山东省烟台市芝罘区高中协同联考2023届高三三模数学试题

山东省烟台市芝景区高中协同联考2023届高三三模数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集U=卜€N*|y=^/^},集合M={xeU|4'416},贝岫M=（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.已知复数z满足z—|z|=-8+12i,则z的实部是（）

A.9B.7C.5D.3

3.已知4,从/是三条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，0=1,aua,bu/3,

则下列结论正确的是（）

A.若。〃/，则a〃/B.若；a±l,则a，尸

C.若则。，尸D.a,人一定是异面直线

4.为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素

质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据2018年版的《国家学

生体质健康标准》评定等级，经过统计，甲校有30%的学生的等级为良好，乙校有60%

的学生的等级为良好，丙校有50%的学生的等级为良好，且甲、乙、丙这三所学校参加

测评的学生人数之比为5:8:7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名

学生，则该学生的等级为良好的概率为（）

A.0.40B.0.47C.0.49D.0.55

5.若x>0,y>（）,则“x+y<4”的一个必要不充分条件是（）

A.A:2+y2<8B.6<J4-yC.xy<4D.一+二<1

*y

□Q1

6.已知数列{见}的前“项和为S“，—+〃=3a,+l,则（）

n3

A.20B.19C.18D.17

31工，_

7.已知。=sinl,b=—,c=---,则小b,c,的大小关系为（）

7110g37T

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

8.已知双曲线号-3=1（。>0力>0）的上、下焦点分别为"，F2,过1的直线与双曲

线的上支交于M,N两点，若|g|,|MN|,|町|成等差数列，且叫，g,则该双

曲线的离心率为（）

D,显

AB.誓一

・日2

二、多选题

9.已知点A（l,2）,以3,1）,C（4,〃?+l）WeR）,则下列说法正确的是（）

A.|AB|=X/5B.若ABJ.BC，则，〃=-2

C.若AB〃8C，则山=-；D.若8A，8c的夹角为锐角，则〃?<2且

1

m*——

2

10.已知动点M到点N（0,2）的距离等于2,动点M的轨迹为「，直线/：

（1+2）x+y—+2）—1=0（2eR）,则（）

A./可能是「的切线B./与「可能没有公共点

C./与「可能有两个公共点D.厂上的点到/的距离的最大值为4

11.底面为直角三角形的三棱锥P-A8C的体积为4,该三棱锥的各个顶点都在球。的

表面上，点P在底面A5C上的射影为K,PK=3,则下列说法正确的是（）

A.若点K与点A重合，则球。的表面积的最小值为257r

B.若点K与点A重合，则球。的体积的最小值为署

C.若点K是的斜边的中点，则球。的表面积的最小值为等

36

D.若点K是ABC的斜边的中点，则球。的体积的最小值为名219广7K

162

12.已知函数/（x）=ln（27rex--）一2cos2楙，则（）

A./（2兀—x）=—/（x）B./（x）的图象关于直线尢=兀对称

C.竽卜/（1）0。，（x）仅有一个极值点

三、填空题

13.0五+2］的展开式中x的系数为.

14.过坐标原点作曲线y=（x+2）e'的切线，则切点的横坐标为,

试卷第2页，共4页

15.已知抛物线厂V=2px（p>0）的焦点为F（1,O）,点K在「上且在第一象限，直线

FK与厂的准线交于点M,过点M且与x轴平行的直线与「交于点”，若2HF=H/0+〃K，

则|阿=.

16.已知函数〃x）=|2sin（8+e）+l">0,网的图象经过点（0,2）,若/（x）在区

间［-千上单调递增，则3的取值范围是.

四、解答题

17.电视剧《狂飙》显示了以安欣为代表的政法人员与黑恶势力进行斗争的决心和信心，

自播出便引起巨大反响.为了了解观众对其的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打

分（满分为10分），得到如下表格：

观众序号12345678910

评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

（1）求这组数据的第75百分位数；

（2）将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对《狂飙》进行评价，记抽取的3人中评

分超过9.0的人数为X,求X的分布列、数学期望与方差.

