第17讲 相似三角形常见模型之平行相似 (解析版)

第17讲相似三角形常见模型之平行相似【知识点睛】A字图及其变型“斜A型”当DE∥BC当DE∥BC时△ADE∽△ABC性质：当∠ADE=∠ACB时△ADE∽△ACB性质：变型☆：斜A型在圆中的应用：如图可得：△PAB∽△PCD☆：“A字图”最值应用A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线，☆：“A字图”最值应用A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线，矩形面积达到最大值！当∠A=∠C当∠A=∠C时△AJB∽△CJD性质：当AB∥CD时△AOB∽△DOC性质：变型☆：“蝴蝶型”常见应用☆：“蝴蝶型”常见应用常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度”☆☆：A字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型常见“∥”的引入方式：直接给出平行的已知条件平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行由很多中点构造的“中位线”的平行根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线【类题训练】1．已知，在▱ABCD中，E是BC边上的点，AE与BD相交于点F．若BE：EC＝3：2，则△ABF的面积与△ADF的面积之比为（）A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，从而结合已知可得＝，然后再证明8字模型相似三角形△AFD∽△EFB，从而利用相似三角形的性质可得＝＝，即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE：EC＝3：2，∴＝，∴＝，∴∠ADF＝∠DBE，∠DAF＝∠AEB，∴△AFD∽△EFB，∴＝＝，∴△ABF的面积与△ADF的面积之比＝BF：DF＝3：5，故选：C．2．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（）A． B． C． D．【分析】利用A字模型相似三角形，证明△CGF∽△CAB，利用相似三角形的性质求出FG的长，再求出△CGF与△CAB面积比即可解答．【解答】解：∵DG：GF＝1：2，∴设DG＝x，FG＝2x，∵四边形DEFG是矩形，∴FG∥DE，∴∠CGF＝∠A．∠CFG＝∠B，∴△CGF∽△CAB，∵CH⊥AB，FG∥DE，∴CH⊥FG，∴＝，∴＝，∴x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的根，∴FG＝5，∴＝（）2＝，∴△GFC与四边形ABFG的面积比为＝1：3，故选：A．3．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值．【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，∴BE＝1，DH＝BF＝2，∵AD∥BN，∴△ADE∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝1.5，∵DH∥NF，∴△DHM∽△NFM，∴＝＝＝，故选：C．4．如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长BC分别交AG，HG于点M，N，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记△MNG的面积为S，△GDF的面积为9S，则阴影部分的面积为（）A．20S B．21S C．22S D．24S【分析】设AH＝a，MG＝x，则AC＝HN＝a，证明△MNG∽△AHG，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得＝＝＝，所以MN＝a，NG＝a，AG＝3x，根据△MNG的面积为S，表示a2＝12S，由勾股定理列等式表示x2＝a2，最后根据面积差可得结论．【解答】解：设AH＝a，MG＝x，则AC＝HN＝a，∵该图由四个全等的直角三角形围成，∴S△ACB＝S△DFG＝S△BED＝S△AGH＝9S，∵MN∥AH，∴△MNG∽△AHG，∴＝＝，∴＝＝＝，∴MN＝a，NG＝a，AG＝3x，∵△MNG的面积为S，∴•a•a＝S，∴a2＝12S，由勾股定理得：MG2＝MN2+NG2，∴x2＝（a）2+（a）2，∴x2＝a2，∴阴影部分的面积＝（3x）2﹣2×9S＝9x2﹣18S＝9×a2﹣18S＝×12S﹣18S＝21S．故选：B．5．如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝8，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE交CD于点F，则CF＝6．【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，证明△BCF∽△EDF，由相似三角形的性质得出＝，则可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，∵BC∥DE，∴△BCF∽△EDF，∴＝，设CF＝x，则DF＝9﹣x，∴＝，∴x＝6，∴CF＝6．