,则巧与&异号，所

以判断抛物线与y轴的两交点在原点两侧，从而可对①进行判断；把y=ax2+(a-1)%-1化为

关于a的不定方程得到+x)a=x+y-l,再利用a有无数个值得到/+%=0且芯+丫-1=0,

解得｛；1°4或｛；;Q1,则可得到该函数图象经过点(0，一1)和(一1，°)，于是可对②进行判断.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数丁=。K2+法+4£1/,£:是常数，。#0)与％轴的交

点坐标问题转化为解关于％的一元二次方程；/=广—4ac决定抛物线与x轴的交点个数.也考查

了二次函数的性质.

7.【答案】6

【解析】【分析】

此题主要考查比例线段问题.根据已知线段a=4,6=9,设线段％是a,b的比例中项，列出等式，

即可得出答案.

【解答】

解：•・・£!=4,b=9,设线段x是a,b的比例中项，

.a_%

Ax=b9

%2=ah=4x9=36,

.,•%=6,x=-6（舍去）.

故答案为6.

8.【答案】圆外

【解析】解：：。。的半径为3an,点4与圆心。的距离为4cm,

，点4在。。外，

故答案为：圆外.

判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案.

本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为丁，点P到圆心的距离

OP=d,则有：①点P在圆外Qd>r；②点P在圆上Qd=r；③点P在圆内

9.【答案】|

【解析】【分析】

本题考查了概率公式：随机事件4的概率PQ4）=事件4可能出现的结果数除以所有可能出现的结果

数.

根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可.

【解答】

解：•••不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，

・•・从袋中任意摸出一个球是红球的概率=白=|.

故答案为|.

10.【答案】1

【解析】解：•.•四边形4BCD是矩形，

■•■AB=CD=2,AD=BC=4,

•••四边形EFDC是矩形，

EF=CD=2,CE=DF,

•••余下的矩形EFDO矩形BCD4

ADAB

哈华，

•••CE=1,

故答案为：1.

根据相似多边形的性质得益=嚣，即”竽，然后利用比例性质求出CE,再利用勾股定理计算即

/\LfnDT-Lt

可.

本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边

形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比.

11.【答案】(3,2)

【解析】解：•・・△OCD是以点。为位似中心，在第三象限内与AOAB的相似比为；的位似图形.若点

C的坐标为(―1,—务

•••点4的坐标为(-1X(-3),-|x(-3)),即点4的坐标为(3,2),

故答案为：(3,2).

根据位似变换的性质计算，得到答案.

本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为鼠那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-仁

12.【答案】＞

【解析】解：。9x(11+12+13+14+15)=13,

s^=|x[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]=2,

jx(12+12+13+14+14)=13,

S；=々X[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]=0.8,

v2>0.8,

•1-4>4.

故答案为：>.

根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案.

本题考查方差的定义：一般地设n个数据，X],X2,…今的平均数为高则方差S2=彳[。1一1)2+

22

(x2-x)+-+(xn-x)]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成

立.

13.【答案】37r

【解析】【分析】

本题考查了圆锥的侧面积计算，考查了扇形面积公式，属于基础题.利用圆锥的侧面展开图为一

扇形，所以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积.

【解答】

2

解：该圆锥的侧面面积=丹萨=3兀(cm2),

故答案为37r.

14.【答案】|

【解析】解：y=2x2—4%+3m=2(%—l)2—2+3m,

・•・顶点(1,3m-2),

•・・顶点在x轴上，

・•・3m—2=0,

2

:.m=-,

故答案为：|.

求出顶点(1,3m-2),再由题意可得3m-2=0,即可求m的值.

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.

15.【答案】守

【解析】解：BD平分乙ABC,

，Z.ABD=乙DBC,

Z-DBC—乙C,

BD=CD=5,

AC=ADCD=2^5=7,

Z-A=Z-A,乙ABD=乙C,

△ABD~AACB,

AB：AC=AD：AB,

AB2=14,

AB>0,

AB=V-14，

~BC=~AC9

5\T14

—―------,

BC7

证明△ABD〜ACB,利用相似三角形的性质解决问题.

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

16.【答案】m24-n2-mn＞弓

4

【解析】解：把(2,p)分别代入y=mx24-nx4-2和y=mx+4九得4m+2n+2=p,2m+4n=p,

m—n=-1,

即?n=

vmH0,

・•・71H1,

13

・•・m2+n2—mn=(m—n)2+mn=1+n(n—1)=n2—n4-1=(n--)2+

:.m24-n2—nm的最小值为去

22

・•・m4-n—mn的取值范围为血2+层_mn＞,且不等于1.

