2023-2024学年四川省宜宾市高二年级下册开学考试数学（理）模拟试题（含答案）

2023-2024学年四川省宜宾市高二下册开学考试数学（理）

模拟试题

一、单选题

命题”存在x（）wR,27-0”的否定是（)

A.不存在/WR,2M>0B.存在x()wR,2^>0

C.对任意的xeR,2A<0D.对任意的xeR,2V>0

4

2.抛物线的焦点坐标为（)

A.°5B.P°C.D.5。

3.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm）,所得数据用

茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）

甲班乙班

2118

820171268

65316257

87159

A.甲乙两班同学身高的极差相等B.甲乙两班同学身高的平均值相等

C.甲乙两班同学身高的中位数相等D.乙班同学身高在175cm以上的人数较多

4.若直线4：x-y+2=O与直线/2：2工+。），-3=。平行，则实数。的值为（)

A.B.-1C.2D.1

5.在区间［—2,2］内随机取一个数x,使得不等式£+2x<0成立的概率为（)

A.BcD

3-i-t-5

6.已知命题Pi：3reR,使得％2+x+ivO；p2:Vxe[l,2],使得％2一上0.以下命题为真

命题的为

A.—>pA—>pC.八D.P1AP2

t2B.PlV-1P2rp'Pz

7.圆«:（x-iy+y2=I与圆。2：（》-3丫+>2=9的位置关系为（)

A.外离B.外切C.相交D.内切

8.是"直线（2m-4）x+（〃?+l）y+2=0与直线冲+3=0垂直”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

9.直线/：y=x与圆C:（x-l）2+（y-2）2=a2（”>0）交A8两点.若|AB|=a,则ABC的面积

为（）

A.正B.也C.显D.也

6364

10.在三棱锥P-ABC中，AC=A8=2,/BAC=90°,尸C_L平面A8C,尸C=l,则该三棱锥外

接球的体积为（）

9

A.367rB.12冗C.8%D.一万

2

11.已知抛物线>2=2必（0>0））的焦点为/，准线为/,过F的直线与抛物线交于点A、B,

与直线/交于点。，若AF=3网附=4,则片（）

A.1B.-C.2D.3

2

12.已知双曲线C:5-?=l（“>0）的左、右焦点分别为耳，鸟，尸为双曲线C右支上的

动点，过户作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B.若圆（％-2）2+产=1与双曲线C的渐近

线相切，则下列结论正确的有（）个.

①a=4；

②|网尸理为定值;

③双曲线C的离心率e=2、8；

3

④当点尸异于顶点时，△P”巴的内切圆的圆心总在直线x=26上.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

13.已知空间向量a=（2,7,3）,6=（T,2,x）,若a_Lc,则实数x的值为.

22

14.已知椭圆3+专的左、右焦点分别为《、鸟，上顶点为A.若为正

三角形，则该椭圆的离心率为.

15.已知实数mb,c满足24V],贝ija+b+c的最小值是____.

4

16.已知NAOB=90。，C为空间中一点，且ZAX=ZBOC=60。，则直线OC与平面A08所

成角的正弦值为一.

三、解答题

17.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用

水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准M吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分

按平价收费，超出x的部分按议价收费•为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100

位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[。,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组，制成

了如图所示的频率分布直方图.

频率

0.52

0.40

a

-6

:2

C-8

IXI4

I31

O0.511.522.533544.5月均用水量(吨)

(1)求直方图中。的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准X(吨)，估计x的值，并说明理由.

18.已知圆C的圆心在直线3x+2y=O上，C经过点A(-2,0),且与直线4x-3y+8=0相切.

(1)求C的标准方程；

(2)直线/：x-2y-3=0与C相交于两点，求_。/汽的面积.

19.某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参

加高考人数y与年份代号x之间的关系统计表.

年份代号x12345

高考人数y(千人)3533282925

(其中2018年代号为I,2019年代号为2,...2022年代号为5)

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)根据(1)的结果预测该市2023年参加高考的人数；

(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.