故答案为：6．6．如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】根据线段的中点定义可得CD＝BC，再根据平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，进而可得△ABC∽△A′DC，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴CD＝BC，由平移得：AB∥A′B′，∴∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，∴△ABC∽△A′DC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ABC的面积为16，∴△A′DC的面积＝△ABC的面积＝4，故选：D．7．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【分析】根据题意可得AD：AB＝1：4，再证明△ADE∽△ABC，得，即BC＝4DE，根据平行线间的距离处处相等可得C到DE的距离为等于点D到BC的距离，以此即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴BC＝4DE，设点C到DE的距离为h1，点D到BC的距离为h2，∵DE∥BC，∴h1＝h2，∴，即S△DEC：S△DBC＝1：4．故选：D．8．如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行四边形的性质先说明对边平行，再利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥AB，ED∥BC．∵DF∥AB，∴＝，＝，△EDF∽△EAB．∴＝．故选项A、B、D正确；∵ED∥BC，∴△EDF∽△BCF．∴＝≠．故选项C错误．故选：C．9．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是AD的中点，FG∥DE，若BC+FG＝15，则DE的长为6．【分析】首先利用三角形中位线定理推出DE平行且等于BC，再根据“A”字模型证明三角形相似，进而得到FG＝BC，然后利用BC+FG＝15，求出BC的长，进而求解．【解答】解：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵FG∥DE，∴FG∥DE∥BC，∴△AFG∽△ABC，又∵F是AD的中点，D是AB的中点，∴，∴FG＝BC，∵BC+FG＝15，∴BC+BC＝15，∴BC＝12，∴DE＝×12＝6．故答案为：6．10．如图所示的网格是由边长为1的小正方形组成，△ABC和△DEF的顶点均在格点上，BC、EF交于点G，BC、DF交于点H．（1）请写出图中与△CFG相似的三角形：△FHG（2）GB的长是．【分析】（1）易通过SAS证明△ABC≌△DEF，得到∠CGF＝∠FGH，以此即可得到答案；（2）由图易得FH＝1，BE＝2，BH＝＝，易证△FGH∽△EGB，利用相似三角形的性质可得，进而得到BG＝BH，即可求解．【解答】解：（1）∵图中的网格是由边长为1的小正方形组成，∴AB＝DE＝2，AC＝DF＝4，∠BAC＝∠EDF＝90°，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，即∠FCG＝∠HFG，∵∠CGF＝∠FGH，∴△CFG∽△FHG；故答案为：△FHG；（2）由图可知，FH＝1，BE＝2，BH＝＝，∵FH∥BE，∴△FGH∽△EGB，∴，即，∴BG＝BH＝．故答案为：．11．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，交DC于点E，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝m，GH＝n．​（1）∠DCN＝45°．（2）线段CN的长为2n+m．（用含m，n的代数式表示）【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DAN＝∠BAN＝＝45°，由平行线的性质可得∠CEN＝∠BAN＝45°，再根据三角形内角和定理即可求解；（2）连接DG并延长交CN于点F，由线段中点定义得MG＝NG，根据在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行可知，DM∥GH∥CN，于是易得△GDM∽△GFN，利用相似三角形的性质求得FN＝DM＝m，GD＝GF，由GH∥CN可知GH为△CDF的中位线，得到CF＝2GH＝2n，则CN＝CF+FN．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，∵AN平分∠DAB，∴∠DAN＝∠BAN＝＝45°，∵AB∥CD，∴∠CEN＝∠BAN＝45°，∵CN⊥AN，∴∠N＝90°，∴∠DCN＝90°﹣∠CEN＝90°﹣45°＝45°；故答案为：45°；（2）如图，连接DG并延长交CN于点F，∵G为MN的中点，∴MG＝NG，∵DM⊥AN，GH⊥AN，CN⊥AN，∴DM∥GH∥CN，∴△GDM∽△GFN，∴＝1，∴FN＝DM＝m，GD＝GF，∵GH∥CN，∴GH为△CDF的中位线，∴CF＝2GH＝2n，∴CN＝CF+FN＝2n+m．