4

故答案为：m2+n2—mn＞，且不等于1.

先把(2,p)分别代入y=mx2+九％+2和y=mx+4九得4m+2几+2=p,2m4-4n=p,消去p得

到m=n-1,UJiJm2+n2—mn=(m—n)2+mn=1+n(n-1)=n2—n4-1=(n—1)2+

然后利用二次函数的性质即可求解.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质.

17.【答案】解：(1)原方程可化为2/-24x+5=0,

vb2-4ac=(-24产_4x2x5=536>0,

f土Jm4如=24±2E=]2±E

2a2x22

解得：/=6+手，小=6-卓；

—<1①

(2)3,

(2(1-x)<5(2)

•••解不等式①得：x<1,

解不等式②得：x>-1.5,

不等式组的解集为一1.5<x<1.

【解析】(1)求出〃-4ac的值，再代入公式求出即可；

(2)求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可.

本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，主要考查学生的计算能力.

18.【答案】40②

【解析】解：(1)将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，

因此中位数是40百万人，

故答案为：40；

(2)①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有3+2=5个地区，故

原结论错误，不符合题意；

②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正

确，符合题意；

③2010-2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010-2012,2013-2014,2015-2016

年增长率持续上升；2012-2013,2014-2015,2016-2021年增长率持续降低，

故原结论错误，不符合题意.

所以结论正确的是②.

故答案为：②；

(3)2016-2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低.

看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负(答案不唯一).

(1)根据已知发现中位数在第二组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数

即可求出中位数；

(2)从频数分布直方图可知，比95亿元多的省份有5个，因此处在第六名；

①根据频数分布直方图进行判断即可；

②根据条形图与折线图即可判断；

③根据折线图即可判断；

(3)根据条形图与折线图可写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化

趋势，根据变化趋势写出看法即可.

本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是

正确解答的前提.

19.【答案】解：(1)将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为4,B,C,D,

•••小明投放了一袋垃圾，

二小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：?

(2)画树状图如下:

ABCDABCDABCDABCD

由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结

果，

所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为兴=p

1O4

【解析】(1)直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率;

(2)首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案.

此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键.

20.【答案】解：（1）过点作4M1BC于点M,

vAB=AC=10,BC=16,

BM=：BC=8,

在RtMBM中，AM=VAB2-BM2=6>

•••四边形DEFG是矩形，

ADG//EF,DE1,BC,

••AN1DG,四边形EDMN是矩形,

・•・MN=DE,DN=EM,

vBE=%,

:.EM=DN=8-%,

设。E=MN=a,则4N=6-a,

•・•DG//EF,

・•.△ADN~AABM,

川

4ND右8X

--艮-

=--=-8-

4M0M6

3

aX

=4-

・C••LDE=3-x

4f

33

・•・S=S矩形DEFG=•EF=-x•(16—2%)=—万，+12x(0<x<6)

(2)当S=24时，一|/+i2x=24,

解得x=4.

【解析】(1)首先过点作4M1BC于点M,由AB=AC=10,BC=16,根据等腰三角形的性质与

勾股定理，即可求得4M的长，又由四边形OEFG是矩形，由BE=x,可知EM=DN=8-x,设

DE=MN=a,则4N=6—Q,根据DG〃EF,得出△ADN〜ZkaBM,故瑞=器，即乎=等，

33

a-

4-4-再由矩形的面积公式即可得出结论;

(2)把S=24代入(1)中的函数关系式，求出x的值即可.

此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意辅助线的

作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

证明：,••乙4。。=90。，

.・・△4。。是等腰直角三角形，

:.Z.ODA=45°,

・・・Z,ODA=/.ABC=45°,

•••48是圆的直径，

・・・2LACB=90°,

:.Z-BAC=45°,

:.Z.BAC=Z.ABC,

・・・4C=BC；

(2)・・・48是圆的直径，

・・・Z-ADB=90°,

・・・Z.AOC=Z.ADB=90°,

vZ.ACO=乙ABD,

・•.△AOC〜AADB,

:.OC：DB=OA：AD,

♦：AD=>T2OA=/1，

：・OC：3V-2=1：7-2,

.・.OC=3,

DC=OC-OD=3-1=2.