(参考公式：》=J------;—,a=y-bx)

2")一

20.如图，在五面体ABCDEF中，AB//CD//EF,ZABC=NBAF=90°,CD=2AB=4EF=4,

BC=AF=2,P,。分别为C£>,AP的中点，二面角尸一至一。的大小为60。.

(1)证明：FO_L平面A8CO；

(2)求平面AOF平面3CE成二面角的正弦值.

21.已知平面上动点P到定点尸(2,0)的距离比P到直线x=-1的距离大1.记动点P的轨迹为

曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点(-2,0)的直线/交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是力，证明：直线

8。恒过点F.

2*>

22.已知椭圆C:5+W=l(a>b>0)的右焦点为尸(1,0),点RM”为椭圆C上的点，直

线MN过坐标原点，直线尸的斜率分别为4,右,且

(1)求椭圆C的标准方程；

|w|2

(2)若尸尸〃MN且直线PF与椭圆的另一个交点为Q,问是否为常数？若是，求出该常

数；若不是，请说明理由.

答案：

1.D

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.

【详解】解：由题意

•••特称命题的否定是全称命题，

二命题“存在/eR,2出40”的否定是:

对任意的xeR,2'>0.

故选：D.

2.D

【分析】将抛物线化成标准形式，即可求解.

【详解】由》=:丁得丁=3X，故焦点为15，0〕，

34<16)

故选：D

3.D

【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.

【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为182-157=25,乙班同学身高的极差为

183-159=24,两班身高极差不相等，故A错误；

甲班同学身高的平均值为卡(157+158+163+165+166+170+172+178+181+182)=169.2,

乙班同学身高的平均值为卡(159+162+165+167+171+172+176+178+181+183)=171.4

显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B错误；

根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为166；70=]68,乙班同学身高的中位数为

所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C错误；

由茎叶图可知，甲班同学身高在175cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175cm以上的人

数为4人，故D正确.

故选;D

4.A

【分析】解方程lxa-(-l)x2=0即得解.

【详解】解：由题得lx。—(—1)x2=。,.•々=—2.

经检验，当。=-2时，满足题意.

故选：A

5.B

【分析】由V+2x<0可得-2<x<0,再根据几何概型的计算方法求解即可.

【详解】解：由f+2x<0可得-2<x<0,

0-（-2'）21

由几何概型的定义可得使不等式V+2x<0成立的概率为.「悬=T=O

故选：B.

6.D

【详解】△=（-I）。-4=-3<0,.〔x?+x+l<0的解集为空集，故命题Pi为假命题，~<Pi

为真命题；.V-lNO:.xNl或，VxeU,2],使得£-120恒成立，故P2为真命

题，一92为假命题；因rPl为真命题，22为真命题，故F71Ap2为真命题，答案为C.

7.D

【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与两圆的半径和与差的关系，判断两个圆的

位置关系.

【详解】因为圆a：（x-炉+尸=1的圆心（i,o）,半径为4=1,

圆。2：（犬—3）2+丁=9的圆心（3,0）,半径为4=3,,

则两圆的圆心距为^/（1-3）2+02=2,而卜-耳=2,

则圆0,与圆。2的位置关系为内切.

故选:D.

8.B

【分析】根据两直线垂直的条件，求解加范围即可求解.

【详解】若直线（2/n-4）x+（，〃+l）y+2=0与直线（zn+l）x-/ny+3=0垂直，则

（2加-4）（m+l）—/«（，〃+1）=0=（/M—4）（，〃+1）=0=机=4或m=-1,

故"机=-1"是''直线（2加一4）犬+（帆+1方+2=0与直线（机+1）工一》^+3=0垂直”的充分不必

要条件，

故选：B

9.A

【分析】由题知圆心为。（1,2）,半径为一=。，进而根据几何法求弦长得

|Afi|=2〃-/=2Ma,解得〃=迈，再计算面积即可得答案.

3

【详解】解：由题知圆心为C（l,2）,半径为r=”,

所以，圆心C（l,2）到直线/:y=x的距离为〃=%=等,

所以，弦长|4同=2,2-储=2//-；=〃,gp3a2-2=0,

解得a=,

3

所以ABC的面积为S==但x也=3

2112326

故选:A

10.D

画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体

积公式即可求解

【详解】

如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为r=也?+丁+1=3,

22

则该三棱锥外接球的体积为丫=24乃•1/=34小2一7=9"

3382

故选：D

本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或

圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题

11.D

【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知C0S/F4A，再利用数形结合可求|什|的值.