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝3，BC＝4，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为或．【分析】当∠EDF＝90°时，延长ED，交AB于点G．由翻折可得，∠EAD＝∠BAD，∠B＝∠D，BD＝DE，由于∠E+∠DAE＝∠ADG，∠B+∠BAD＝ADC，可得∠ADG＝∠ADC，进而可得△ACD为等腰直角三角形，则AC＝CD＝3，BD＝DE＝BC﹣CD＝1，设DF＝x，则CF＝3﹣x，利用△ACF∽△EDF可建立方程，求出x的值，进而可求出答案；当∠DFE＝90°时，可得AB＝AE＝＝5，EF＝2，设DF＝x，则DE＝DB＝4﹣x，由勾股定理可得（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，利用三角形的面积公式可得出答案．【解答】解：当∠EDF＝90°时，延长ED，交AB于点G．由翻折可得，∠EAD＝∠BAD，∠B＝∠D，BD＝DE，∵∠E+∠DAE＝∠ADG，∠B+∠BAD＝ADC，∴∠ADG＝∠ADC，∵△DEF为直角三角形，即∠EDF＝90°，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠ADC＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，则AC＝CD＝3，BD＝DE＝BC﹣CD＝1，设DF＝x，则CF＝3﹣x，∵∠C＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴＝．当∠DFE＝90°时，如图，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝AE＝＝5，∴EF＝2，设DF＝x，则DE＝DB＝4﹣x，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∴S△DEF＝＝＝．故答案为：或．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若BE＝1，∠EAF＝45°，则AG的长为．【分析】过点E作EH⊥AE，交AG于点H，过点H作HM⊥BC，垂足为M，可得∠AEH＝∠HME＝∠HMF＝90°，从而可得AE＝EH，再利用矩形的性质可得BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，从而证明△ABE≌△EMH，进而可得AB＝EM＝2，BE＝HM＝1，然后再证明A字模型相似三角形△ABF∽△HMF，利用相似三角形的性质可求出MF的长，从而求出BF的长，进而利用勾股定理求出AF的长，最后证明8字模型相似三角形△ABF∽△GCF，利用相似三角形的性质可求出FG的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点E作EH⊥AE，交AG于点H，过点H作HM⊥BC，垂足为M，∴∠AEH＝∠HME＝∠HMF＝90°，∴∠AEB+∠HEM＝90°，∠FCG＝180°﹣∠BCD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠AHE＝90°﹣∠EAH＝45°，∴AE＝EH，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠HEM，∵∠B＝∠HME＝90°，∴△ABE≌△EMH（AAS），∴AB＝EM＝2，BE＝HM＝1，∵∠B＝∠HMF＝90°，∠AFB＝∠HFM，∴△ABF∽△HMF，∴＝，∴＝，∴FM＝3，∴BF＝BE+EM+FM＝6，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2，∴AF＝＝＝2，∵∠B＝∠FCG＝90°，∠AFB＝∠CFG，∴△ABF∽△GCF，∴＝，∴＝，∴FG＝，∴AG＝AF+FG＝，故答案为：．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F，若⊙O的半径为4，AD＝3，则CF的长是．【分析】作辅助线，连接OE，利用切线可知OE⊥AC，从而OE∥BF，得到△DBF是等腰三角形；再次利用三角形相似，求BC的长，进而计算CF即可．【解答】解：连接OE，∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠DEO＝∠F，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠ODE＝∠F，∴BD＝BF，∵BD＝2OD，OD＝4，∴BF＝2OD＝8，∵OE∥BF，∴△AOE∽△ABC，∴，∵AD＝3，OD＝4，∴AB＝11，OA＝7，∴，∴，∴CF＝BF﹣BC＝8﹣＝．故答案为：．15．研究任务画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD是AC边上的中线若，则DE∥BF成果应用如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积．①若EF⊥AC，，则AC的值为；②若BE＝CF，AE＝EF，则AC的值为．