第09讲几何初步及三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（原卷版）

第09讲几何初步及三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性.【知识导图】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1．直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).2．射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.

3.线段直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.考点二、角1．角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.

2．角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．垂线（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示4．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.

考点四、平行线平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.2．平行公理及推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c3．性质：(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行，同位角相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a4．判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.考点五、命题、定理、证明1．命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.(2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.2．公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.3．证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明考点六、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.考点七、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.【典型例题】题型一、几何初步例1．判断下列语句是不是命题①延长线段AB()．②两条直线相交，只有一交点()．③画线段AB的中点()．④若|x|=2，则x=2()．⑤角平分线是一条射线()．【变式】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个题型二、三角形例2．四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．证明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【变式】例3．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．

【变式】一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是()．A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形例4．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形()的交点．A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高【变式】题型三、综合运用例5．如图：已知，△ABC中，∠A=50°(1)如图(1)，点O是∠ABC和∠ACB的平分线交点，则∠BOC=_____；(2)如图(2)，点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线交点，则∠BPC=____；(3)如图(3)，点M是外角∠BCE和∠CBF的平分线交点，则∠BMC=____.例6．探索在如图-1至图-3中，△ABC的面积为a.(1)如图-1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，若△ACD的面积为S1，则S1=____(用含a的代数式表示)；(2)如图-2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE，若△DEC的面积为S2，则S2=____(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图-2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF(如图-3)，若阴影部分的面积为S3，则S3=____(用含a的代数式表示)；（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF(如图-3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____倍．【变式】去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图)，求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m2？【中考过关真题练】一．选择题（共1小题）1．（2014•上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5二．填空题（共4小题）2．（2021•上海）70°的余角是．3．（2019•上海）如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．4．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．5．（2016•上海）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共5小题）1．（2022•嘉定区校级模拟）下列命题中，真命题是（）A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等2．（2020•浦东新区三模）已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（）A．棱EA B．棱AB C．棱GH D．棱GF3．（2022•奉贤区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，点D在边AB的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠DBE的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°4．（2022•徐汇区模拟）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA交于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．62° B．56° C．52° D．46°5．（2021•浦东新区模拟）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么∠1的度数是（）A．75° B．90° C．100° D．105°二．填空题（共27小题）6．（2019•浦东新区二模）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于．7．（2022•徐汇区二模）如图，已知AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝30°，那么∠C的度数为．8．（2022•金山区二模）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如图的弦图中大正方形边长为4，每个直角三角形较小的锐角为30°，那么小正方形面积为．9．（2022•普陀区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，AD＝BD，如果∠DAC＝102°，那么∠BAD＝度．10．（2022•宝山区二模）如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是．11．（2022•松江区校级模拟）如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则＝．12．（2022•金山区校级模拟）已知正三角形ABC的半径为4，那么正三角形ABC的面积为．13．（2022•松江区校级模拟）如果一个等腰直角三角形的面积是5，那它的直角边长是．14．（2022•黄浦区二模）如图，已知AB∥DE，如果∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，那么∠BCD＝°．15．（2022•宝山区模拟）如图，点B、C、D在同一直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝35°，那么∠A＝．16．（2022•杨浦区三模）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，△ABC是等高底三角形，BC是等底，点A关于直线BC的对称点是点A′，联结AA′，如果点B是△AA′C的重心，那么的值是．17．（2022•崇明区二模）如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”，那么BC：AC：AB＝．18．（2022•黄浦区二模）如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍AB垂直立于水平的地面上，把木棍CD斜钉在木棍AB上，点D是木棍AB的中点，再把木棍EF斜钉在木棍CD上，点F是木棍CD的中点，如果A、C、E在一条直线上，那么的值为．19．（2022•松江区校级模拟）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AC＝BC，BD＝CD，∠C＝30°，则∠1＝．20．（2022•黄浦区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝6，点E在边AB上且AE＝2BE，点F在边BC上，过点F作EF的垂线交射线AC于点G，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，则AG＝．21．（2022•徐汇区模拟）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为．22．（2022•徐汇区模拟）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．23．（2022•上海模拟）如图是四边形纸片ABCD，已知AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上．如果沿CE、FG将纸片剪开后，所得的四个部分的面积全部相等，那么线段CF的长为．24．（2022•嘉定区校级模拟）如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝°．25．（2022•嘉定区二模）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中边AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是．26．（2022•徐汇区模拟）已知：P为△ABC的重心，连接BP并延长，交AC于点D．设＝、＝，则＝.（请用含、的式子表示）．27．（2022•宝山区模拟）已知△ABC的两条中线BD、CE相交于点P，PE＝2，那么CP的长为．28．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC＝45°，则A点坐标为．29．（2022•宝山区模拟）已知点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．30．（2022•嘉定区校级模拟）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝．31．（2022•闵行区二模）如图，点G为等腰△ABC的重心，AC＝BC，如果以2为半径的⊙G分别与AC、BC相切，且CG＝，那么AB的长为．32．（2022•长宁区模拟）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝10，则它的周长等于．三．解答题（共6小题）33．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如果BE2＝AB⋅EF，求证：∠ECF＝∠BAE．34．（2022•黄浦区二模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．（1）求证：AB∥CD；（2）已知BC＝6，AB＝10，求tan∠EBC的值．35．（2022•徐汇区校级模拟）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？36．（2022•松江区二模）已知△ABC中，AB＝AC，AD、BE是△ABC的两条高，直线BE与直线AD交于点Q．（1）如图，当∠BAC为锐角时，①求证：DB2＝DQ•DA；②如果＝3，求∠C的正切值；（2）如果BQ＝3，EQ＝2，求△ABC的面积．37．（2022•闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作preA，这时preA＝．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：（1）pre60°的值为．（A）；（B）1；（C）；（D）2．（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值preA的取值范围是．（3）如果sinA＝，其中∠A为锐角，试求preA的值．38．（2022•上海模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D为直线AC上不同于点A的一点，BD⊥AC，点E在边AB上，BD＝BE，直线DE交射线BC于点F．（1）当点D在边AC上时，如图所示．①求证：∠CFD＝45°；②如果BD平分∠ABC，求的值；（2）如果CF＝1，DF＝2DE，求线段BF的长．【名校自招练】一．选择题（共1小题）1．（2017•浦东新区校级自主招生）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE二．填空题（共11小题）2．（2018•浦东新区校级自主招生）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．3．（2022•徐汇区校级自主招生）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上的汉字是．4．（2016•宝山区校级自主招生）一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L＝．5．（2016•宝山区校级自主招生）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，1），B（3，2）．C（1，4），则△ABC的面积为6．（2019•宝山区校级自主招生）设△ABC的三边a，b，c均为正整数，且a+b+c＝40，当乘积abc最大时，△ABC的面积为．7．（2016•宝山区校级自主招生）△ABC中，∠CAB＝64°，平面上点P满足PA＝PB＝PC，则∠PCB＝．8．（2016•宝山区校级自主招生）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，则∠ACD＝．9．（2