设准线与x轴的交点为K,作AA，/，垂足分别为A,四,

则BB,HFK//AA1.根据抛物线定义知忸闻=怛日=M同，

又AF=3FB,|B4=4,所以忸周=忸同=/例|=14尸|,忸。|=!人。|,

设NDBB、=0,因为BB\HFK//AA\,所以ZE4A,=NKFD=/DBB、=0,

则8$0=幽=凶=3网3型|

\DB\\DA\\AB\^\DB\4忸用+|。8「

所以\BB.身\=砸3\精BB.\而"又.I网,=4,可得.|叫.1=2,所以cos”]1，

1\KF\\KF\\KF\\KF\

所以cosNKFD=—=-----：=：----：~~；----r=]----；~~；----r=-~-

2\DF\\DB\^-\BF\|D8|+忸闻6

可得|跖|=3,即p=3.

故选.D

12.C

【分析】由双曲线渐近线方程2x±a），=0,圆（x-2『+y2=i圆心（2,0）,半径是1,应用点

线距离公式列方程求“，设尸（跖,九）有片-3y；=12,由点线距离公式写出归4|,|尸耳，直接

用离心率定义求双曲线离心率，根据圆切线性质及双曲线定义可得用力-优。1=2。，进而

确定内切圆的圆心的位置.

【详解】由题意，双曲线渐近线方程是2x土e=0,圆（工-2）2+丁=1的圆心（2,0）,半径是

1,

可得(-26舍去)，①错误.

设尸(2,%),则*号=1,即片-3y：=12,

渐近线方程是x±^y=O,则附」与一『。1,|PB|=』T%L

附|.归却=匠叫=3为常数，②正确;

离心率为e=£=/=亚，③正确;

由Z?=2,所以c=yja2+Z?2=4，

a2V33

设△尸£鸟的内切圆与三边切点分别为。，E,H,如图,

由圆的切线性质知忻。-怩。=忻印一优目=EH—后耳=加，

所以々)=a,因此内心/在直线x=a,即直线x=26上，④正确；

故选：C

13心

3

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.

【详解】因为a_Lc,所以a•匕=2x(-4)+(-l)x2+3x=0,解得》=了,

故答案为：y.

14.y##0.5

【分析】利用题给条件求得a=2c,进而求得椭圆的离心率

【详解】ZXA耳匕为正三角形，则a=2c,则椭圆的离心率e=£=F=:

a2c2

故3

15.--

8

【分析】由。+/>+，2°+/>+4（“2+力2）,通过配方变形即可得出.

【详解】•..实数a,b,c满足02+/勺9小，

；・a+b+c2a+b+4（a2+82）=4［々+（）+,

当〃=，c=：时等号成立，

o8

;.a+Z?+c的最小值为一J.

O

故-J.

O

16.—

2

【分析】由对称性点C在平面AOB内的射影。必在NAO8的平分上，作£>EJ_OA于E,根

据线面所成角的定义可知NC。。为直线0C与平面408所成角，在三角形C。。中求解此角

即可.

【详解】由对称性可知，点C在平面A0B内的射影。必在NAQB的平分上，

作OELOA于E,连接CE,易知CE上0E,

设OE=1,则OE=1,OQ=&,又NCOE=60°,CE，OE,则OC=2,所以

CD=>JoC2-OD2=y/2>

因此直线0C与平面A0B所成角的正弦值sinNC。。=1

2

故答案为.立

2

17.(l)a=0.3

(2)3.6万，理由见解析

(3)x=2.9,理由见解析

【分析】(1)根据各组的累积频率为1,构造方程，可得。值；

(2)由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数;

(3)由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值.

【详解】(1)0.5x(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,

a=0.3；

(2)由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5x(0.12+0.08+0.04)=0.12,

由30x0.12=3.6,得全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；

(3)由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：

0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73<85%；

月均用水量低于3吨的频率为：0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0,88>85%；

।__.._0.85—0.73.