【解析】(1)连接4D,当。4=。。时，由圆周角定理，圆内接四边形的性质可以证明AC=BC；

(2)由勾股定理求出4。的长，由圆周角定理，可以推出△40C-AADB得到。C：DB=AO：AD,

即可求出DC的长.

本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟

练掌握以上知识点是解题的关键.

22.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k*0),

将(12,90),(15,75)代入旷=7芯+>

{:设施=猾，解得:{仁志，

(15k+b=753=150

y与x之间的函数关系式为y=-5x+150(10<%<21,且x为整数).

(2)依题意得：w=(%-10)(-5x+150)=-5x2+200%-1500=-5(x-20)2+500.

v-5V0,

二当x=20时，w取得最大值，最大值为500.

答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元.

【解析】(1)根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；

(2)利用销售该消毒液每天的销售利润=每瓶的销售利润x每天的销售量，即可得出w关于x的函数

关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题.

本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据给定的数

据，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式：(2)根据各数量之间的关系，找出w关于x的函

数关系式.

23.【答案】(1)证明：作OHJ•力。于从

••・。。与4B相切于E,

•••OE1AB,

-04平分4BAD,

•••OH=OE,图1图2

.••点。到AC的距离等于。。的半径,

.•・。0于力£>相切；

(2)解：设。。的半径是r,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.・.BC=AD=5+丁，

•・・AE,AF分别与0。相切,

AE=AF=AD-FD=5+r—7=r—2,

•・・4。平分4BAD,

：■(BAO=Z.FAO,

-AD//BC,

・•・Z.FAO=Z-AOB,

・•・Z-BAO=Z.AOBf

・•・BA=BO=5,

BE=AB-AE=5-(r-2)=7-rf

•・・OB2=0E2+BE2,

••r2+(7-r)2=52,

.・.r=4或丁=3,

・・•乙D=/B大于45。，

J~2

■■■sinB>sin45°=—>

当OE=3时，

.OE3,口

SlnnB=OB=5<-'

当0E=4时，

.•・r=4,

1

111XX

•.•梯形0cOF的面积=5(OC+FD)・OF=>(4+7)x4=22,扇形OCF的面积=^nr2-4-7r

42=4TT,

.••弧尸（7、线段OF和C。组成的图形面积=梯形OCOF的面积一扇形OCF的面积=22-47r.

【解析】（1）作。，_L4C于H,由条件可以证明OH=OE,由切线的判定方法，即可证明问题；

（2）由勾股定理和NC大于45。，可以求出圆的半径，由梯形的面积，扇形的面积即可解决问题.

本题考查切线的判定，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的性质，梯形，扇形的面积，关

键是掌握切线的判定方法；应用勾股定理求出圆的半径.

24•【答案】解：⑴解｛/二=［得｛♦二［或｛。二o'

・•・函数yi=/—1,丫2=x-1的图象的交点坐标为（0，-1）和（1，。）；

222

（2）•・•y3=a（x—1）4-b（x—1）=axbx-a-b=a［x+^）—（之二"）-,

2

••・抛物线丫3顶点c（-20皿），

k2a4a7

由(1)知4(0,-1),8(1,0),

当C为直角顶点时，如图：

C与。重合或CQ-1),

(2a+by_(2a+b『

(4a-n(4a

两个方程组都无解；

C的坐标为(一1,0)或(1,一2),

2aI2a

3+炉力(2a+b)2

(Q

两个方程都无实数解；

当8为直角顶点时，如图:

C的坐标为(0,1)或(2,-1),

f-y-=0f-y-=2

•'1_(2a+b)2=o或-3+方=_/

14a14a

解得｛j二，

综上所述，△ABC是等腰直角三角形，a的值是1,b的值是-4.

【解析】(1)将解析式联立成方程组，即可解得交点坐标；

(2)抛物线丫3顶点C(_2,-四地-)，由4(0,-1)，8(1,0)可得△ABC是等腰直角三角形时，C的坐

v2a4a7

标，分三种情况列方程组，可解得答案.

本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰直角三角形等知识，解题的

关键是分类讨论思想的应用.

25.【答案】(1)证明：•・・△4BC是等边三角形，

/.ABAC=60°.

•・•乙DAE=120°,

・•・乙DAB+^CAE=60°.

v乙DAB+=Z.ABC=60°,

・•・乙D=Z.CAE.

v乙DBA=/.ACE=120°,

:・bABD~bECA；

(2)解：如图，等边三角形△4BC即为所求;

DE

图2

(3)解：由(1)知：AABD八ECA,

ABBD

••———,

CEAC

ABA