第一章 直角三角形的边角关系单元测试卷（解析版）

第一章直角三角形的边角关系单元测试卷一．选择题（共10小题）1．（2022秋•姑苏区校级月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为A． B． C．3 D．4【分析】如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于．首先证明当，，共线时，的值最小，此时的值最小，解直角三角形求出此时的值，可得结论．【解答】解：如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于．在中，，的值最小时，的值最小，，当，，共线时，的值最小，此时的值最小，直线垂直平分线段，，，，，，，，，可以假设，，，，，，，解得，的最小值，故选：．2．如图，已知、两点的坐标分别为、，点、分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是A． B． C． D．【分析】如图，设直线交轴于．由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，5为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，作于．求出，即可解决问题．【解答】解：如图，设直线交轴于．由题意，点的运动轨迹是以为圆心，5为半径的圆，当直线与相切时，的面积最小，是切线，点是切点，，，，，，，，，作于．，，，，故选：．3．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站，其设计图如图所示，，与地面平行，的坡度为，的坡角为，小王想利用所学知识测量基站顶部到地面的距离，若，米，米，小王在山脚点处测得基站底部的仰角为，在点处测得基站顶部的仰角为，则基站顶部到地面的距离为（精确到0.1米，参考数据：，，，A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米【分析】延长交过点的水平线于，交延长线于点，作于，于，根据锐角三角函数即可求出结果．【解答】解：如图，延长交过点的水平线于，交延长线于点，作于，于，的坡度为，，设米，米，则米，，，米，米，的坡角为，米，米，四边形和四边形是矩形，，米，，米，米，在中，，米，，，米，在中，，（米，（米．故选：．4．（2021•淄博）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为A． B． C． D．【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：连接，是斜边上的中线，，是的垂直平分线，，，，，，在中，，，，，，又，，，，，故选：．5．（2021春•万州区校级期中）江津四面山是国家级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩土地神岩，土地神岩壁画高度从石岩处开始一直竖直到山顶处，为了测量土地神岩上壁画的高度，小明从山脚处，沿坡度的斜坡上行65米到达处，在处测得山顶处仰角为，再往正前方水平走15米到达处，在处测得壁画底端处的俯角为，壁画底端处距离山脚处的距离是12米，、、、、、在同一平面内，、在同一水平线上，，根据小明的测量数据，则壁画的高度为米（精确到0.1米，参考数据：，，，，，A．49.5 B．68.7 C．69.7 D．70.2【分析】如图，作于，延长交于．解直角三角形分别求出、即可解决问题；【解答】解：如图，作于，延长交于．在中，，，，，四边形是矩形，，，，在中，，，在中，，，，故选：．6．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为．小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点，在此测得旗杆顶端点的仰角为，则旗杆的高度约为米．（参考数据：，，A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，由斜坡的坡度，得，，又，设，，由勾股定理得，，，，，又，，在中，，（米，故选：．7．已知中，，，，且，延长到，使，连接，则的值为A． B． C． D．【分析】过点作于，利用勾股定理得数量关系，过点作于，建立等腰三角形，求角的关系，等量代换后，再用三角函数求值．【解答】解：过点作于，设，，，，，．解得：，，．，，，，．故选：．8．（2021•宜兴市模拟）如图，在中，，，，，连接，则长的最大值是A． B． C． D．【分析】如图，在的下方作，使得，，连接，则，证明，推出，推出，再根据，可得，由此即可解决问题．【解答】解：如图，在的下方作，使得，，连接，则，，，，，，，，，，，，，的最大值为，故选：．9．（2022•碑林区校级模拟）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为A． B．2 C． D．【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．【解答】解：如图，作于，作于，在中，，在中，，，，在中，设，在中，，，由得，，，，故答案为：．10．（2021秋•柯桥区期末）中，，的平分线交于，在延长线上，在上，经过中点，，若，则的值为A． B． C． D．【分析】过作于，延长交于，由，设，则，而为中点，得，根据平分，可得，即有，，而，可得，即知，根据，得，从而可得．【解答】解：过作于，延长交于，如图：在中，，，设，则，为中点，，平分，，，，，，，，，，，，，即，，，，即，，，，，，故选：．二．填空题（共6小题）11．如图所示，一艘轮船在处观测到北偏东方向上有一个灯塔，轮船在正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时后到达处，又观测到灯塔在北偏东方向上，则此时轮船与灯塔相距海里．（结果保留根号）【分析】作，垂足为．构建直角三角形后，利用已知角的正弦值，以及的长，可求出．然后放到直角三角形中，根据的角对的直角边是斜边的一半，求出．【解答】解：作，垂足为．根据题意，得，，，则，（海里），在中，，，（海里）．在中，，，（海里）．此时轮船与灯塔相距海里．12．如图，在四边形中，，交于，使得且．若在线段上取一点，满足：平分且，则的值为．【分析】由，设，由外角定义和角平分线证得，进而证得，由，可设，利用勾股定理和相关结论分别求出、、，即可解答．【解答】解：由，设，则，平分，，，而，故，，，，，，不妨令，则，，，过点作交于点，交于点，，，，，，，，，，，设，，则，，，，，，即，，在中，，，，由勾股定理得：，解得或（舍去），，在中，且中，，故，故答案为：．13．已知，，是的三边，，满足等式，且，则．【分析】先对等式化简，得到，，的关系后，再求解锐角三角函数的值．【解答】解：，，，．为直角三角形，且．，，．设，，，．．14．如图，是斜边上的高线，若，，则．