则nx=2.5+0.5x--------------=2.9吨.

03x0.5

18.(1)(x-2)2+(y+3)2=25(2)10

(1)不妨设圆心为C(a力)，半径为，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；

(2)由圆心到直线距离公式求得弦心距d,再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用

5=即可求解

【详解】⑴设圆心为C(«,b),半径为r，则圆的标准方程为;(x-4+(y-a2=产,由题可

3。+2人=0a=2

得((2+。)2+/二产解得b=-3,则圆C的标准方程为(x—2)2+(y+3『=25；

|4tz-3Z?+8|_r=5

（2）如图，可求出圆心到直线/：x-2y-3=0的距离”」2-2x（-：）-3=0|=t，

则半弦长\=1/一1=<25-5=2石,]=4非,

本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题

19.(1)J=-2.4x+37.2

(2)22.8千人

(3)答案见解析

【分析】（1）根据题中数据计算得b=-2.4,“=37.2即可解决；（2）根据（1）中回归方程计

算即可；（3）言之有理，客观分析即可.

【详解】（1）设回归方程为y=bx+”，由表中数据知，

x=3>y=30.

所以人-2x5+（-l）x3+0x（-2）+lx（-l）+2x（-5）=上=_24,

4+1+4+15一

所以4=］一爪=30—（—2.4）x3=37.2,

所以丫关于x的回归方程y=-2.4x+37.2.

（2）由（1）得》关于x的回归方程y=-2.4x+37.2.

令x=6,y=-2.4x6+37.2=22.8（千人），

所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.

(3)①该市经济发展速度慢;

②该市人口数量减少；

③到省会城市求学人数增多.

20.(1)证明见解析

⑵叵

7

【分析】(1)由已知条件证明_£4P为等边三角形，则有尸0，”，证明4平面印，

则有可得FO_L平面ABC。；

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量解决二面角的问题.

【详解】(1)：A8〃CD,CD=2AB,P为C。的中点，APC8为平行四边形，A尸〃BC且

AP=BC=2

VZABC=90°,AB1BC,则APLAB.

又,/ZBAF=90°,二AB±AF,

二NEAP为二面角尸一至-。的平面角，.NE4P=60。

X'：AF=AP=2,••一R4P为等边三角形，：。为小的中点，则尸。_LAP,

又APLAB,AF,APu平面即，AFr\AP=A,，AB工平面/

：FOu平面FAP,：.FO1AB,

AB,APu平面ABC。，ABIAP=A,尸0,平面A3CO.

(2)设8c的中点为Q,以。P，OQ,。尸所在的直线分别为怎，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

则尸(0,0,6)，A(T，0,0),0(1,-2,0),成0,1,6)，8(-1,2,0),C(l,2,0).

AF=(l,0,>/3)AD=(2,-2,0)BC=(2,0,0)£C=(1,1,-^)

设平面AO尸的一个法向量为6=（芯,如马）,则

m•AF=M+6Z、=0

令z=—l,则x=y=J5，机=(G,G,—1).

m-AD=2玉-2%=0

设平面BCE的一个法向量为n=（x2,y2,z2）,则

n-BC=2x1=0

,令z=l,则x=0,y=K，n-(0,V3,l).

n-EC=x2+y2-V3z2=0

J"_币

|m|-|n|7

.•.所求二面角的正弦值为

21.(1)V=8x(2)证明见解析

（1）先分析出点P在直线户-1的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可

（2）设出直线/的方程和A、8两点坐标，联立方程求出机的范围和4、8两点纵坐标之和和

积，写出直线8。的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.

【详解】（1）不难发现，点尸在直线％=-1的右侧，

，P到尸（2,0）的距离等于P至IJ直线x=—2的距离.

.♦.P的轨迹为以尸（2,0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线，

二曲线C的方程为V=8x.

（2）设直线/的方程为x=〃?y-2,4（4,乂）,3（&,%）

联立《2o，得丁-8my+16=0,A=64/n2-64>0,解得勿>1或

[y=8x

又点A关于x轴的对称点为D,

则直线BO的方程为＞-%="*（*-当）