第29讲 与圆有关的证明与综合题（原卷版）

第29讲【技巧点拨】一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．三、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.【中考挑战满分模拟练】1．（2022•黄浦区二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．（1）求证：∠AOM＝∠AON；（2）如果AE∥ON，AF∥OM，求证：OE•OM＝AO2．2．（2022•黄浦区校级二模）如图所示为一个圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的底部CD的长．（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，结果保留整数）3．（2022•长宁区二模）如图，已知在半圆O中，AB是直径，CD是弦，点E、F在直径AB上，且四边形CDFE是直角梯形，∠C＝∠D＝90°，AB＝34，CD＝30．求梯形CDFE的面积．4．（2022•虹口区二模）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．5．（2022•奉贤区二模）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度，当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：（1）当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．（2）如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE＝AB），求该手机的宽度．6．（2022•杨浦区二模）已知在扇形AOB中，点C、D是上的两点，且．（1）如图1，当OD⊥OA时，求弦CD的长；（2）如图2，联结AD，交半径OC于点E，当OD∥AC时，求的值；（3）当四边形BOCD是梯形时，试判断线段AC能否成为⊙O内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由．7．（2022•普陀区二模）如图，已知矩形ABCD中，AD＝5，以AD上的一点E为圆心，EA为半径的圆，经过点C，并交边BC于点F（点F不与点C重合）．（1）当AE＝4时，求矩形对角线AC的长；（2）设边AB＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）设点G是的中点，且∠GEF＝45°，求边AB的长．8．（2022•静安区二模）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，EC＝AB．（1）求证：∠B＝2∠AEC；（2）当OA＝2，cos∠BAO＝时，求DE的长．9．（2022•松江区二模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的长．10．（2022•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE．（1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：；（2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA；（3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．11．（2022•闵行区二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝26，BC＝42，cosB＝，AD＝DC．点M在射线CB上，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，联结MN，交射线CA于点G．（1）求线段AD的长；（2）设线段CM＝x，＝y，当点N在线段CD上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结DM，当∠NMC＝2∠DMN时，求线段CM的长．12．（2022•金山区二模）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．（1）求证：DP＝EP；（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．13．（2022•宝山区二模）如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F．（1）求证：＝；（2）如果AF•AD＝AO2，求∠ABC的正弦值；（3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值．14．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）已知：△ABC内接于半径为2的⊙O，BC=，射线BO交边AC于点E．(1)如果点E恰好是边AC的中点，求边AB的长；(2)如果△ABE∽△ACB，求的大小；(3)当△AEO为等腰三角形时，求的大小．15．（2022·上海理工大学附属初级中学一模）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．(1)当圆C经过点A时，求CP的长；(2)联结AP，当时，求弦EF的长；(3)当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．16．（2022·上海·模拟预测）如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A,C,且与CD相切，直径CF交AB于点E．(1)求证：AD与⊙O相切；(2)若,求的值．17．（2022·上海·位育中学模拟预测）在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点H作OP的垂线交弧AB于点C，射线PC交弧AB于点D，联结OD．(1)如图，当弧AC＝弧CD时，求弦CD的长；(2)如图，当点C在弧AD上时，设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)设CD的中点为E，射线HE与射线OD交于点F，当DF时，请直接写出∠P的余切值．18．（2020·上海中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．19（2022•上海中学模拟B卷）数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图1），这种玩具用七根小棍做成，各结点均可活动，AD＝AF，CD＝DE＝EF＝FC，且OC＜AF﹣CF．使用时，将A，O钉牢在平板上，使A，O间的距离等于木棍OC的长，绕点O转动点C，则点C在⊙O上运动，点E在直线BG上运动，BG⊥AB．图2是该玩具转动过程中的一幅示意图．（1）判断