18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知（。一c）sin8=Asin（A-C）

⑴求角A；

+/+（、2

（2）若A8C为锐角三角形，且43c的面积为S,求“+c的取值范围.

S

19.已知首项不为。的等差数列｛4｝,公差"R0,q=0（，为给定常数），S,为数列｛4｝

前"项和，且S叫=兀（肛<吗）,也｝为电一班所有可能取值由小到大组成的数列.

⑴求打；

,1〃2Tl+1>.1

（2）设c”=（T）'修/］）e+］），/为数列匕｝的前〃项和,证明：Tln<-.

20.如图，正四棱锥P-ABCO和正三棱锥P-C0E顶点均为P.

（1）设平面以8与平面PCO的交线为/,求证：UPE；

Q)若PE〃BC,PE的中点为F,求平面BCE与平面8E所成二面角的余弦值.

21.已知椭圆C：5+g=l(a>6>0)的右焦点为*2,0),且尸卜2,a)是椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过F的直线4(与x轴不重合)与椭圆C相交于A,8两点，过F的直线4与V轴交

于点M,与直线x=4交于点N«与4不重合)，记4知尸氏_2尸8,-距1,.一"^的面积

分别为s/",若月;邛(H+s,)，求直线4的方程.

22.已知函数/(x)=xex~a-Inx-lna(a>0).

⑴若的图象在x=l处的切线/与直线x+N+l=0垂直，求直线/的方程；

⑵已知0<a<正」，证明：〃力>二.

2。+1

试卷第4页，共4页

参考答案：

I.C

【分析】解相应不等式，化简集合，后由补集定义可得答案.

【详解】由题，y=行？=X45,则。={123,4,5}；

4'<16=>4'<42<=>x<2,则M={1,2}.则={3,4,5}

故选：C

2.C

【分析】设z="+历(”8eR),根据复数相等的定义，列出方程组求解，即可得到本题答案.

【详解】设2=〃+历(。,力eR),则国=

由z-|W=-8+12i,得〃+庆-后+/=-8+1方，

所以a-yla2+b2=-8,t>=12,

贝！Ia-yja2+\44=-8>解得a=5,

所以z的实部是5.

故选：C

3.A

【分析】对于选项A,利用线面平行的性质即可判断出结果的正误；对于选项BCD,利用

长方体中的点线面的位置关系，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】选项A,因为。〃夕，“ua,ap=l,所以a〃/,所以选项A正确；

选项B,如图，在长方体中，取平面A88为平面a,平面48cA为平面/，则aP=BC,

取直线AB为。，直线AR为b,

显然有。_1_力，a_L/,但a与夕不垂直，所以选项B错误；

选项C,如图，取平面ABCO为平面a,平面AA8片为平面夕，则aP=AB,取直线8

为a,此时有a，#,但。〃所以选项C错误：

选项D,如图，取平面A5CO为平面a,平面为平面尸，则*(3=AB,取直线AB

为a,直线A片为b,此时。/小，所以选项D错误.

答案第1页，共15页

故选：A.

4.C

【分析】记“该学生来自甲校”为事件A，“该学生来自乙校”为事件A2,“该学生来自丙校”

为事件4,记“该学生的等级为良好”为事件8,利用全概率公式可求得P(8)的值.

【详解】从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生，

记“该学生来自甲校”为事件A,“该学生来自乙校”为事件4,“该学生来自丙校”为事件

SX7

则P(A)=---=0.25,尸(为)=---=0.4,P(A)=-------=0.35.

'175+8+7'»5+8+71375+8+7

记“该学生的等级为良好”为事件8,则P(同4)=。3,吊(♦4)=0.6,P(B|A)=0.5,

所以P(5)=P(4)P(MA)+P(4)P(M4)+尸(4)P(同4)

=0.25x0.3+0.4x0.6+0.35x0.5=0.49.

故选：C.

5.C

【分析】利用基本不等式和充分条件，必要条件的判断逐项进行检验即可求解.