【分析】①如图1，连接BF，设AC＝b，B利用勾股定理得BC＝，由三角形面积公式可得S△ABC＝AB•BC＝2，由研究成果分割法得：若＝n，则＝，根据＝2，可求得n＝2，再利用勾股定理即可求得答案；②如图2，设D是AC的中点，连接DE、BD、BF，过点E作EG⊥AC于点G，由研究成果等积法得：点D是AC的中点，DE∥BF，得出：＝，AD＝AC，设＝n，根据研究成果分割法可求得AC＝AF+CF＝，再由cosA＝＝，即可求得答案．【解答】解：①如图1，连接BF，设AC＝b，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，∴BC＝＝＝，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×＝2，由研究成果分割法得：若＝n，则＝，∵＝2，∴＝2，解得：n＝3，∴＝3，∵AB＝4，∴AE＝3，BE＝1，∵AF+CF＝b，＝2，∴AF＝b，CF＝b，∵S△AEF＝S△ABC，∴AF•EF＝×AB•BC，即×b×EF＝××4×，∴EF＝，在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，∴（b）2+（）2＝32，且b＞0，解得：b＝3，故答案为：3；②如图2，设D是AC的中点，连接DE、BD、BF，过点E作EG⊥AC于点G，由研究成果等积法得：点D是AC的中点，DE∥BF，∴＝，AD＝AC，设＝n，则＝＝＝n，根据研究成果分割法得：若＝n，则＝，∴AE＝n•BE，∵AE+BE＝AB＝4，∴（n+1）BE＝4，∴BE＝，AE＝，又∵BE＝CF，∴CF＝，∴AF＝CF＝×＝，∴AC＝AF+CF＝+＝，∵AE＝EF，EG⊥AF，∴AG＝AF＝×＝，∵cosA＝＝，∴AG•AC＝AB•AE，即×＝4×，∵n＞0，∴n＝2，∴AC＝＝＝，故答案为：．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．（1）求证：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，再根据角平分线的定义得∠ABC＝∠DBC，于是可得出∠C＝∠DBC，据此可得出结论；（2）设DP＝x，则AD＝CP＝1+x，然后由（1）的结论得AP：DP＝PC：BP，据此可得出x2+x﹣1＝0，然后解方程求出x即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BC是∠ABD的平分线，∴∠ABC＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC，又∠APC＝∠DPB，∴△APC∽△DPB．（2）解：设DP＝x，∵AP＝PB＝1，∴AD＝AP+DP＝1+x，又AD＝CP，∴CP＝1+x，由（1）得：△APC∽△DPB，∴AP：DP＝PC：BP，即：1：x＝（x+1）：1，∴x2+x＝1，∴x2+x﹣1＝0，解得：，（不合题意，舍去）．∴．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求证：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根据题意不难证明△ABC∽△EFC；（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，则DE＝，易证明△AHF∽△ADC，则，易证明△HFG∽△DEG，则，将DE＝，代入即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵点D是BC的中点，∴∠CAB＝2∠CAD，∵∠CEF＝2∠CAD，∴∠CEF＝∠CAB，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC∽△EFC；（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BE＝2DE，∴，即DE＝，∵HF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵＝，∴，∴，∵HF∥BC，∴△HFG∽△DEG，∴，由上述知，DE＝，，∴＝．18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．（1）在图①中，的值为1：3；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可．（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．【解答】解：（1）如图①中，∵AB∥CD，∴△PCD∽△PBA．∴＝＝，故答案为：1：3；（2）①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．由勾股定理知：AB＝＝5．∵AP＝3，∴BP＝2．∵BE∥FA，∴△EPB∽△FPA．∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；②如图③所示，作点A的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．19．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是线段AB和AB的延长线上的一点，且BF＝BE，连接CE，DF交于点G，连接BG．