第22讲 解直角三角形整体复习 (原卷版)

第22讲《解直角三角形》单元总复习考点一特殊角的三角函数值ABABC基本定义：如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，则范围：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞1各三角函数间的转化公式：、、、特殊角的三角函数值：α30°45°记忆方法：sinα是增函数，α从30°—60°，可以看成分子逐渐增大，分别是记忆方法：sinα是增函数，α从30°—60°，可以看成分子逐渐增大，分别是，分母都是2；cosα是减函数，α从30°—60°，可以看成分子逐渐减少，分别是，分母都是2；tanα是增函数，α从30°—60°，可以看成分子逐渐增大，分别是，分母都是3；sinαcosαtanα1【类题训练】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，．则cosA的值为（）A． B． C． D．3．在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，若将△ABC各边都扩大5倍，则tanA的值为（）A． B． C．5 D．5．三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70°6．锐角α、β满足，，则tan（α+β）＝．7．在△ABC中，，则△ABC一定是．8．比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．9．当∠A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的取值范围是．10．在Rt△ABC中，若AB＝2AC，则cosB＝．11．计算：4cos60°+8sin30°﹣5tan45°．考点二解直角三角形【知识点睛】解直角三角形是指求出一个直角三角形三条边长、三个内角的度数共六个元素的过程解直角三角形口诀——“直乘斜除，对正邻余”释义：一个直角三角形中，要求直角边，一般用乘法，要求斜边一般用除法；求已知角的对边一般用正弦或正切，求已知角的斜边一般用余弦；锐角是可以存在与所有三角中的，如果需要用的锐角不在直角三角形中，通常通过做垂线，构造直角三角形，之后再利用解直角三角形的方法继续求解。【类题训练】1．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sinC的值是（）A． B． C． D．2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，则AC的长度是（）A． B．2 C．8 D．3．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccosA；b2＝a2+c2﹣2accosB；c2＝a2+b2﹣2abcosC．现已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，则AC的长为（）A．2 B．+1 C．﹣1 D．34．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+25．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（）A． B． C． D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosα B． C． D．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则cos∠DCB的值为（）A． B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．810．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC，，则tanB的值是．11．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，解这个直角三角形．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC＝6，cos∠ACD＝，求AB，CH的长．考点三利用直角三角形解决实际问题【知识点睛】在实际问题中用三角函数求解未知量一般步骤：审题——审图形、审已知、审未知找出有关的直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题（当所需用直角三角形不存在时，常做垂直构造）；根据直角三角形边角之间的关系解有关的直角三角形【类题训练】1．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝（）A．米 B．50米 C．米 D．100米2．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝40cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面2m，到树EG的距离AF＝10m，BH＝30cm．则树EG的高度为（）​​A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.93．厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的中柱AD（D为底边中点）长10米，∠B＝36°，则跨度BC的长是（）A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米4．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置，已知AO＝a，若栏杆的旋转角∠BOC＝36°，则栏杆端点A上升的垂直高度DE的长为（）A．asin36° B．acos36° C． D．atan36°5．如图1为某款“不倒翁”，图2为它的主视图，PA、PB分别与所在圆相切于点A、B．连接PO并延长交于点M，若该圆半径是6cm，PA＝8cm，则sin∠AMB的值为（）A． B． C． D．6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx7．如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则sinα的值为（）A． B． C． D．8．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．9．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（）A．35海里 B．35cos37°海里 C．35tan37°海里 D．35sin37°海里10．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为（）m．A．+1.6 B．﹣1.6 C．+0.9 D．﹣0.911．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为15m，旋转1周需要24min（匀速）．小明乘坐最底部（离地面约1m）的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动10min时，小明离地面的高度是m．12．如图，准备在宽24米的迎宾大道AB路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂CD长4米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，灯柱BC与大道路面AB垂直，此时O恰好为AB中点．（1）∠DOB的度数为°．（2）现在由于道路两边都要装路灯，要求，且灯臂CD缩短为1米，其它的位置关系不变．则现在路灯的灯柱BC高度应该比原设计高度缩短了米．13．如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP＝A′P，BP＝B′P）．通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H'，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C＝B′M．测得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，EH＝14cm，FG＝0.3cm．（1）要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于cm；（2）当tan∠HDH'＝时投入一个小球，并能顺利盖上垃圾桶盖，小球的最大半径为cm．14．如图1是小鸟牙签盒实物图，图2是牙签盒在取牙签过程中一个状态的部分侧面示意图，D、E为连接杆AB上两个定点，通过按压点B，连接杆AB绕点E旋转，从而带动连接杆DF上升，带动连接杆FH与FG绕点G旋转，致使牙签托盘HI向外推出，在取牙签过程中固定杆EG位置不变且DF与EG始终平行，牙签托盘HI始终保持水平，现测得FG＝FH＝1cm，EB＝cm，DF＝EG＝7cm，∠HFG＝46°与∠B＝90°，杆长与杆长之间角度大小不变，已知，牙签盒在初始状态，D、H、F三点共线，在刚好取到牙签时，E、H、G三点共线，且点C落在线段HI上，（参考数据：tan23°＝）（1）从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘HI在水平方向被向外推出cm；（2）鸟嘴BC的长为cm．15．消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AB可伸缩，伸缩范围为10m≤AB≤40m，且起重臂AB可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAB，张角范围为90°≤∠CAB≤150°，转动点A距离地面MN的高度AC为5m．（参考数据：（1）当起重臂AB长度为20m，张角为135°时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号）（2）某栋楼高39m，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．16．莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）​17．如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm．现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm．（1）求证：AC∥BD；（2）求扣链EF与立杆AD的夹角∠OEF的度数．（精确到0.1）（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈1.873）18．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连