【详解】对于选项A：若/+丫2<8,则(x+y)2=炉+;/+2孙<8+2孙+,所

以(》+»<16,又x>0,y>0,所以0<x+y<4,所以“丁+9<8”是“x+y<4”的充分

条件，故选项A错误；

对于选项B：若五<斤5,贝所以x<4-y,即x+y<4,所以

“石</]”是“x+y<4”的充要条件，故选项B错误；

对于选项C：由x+y<4得孙签)<4,

答案第2页，共15页

另一方面取尤=：,y=8,满足个<4,但x+y>4,

所以“砂<4”是“x+y<4”的一个必要不充分条件，故选项C正确；

对于选项D：取X=!，y=3,满足x+y<4,+所以“工+!<]”不是“彳+丫<4"

5xyxy

的必要条件，故选项D错误.

故选：C.

6.B

【分析】由凡=S“-S,i(〃N2),可得数列｛a,,｝的通项公式，即可求得本题答案.

【详解】因为一+"=3a“+l,所以3S“+〃2=3〃4,+〃①，

n

当“22时，3S„_,+(n-l)2=3(n-l)«„.,+(n-l)@,

①-②得，3(S,「S,_J+2，Ll=3〃a“—3(〃-l)a,T+1,

9

所以3(〃-1)%-3(〃-1)%=2(/-1),又〃*2,得

71

所以｛%｝是等差数列，公差又4=一；，

22

所以则/=§x30-l=19.

故选：B

7.B

【分析】令"x)=siru-3x,利用其单调性比较。力大小，令g(x)=@t利用其单调性比

7TX

较瓦C大小.

【详解】令f(x)=sinx--x,贝!J/'(X)=cosx一一,

717T

当XW住3时,COSXG0,孝，且r仔)=*_3<0,

所以当时，r(x)<0,“X)单调递减，

所以=即sinlvj,则

令g(x)=如，则g'(x)=^~~7^-.当xe(e,+oo),l-lnx<l-lne=0,

所以g'(x)<0在(e,+s)上恒成立,

答案第3页，共15页

所以g（x）在（e,+8）上单调递减，

所以ln3吧Inn，即^—1>3-,所以c>b.

37tlog/兀

综上C>/?>4,

故选：B.

【点睛】方法点睛：对于不同类型的数值比较大小问题，我们可以先把数值进行等价变形化

同构，再构造相应的函数，求导研究函数的单调性，最后利用函数的单调性比较大小.

8.B

【分析】先根据|g|,|MN|,|N闾成等差数列，并结合双曲线的定义得到|MN|=4°,再

设制=x,在Ri"N心中利用勾股定理得到x=。，进而在居中利用勾股定理得

到2c2=5”。从而得到双曲线的离心率.

【详解】由双曲线的定义知局=2«+|M用，|N■闾=2a+|N埒，

|+|N局=4a+1M制+1N用=4a+1,

•：\MF2\+\NF2\=2\MN\,.•.|MN|=4a,

^\MFt\=x,贝ij|N制=4a—x,

22

在RtMg中,\MF^+\MNf=\NF2f,：.{2a+xf+（4a）=（6a-x）,

mx=a,：.\MF\=a,\MF2\=3a,

所以在RtZXEM6中，/+（3a）2=（2c）2,

9.AC

答案第4页，共15页

【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到

本题答案.

【详解】因为A(l,2),矶3,1),C(4,m+l)(meR),

所以AB=(2,-1),BC=(l，M(meR),

选项A：网=,2?+(-1)2=亚,所以A正确：

选项B：因为A8LBC，所以A3-BC=0，所以2-加=0,所以m=2,所以B错误；

选项C：因为AB〃3C，所以2xm=(-l)xl,所以m=-g,所以C正确；

BABC=-2+m>0

选项D：因为朋，BC的夹角为锐角，且BA=(-2,1),所以1,解得

1-21

m>2,所以D错误.