设＝k（k＞0）．（1）当k＝1时，求CE的长；（2）在（1）的条件下，求BG的长；（3）求△DCG的面积（用含k的代数式表示）．【分析】（1）连接AC，根据题意和菱形的性质可得△ABC为等边三角形，AE＝EB＝AB＝1，在Rt△BCE中，CE＝BC•sin∠CBE；（2）根据理性的性质得AB∥CD，进而得∠DCG＝∠FEG，∠CDG＝∠EFG，由AE＝EB＝BF可得EF＝CD，以此可通过ASA证明△CDG≌△EFG，则EG＝，再根据勾股定理即可求解；（3）设点G到CD的距离为h1，点G到AB的距离为h2，则，即，易证明△CDG∽△EFG，得，根据题意可得CD＝（k+1）EB，EF＝2EB，因此，进而得到，以此即可求解．【解答】解：（1）如图，连接AC，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，∴BC＝AB＝2，∴△ABC为等边三角形，∵＝k，k＝1，∴AE＝EB＝AB＝1，即E为AB中点，∴CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，在Rt△BCE中，CE＝BC•sin∠CBE＝2×＝；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴∠DCG＝∠FEG，∠CDG＝∠EFG，由（1）知，AE＝EB＝1，∵BF＝BE，∴AB＝EF＝CD，在△CDG和△EFG中，，∴△CDG≌△EFG（ASA），∴CG＝EG＝CE＝，在Rt△BEG中，BG＝；（3）设点G到CD的距离为h1，点G到AB的距离为h2，由（1）可知，，即，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴∠DCG＝∠FEG，∠CDG＝∠EFG，∴△CDG∽△EFG，∴，∵＝k，∴AE＝kEB，∴CD＝AB＝AE+EB＝kEB+EB＝（k+1）EB，∵BF＝BE，∴EF＝EB+BF＝2EB，∴，即，∵，∴，∴，∴S△DCG＝＝＝．20．如图，在△ABC中，点D是AC上的点，过点D作DE∥BC交AB于点E，AB＝3BE，过D作DF∥AB交BC于点F．（1）若BC＝15，求线段DE的长；（2）若△ADE的面积为16，求△CDF的面积．【分析】（1）利用平行线先判定△AED∽△ABC，再利用相似三角形的性质得结论；（2）先利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质求出△ABC的面积，再利用相似三角形的性质得结论．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC．∴＝．∵AB＝3BE，∴AE＝2BE．∴＝．∴DE＝10．（2）∵DE∥BC，∴＝＝，△AED∽△ABC．∴＝（）2．∴＝（）2＝．∴S△ABC＝36．∵DF∥AB，∴△CDF∽△ABC．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△CDF＝S△ABC×＝4．21．如图1，在矩形ABCD中，＝k，E为CD边的中点，连接AE，延长AE交BC的延长线于F点，在BC边上取一点G，连接AG，使AF为∠DAG的角平分线．（1）求证：GE⊥AF；（2）如图2，若k＝1，求的值；（3）若点G将BC边分成1：2的两部分，直接写出k的值．【分析】（1）想证明两条直线垂直，可想到两条直线的夹角为90°，及转化求角度问题，而利用等腰三角形底边中点的性质，中线垂直于底边，这样就转化为证明相关三角形为等腰三角形的问题，问题即可得到解决．（2）利用k＝1，把相关线段所表示的式子找出来，集中到一个相关三角形中，利用直角三角形的性质，列出相关等式，解出方程的解，问题即可得到解决．（3）若点G将BC边分成1：2的两部分，这时分2种情况，BG＝2GC或者BG＝GC，利用上边的分析，在同一直角三角形中，列出相关等式，解出方程的解，问题即可得到解决．【解答】（1）证明：∵E为CD边的中点，∴DE＝EC，∵∠AED＝∠CEF，∠ADE＝∠ECF＝90°，∴△ADE≌△CEF，∴AE＝EF，即E为AF中点，∵AF为∠DAG的角平分线，∴∠GAE＝∠DAE，又∵AD∥CF，∴∠DAE＝∠GFE，∴∠GAE＝∠GFE，∴△AGE为等腰三角形，∴GE⊥AF．（2）解：设EC＝1个单位，GC＝x，利用Rt△ABG列出方程：（2﹣x）2+4＝（2+x）2，解得CG＝，BG＝，∴（3）解：①当BG＝2GC时，设GC＝x，则BG＝2x，∵＝k，∴AB＝，∵AG＝GF＝4x，利用Rt△ABG列出方程：（4x）2＝（）2+（2x）2，解得k＝．②当BG＝2GC时，设GC＝2x，则BG＝x，∵＝k，∴AB＝，∵AG＝GF＝5x，利用Rt△ABG列出方程：（5x）2＝（）2+（x）2，解得k＝．综上解析或．22．综合与实践莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片ABC，如图，AB＝AC＝5，BC＝6．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕DF，再展开后连接CD，交折痕AE于点O，则点O就是△ABC的重心．教材重现：如图4﹣15，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）．如图4﹣16，AE是△ABC的BC边上的中线．让我们先看看三角形的中线有什么特点．​​