【分析】证明，求出的长；进而求、，运用勾股定理求．【解答】解：是斜边上的高线，．，．，，．，．．15．我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如图，是以为顶点的“特征值”为的等腰三角形，在外有一点，若，，，则度，的长是．【分析】由等腰三角形的“特征值”定义可知，“特征值”为的等腰三角形由三角形内角和可计算出顶角为，底角为，故可知，由联想一线三等角构造相似三角形，过点作垂足为，交延长线于，得，再在中，由勾股定理即可求出．【解答】解：设等腰三角形的底角为，是以为顶点的“特征值”为的等腰三角形，根据定义可知顶角为．，，即，，过点作垂足为，交延长线于，如图：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，．故答案为：45，．16．如图，是的中线，，，，求线段的长．【分析】通过作高，构造直角三角形，利用中线的性质、三角形的面积公式、锐角三角函数和勾股定理，在不同的直角三角形中求出相应的边即可，【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，，，，，，又是的中线，，，，，在中，，由，可得，在中，，，在中，，，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2023•龙马潭区二模）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线恰好落在水平地面和斜坡上，在处测得电线杆顶端的仰角为，在处测得电线杆顶端的仰角为，斜坡与地面成角，，请你根据这些数据求电线杆的高．（结果用根号表示）【分析】延长交的延长线于，作于，根据正弦、余弦的定义求出、，根据正切的定义求出，设，根据正切的定义求出，结合图形列出方程，解方程即可．【解答】解：延长交的延长线于，作于，在中，，，则，，，，，，设，，，，，，，，解得：答：电线杆的高为．18．（2023秋•巴州区期中）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为时．试求：（1）若两楼间的距离时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？（2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？【分析】（1）首先设太阳光与的交点为，连接，易得四边形是矩形，然后在中，由即可求得答案；（2）首先根据题意可得当太阳光照射到点时，甲楼的影子，刚好不影响乙楼，然后由，即可求得答案．【解答】解：（1）设太阳光与的交点为，连接，，，，四边形是矩形，，，，在中，，．答：甲楼的影子，落在乙楼上有高；（2）如图：当太阳光照射到点时，甲楼的影子，刚好不影响乙楼，在中，，，．答：两楼的距离应当为．19．（2023•沙坪坝区校级三模）为巩固精准扶贫成果，打通“道路最后一公里”，政府决定在、两村之间修建一条互通大道（即线段．如图，湖泊区域是以点为圆心、半径为的圆形区域．经测量：湖泊区域的圆心位于村北偏东方向且为，村位于村正东方向，湖泊区域的圆心位于村北偏西方向．（参考数据：，（1）求湖泊区域的圆心到乡村的距离；（结果精确到（2）勘测地形后，政府决定将位于湖泊区域的公路段改建为桥梁，若桥梁段的建造费用为200万元，公路段的建造费用100万元，政府拨款3500万元用于建造整条互通大道，请问政府划拨的资金充足吗？请说明理由．【分析】（1）由题可得，，，过点作于点，根据30度和45度角的直角三角形即可解决问题；（2）在、上分别取点．，使，根据勾股定理可得，，进而可以解决问题．【解答】解：（1）由题可知：，，，如图，过点作于点，则在中，，，在中．，，圆心到乡村的距离为12.2；（2）政府划拨的资金充员．在、上分别取点．，使，则在中，，在中，，，，建造费用为，政府划拨的资金充足．20．（2023•朝阳县模拟）如图，和是同一水平地面上的两座楼房，已知楼的高为20米，在楼的楼顶点测得楼的楼顶的仰角为，楼底的俯角为，求楼的高．（结果保留根号，参考数据：，，【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．【解答】解：延长过点的水平线交于点，则有，四边形是矩形，，米．（米，米．（米．米．答：楼的高是米．21．如图，在航线的两侧分别有两个灯塔和，灯塔到航线的距离为千米，灯塔到航线的距离为千米，灯塔位于灯塔南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔北偏西方向的（在航线上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔正南方向的点（在航线上）处．（1）求两个灯塔和之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米小时）．（参考数据：，，，【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得，，，，在中，，，，在中，，，，千米．答：两个灯塔和之间的距离为14千米．（2）在中，，，，在中，，，，，在中，，由题意，得，，，设该轮船航行的速度是千米小时，由题意，得，（千米小时），答：该轮船航行的速度是40.7千米小时．22．（2022春•前郭县校级月考）一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行60海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上．求到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：，，．【分析】过作于点，根据正弦、余弦的定义求出、，根据等腰直角三角形的性质求出，得到，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：过作于点，在中，，，，（海里），（海里），在中，，，，海里，（海里）．答：到灯塔的距离是89.8海里．23．（2023•广饶县校级模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的处测得水库右岸处某标志物顶端的仰角为．在处一架无人机以北偏西方向飞行米到达点处，无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得正前方水库右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度；（2）求标志物的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：，，，，，，【分析】（1）根据题意可得，米，根据锐角三角函数即可得无人机的飞行高度；（2）根据题意可得，米，，作于点交于点，由，可得，即，解得的长，根据锐角三角函数即可求出标志物的高度．【解答】解：（1