故选：AC

10.ACD

【分析】由题知动点M的轨迹厂的方程为f+(y-2)2=4,另外直线方程

/：(l+#(x-石)+y-l=0(4eR)过定点且尸在「上，由此逐项分析，即可得到

本题答案.

【详解】因为动点M到点N(0,2)的距离等于2,

所以动点M的轨迹「的方程为d+(y-2>=4,

易知/：(l+2)(x-5/3)+y-l=0(2eR),所以直线/过定点网6,1),

因为(网2+(1-2『=4,所以点P在「上，

对于选项A,B,C,易知/可能是「的切线，/与「不可能没有公共点、可能有两个公共点，

故A正确，B错误，C正确；

对于选项D,易知「上的点到/的距离的最大值为圆的直径4,故D正确.

故选：ACD

11.AD

【分析】设45C的两直角边长分别为x,y,根据题意求得肛=8,然后分点K与点A重合

和点K是ABC的斜边的中点两种情况进行求解即可判断.

答案第5页，共15页

【详解】设ABC的两直角边长分别为x,y,球。的半径为R.因为三棱锥P-ABC的体积

为4,PK=3,所以gx£x3=4,解得孙=8.

对于选项A,B：由题意知PA_L平面ABC,所以

2/?="2+丁+32="?+9+94j2p+9=j2x8+9=5（当且仅当x=y=2&时取等号）,

解得R2（，

所以球。的表面积S=4;/225兀，球0的体积丫=:兀内2孕，故A正确，B错误；

36

对于选项C,D：若点K是ABC的斜边的中点，则（3-R『+厂=R2,（球。的球

\/

心位于直线PK上）

所以6R=9+三止49+匆=9+凶=13（当且仅当x=y=2四时取等号），即R2上，

4446

所以球0的表面积5=4兀代2—,球0的体积V=g兀故C错误，D正确.

故选：AD

【点睛】方法技巧

求解此类题要过好三关：一是构造关，即会构造长方体模型快速求解外接球的直径，长方体

的外接球的直径等于共点的三条棱长的平方和的开方；二是方程关，即会利用三棱锥的底面

三角形的外接圆的圆心、球心与三棱锥的顶点构成的直角三角形，用勾股定理得关于球半径

的方程；三是最值关，利用基本不等式求最值，要注意“一正二定三相等

12.BD

【分析】根据题意将函数解析式化简，然后利用函数的单调性，对称性和极值点的相关知识

逐项进行判断即可求解.

【详解】因为/（x）=ln（2mr-er2）-2cos2加定义域为（0,20，所以

/（x）=ln（27tt-x2）+l-2cos2—=ln（2nx-x2）-cosr=ln（2?r-x）+lnx-cosx.

对于选项A：/（27r-x）=lrir+ln（27r-x）-cos（27i:-x）=ln（27t-x）+lnx-cosx,即

f（2n-x）=f（x）,故A错误；

对于选项B：由A知〃2兀-x）=〃x）,所以〃x）的图象关于直线工=兀对称，（结论：若

答案第6页，共15页

f(x+a)=f(b-x),则/(x)的图象关于直线》=等对称)故B正确;

对于选项C/'('卜已+9―=^^+，'

当0<x<7t时，/^)>0,所以“X)在(0,兀)上单调递增，

因为“2兀-x)=f(x),所以W7(2兀一泞/闺，

因为无>詈哼>0,所以《詈卜/用=/倍)故C错误；

对于选项D：因为〃x)的图象关于直线》=兀对称，且“X)在(0,兀)上单调递增，所以〃x)

在(兀,2兀)上单调递减，所以/(x)仅有一个极值点，故D正确.

故选：BD.

13.4860

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为1,求出厂的值，将厂=2

的值代入通项，求出系数.

【详解】口石+味］的展开式的通项公式为&=晨(34)

C*2x3一,

令3-r=l,得。=2,

所以展开式中x的系数为C；X34X22=4860.

故答案为:4860.

14.-1+百或-1-6

【分析】设切点为(%,%),利用导数的几何意义表示出切线方程，将(0,0)代入，即可求得

本题答案.

【详解】由y=(x+2)e',可得y=(x+3)e，，设切点坐标为小,%),

所以切线斜率％=(%+3)e%,又因为%=(%+2)e%,

则切线方程为，-小+2)炉>=(为+3)/(*-为)，

把(0,0)代入并整理可得片+2x0-2=0,解得为=-1+百或/=-1-6.

故答案为：-l+b或-1-6

答案第7页，共15页

15.4

【分析】过点K作准线的垂线，垂足为G,利用抛物线的定义，结合题意可得FMH为等

边三角形，进而求解即可.

【详解】因为抛物线「y2=2px(p>o)的焦点为*1,0),所以5=1,解得p=2.

过点K作准线的垂线，垂足为G,则|K尸|=|KG|.

/\M|//\

因为2HF=HM+HK，

所以点F为线段MK的中点，所以/AMG=30。，又MH与x轴平行，

所以ZRWH=60。.由抛物线的定义知|〃知|=|〃目，

所以为等边三角形，所以|“目=|例目=2x2|O司=4.

故答案为：4.

16.心

【分析】将(0,2)代入/(x)的解析式，求夕的值，结合正弦函数的图象与性质列关于0的不

等式组，即可得解.

【详解】由题意得〃0)=肉叫+1|=2,.人皿=(，又时<[,.••展三

226

/(x)=2sin[ox+已)+1,

；/(力的图象过点(0,2),且〃x)在区间(-三,上单调递增，

•••作出”句的大致图象如图所示，

其中4为了(*)在)，轴左边的第一个零点，巧为了(X)在y轴右边的第一个极大值点，

答案第8页，共15页

兀<

-一-4

加•••3的取值范围是（0，g

9-

37-1-<

4

故答案为：（0，1

17.（1）9.1

（2）分布列答案见解析，E（X）=0.9,0（X）=0.63.

【分析】（1）先将数据从小到大排列，结合百分位数的计算公式，即可求解；

（2）根据题意，求得评分超过9.0的概率，得出X的所有取值，利用独立重复试验的概率

公式求出概率，得出分布列，进而求出期望和方差.

【详解】（1）将这组数据从小到大进行排列，

7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9,

因为75%xl0=7.5,所以第8个数据为所求，

所以这组数据的第75百分位数为9.1.

（2）样本中评分超过9.0的有3个，

所以评分超过9.0的概率（频率）为0.3,

依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,且X8（3,03）,

则尸（X=0）=《x0.73=0.343,

P（X=l）=C；x0.3x0.72=0.441,

P（X-2）-C^x0.32x0.7=0.189,

答案第9页，共15页

p(X=3)=C；x0.33=0.027,

所以X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以E(X)=3x0.3=0.9,

£>(X)=3x0.3x0.7=0.63.

IT

18.(l)A=w

w16

(2)4Aj3,-y出-、

.z

【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到cosA=g,再结合Ae(O,7),

即可得到A；

(2)根据A=g和三角形面积公式将+I整理为竽(?+/)-华，再根据锐角三

角形和正弦定理得到2的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.

C

【详解】(1)(Z?-c)sinB=/;sin(A-C),所以(Z?-c)sinB=0(sinAcosC-cosAsinC),

所以人？一he=ahcosC-bccosA="———

22

又/二/十。2一2匕ccosA，所以cosA=1,

2

因为Ac(O,万)，所以A=1.

(2)由(1)可知S=,bcsinA=,cr=b2+c2-be.

24

a2+h2+c246a1+C24G2h2+2c2-be4石

则+b

S33he

0<C<-

,2，整理得£<c<g.

因为一ABC锐角三角形，所以

0<--C<-62

32

答案第10页，共15页

因为b_sinB_sin(A+C)sinAcosC+cosAsinCW+f所以

sinCsinCsinC

令2=r,则函数y=f+l在“上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以ye2,|

,即

c

bc2,

-4--GiP

cb

3a->+b,9-+c2

故------的--取-值范围为46，号

5

19.(l)fe„=2n-l

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于q，4的方程，即可得到

结果;

(2)根据题意，得到数列｛%｝的通项公式，再由裂项相消法即可得到其前〃项和.

【详解】(1)由题意得，a,=a,+(/-1)</=0,得q=(l-r)d,①

由与=工(叫<也)，得”％+*二I"*"+色容%②

由①②，可得叫+也=2,一1,且2叫<叫+〃与=2/-1,则1K仍一1,

由用-班=-2町+2/-1,当叫在IV班工/-1范围内取值时加2-叫的所有取值为:

2f—3,21—5,..,5,3」.

所以a=2〃-1(1W〃4r-1).

(2)c-„=(-i)n——型里——=(-i)°2w+1=(-ir-f-+—1

(%+l)S“+D4(n+l)nn+1)

rrrl„IfI1I11111AIfI八

2"4(12232/1-12n2〃2n+\)4(2〃+1)

由于&=4八-1](14〃<1)是递减的，所以与，斗=4与-1=-；•

412〃+1)412+1)6

20.(1)证明见解析

【分析】(1)取8的中点M,连接证明C£>J_平面PME,可得CDLPE,再证

明C。,平面上4B,根据线面平行的性质可得8〃/,即可得证；

答案第11页，共15页

(2)连接AC,5。交于点。，连接。P,以点。为原点建立空间直角坐标系，设AB=2,根

据以及正棱锥的结构特征求出0P的长度，再利用向量法求解即可.

【详解】(1)取8的中点/，连接仞RME,

因为PC=PD,CE=DE,所以MP_LC£),ME_LCO,

又=平面PME,

所以CD_L平面PME,

又因PEu平面所以CD-LPE,

因为43〃8,A3u平面以8,CD.平面小8，

所以C。平面

又因平面R4B与平面PC。的交线为/,C£)u平面PC。，

所以8〃/,

因为CDLPE,所以PE1J；

(2)连接AC,8。交于点。，连接0P,

则QP_L平面ABCD,AC1BD,

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

不妨设AB=2,则AC=B£>=2&，

设。尸=，，则PC=PE=52+层,

则网也0,0),C(0,夜,0),0卜立0,0),P(0,0,〃)，

由PE//BC,得E—~~,J2+//,-J2+/72,h,

\/

由OE=CD,得J-孚正+川+可+性.,2+/)+川=2,解得〃=血,

故P(0,0,收),网-夜

因为PE〃BC,PE的中点为F,所以平面8CF与平面PBCE重合，

CD=(-夜，-夜,0),CE=(-42,0,卦CB=(72,-72,0),

设平面PBCE的法向量为加=(x,y,z),

则有，I-广,令x=l,则y=z=l,所以机=(1,1,1),

m-CE=-V2x+V2z=0

答案第12页，共15页

设平面CDE的法向量为〃=（〃,仇c）,

nCD=-\f2a-\[2b=0

则有＜令〃=1则b=-l,c=l,所以〃=（1,一1,1）,

n-CE=-ypla+\[2c=0

mn_1-1+1_1

MM百xg3

所以平面BCF与平面CDE所成二面角的余弦值为g.

⑵x=±y+2

【分析】（1）根据椭圆的定义求出“，再根据"，b，c之间的关系求出即可得解；

（2）设直线AB的方程为尤="+2,A&，x）,8（孙卫）,联立方程，利用韦达定理求出

%+必，必%，根据直线*=4与V轴平行，可得|FM|=|FN],再根据病区=曰（，+53）化简

即可得解.

【详解】（1）由已知可得耳（-2,0）为C的左焦点，

所以2a=|「用+|「臼=4近，即°=2后,

所以〃=/—C2=4,

22

故椭圆C的方程为j+二=1；

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（2）设直线AB的方程为x=my+2,4（西,X）直（孙、2），

22

则由[「'?：2'。得（m+2）y+4冲-4=0,

[x+2y=8,''

显然A=（4m）2+16（病+2）＞0,

答案第13页，共15页

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