第08讲 二次函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（原卷版）

第08讲二次函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识导图】【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为．2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到．将向上移动k个单位得：．将向左移动h个单位得：．将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象．5.几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()考点三、二次函数的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2.交点式（双根式）：．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式：．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式：．若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．考点四、二次函数(a≠0)的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧．3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点．考点五、二次函数的最值1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当时，．2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内．①若在此范围内，则：当a＞0时，，(此时，)；当a＜0时，，(此时，)．②若不在此范围内，则：当y随x的增大而增大时，(此时，)，(此时，x＝x1)；当y随x的增大而减小时，(此时，)，(此时，x＝x2)．考点六、二次函数与一元二次方程的关系

函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象

的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解

方程没有实数解【典型例题】题型一、应用二次函数的定义求值 例1．已知抛物线y=（m-1）x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上．

（1）求m=，并写出函数解析式；

（2）写出函数图象的顶点坐标及对称轴．【变式】已知抛物线过原点，求m．题型二、二次函数的图象及性质的应用例2．已知点M(-2，5)，N(4，5)在抛物线，则抛物线的对称轴为________．【变式1】如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.yxyxCAOB【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.题型三、求二次函数的解析式例3．抛物线的顶点为(2，3)，且与x轴的两个交点之间的距离为6，求抛物线解析式．【变式】请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是________．题型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系例4．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)(m≠1的实数)．其中正确的结论有()A．2个B．3个C．4个D．5个【变式】如图所示的二次函数的图象中，张凯同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0.你认为其中错误的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个xyxy-11O1题型五、求二次函数的最值例5．二次函数的最小值为()A．-35B．-30C．-5D．20题型六、二次函数综合题例6．如左图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助右图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．【变式1】如图所示，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取≈7)(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米?(取≈5)【变式2】已知关于x的一元二次方程.（其中m为实数），（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k=m时，求m的值；②若记为y，求y与m的关系式；（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.【中考过关真题练】一．选择题（共3小题）1．（2018•上海）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的2．（2016•上海）如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+33．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变二．填空题（共2小题）4．（2020•上海）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．5．（2017•上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）三．解答题（共7小题）6．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．7．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C在抛物线上，求C的坐标．8．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．9．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．10．（2016•上海）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．11．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．12．（2017•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x＝1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共6小题）1．（2022•宝山区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线对称轴左侧部分是下降的 D．抛物线顶点到x轴的距离是22．（2022•浦东新区二模）如果将抛物线y＝5x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝5（x+1）2 B．y＝5（x﹣1）2 C．y＝5x2+1 D．y＝5x2﹣13．（2022•宝山区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c＝b；②x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc＞0；④c﹣a＞2，其中正确的结论为（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④4．（2022•长宁区二模）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．5．（2022•虹口区二模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）6．（2022•杨浦区三模）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，那么下列判断中一定正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0二．填空题（共8小题）7．（2022•杨浦区三模）如果二次函数y＝x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是．8．（2022•杨浦区三模）已知二次函数图象的对称轴在y轴右侧，且在对称轴左侧函数y的值随x的值增大而增大．请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式.（只需写一个）9．（2022•宝山区模拟）如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b的值为．10．（2022•宝山区模拟）二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标为．11．（2022•黄浦区二模）将抛物线y＝x2+x+1向下平移1个单位，所得新的抛物线的表达式是．12．（2022•松江区校级模拟）如果将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是．13．（2022•普陀区二模）如果二次函数y＝（a﹣1）x2的图象在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是．14．（2022•徐汇区二模）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：．三．解答题（共33小题）15．（2022•金山区二模）已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．16．（2022•徐汇区模拟）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：时间x（天）第1天第2天第3天第4天…日销售量y（千克）380400420440…（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？17．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．18．（2022•长宁区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．19．（2022•徐汇区模拟）如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当a＝﹣时，①求点A、B、C的坐标；②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值．20．（2022•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．①当MN＝AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．21．（2022•崇明区二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）如果将△ECF沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．22．（2022•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的表达式和点D的坐标；（2）点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线AE交y轴于点F．①用m的代数式表示直线AE的截距；②在△ECF的面积与△EAD的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于△EAD面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．23．（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．24．（2022•宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．25．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．26．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．27．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．28．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．29．（2022•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，顶点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果∠BDC＝∠OAB，求平移的距离；（3）设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移三个单位，如果点M的对应点Q落在△OAB内，求m的取值范围．30．（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（4，1）两点，与y轴的交点为C点．（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC的面积；（3）设抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线l，点D与点B关于直线l对称，在线段BC上是否存在一点E，使四边形ADCE是菱形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．31．（2022•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．32．（2022•宝山区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．33．（2022•黄浦区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQ∥CH，交对称轴l于点Q，且S△POQ：S△PAQ＝1：5，求直线PQ的表达式．34．（2022•长宁区二模）如图，已知菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点D的坐标为（4，1），抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、D，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：菱形ABCD是正方形；（3）联结OC，如果P是x轴上一点，且它的横坐标大于点D的横坐标，∠PCD＝∠BCO，求点P的坐标．35．（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．36．（2022•松江区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．37．（2022•松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，tan∠OAB＝3，抛物线y＝x2+mx+3经过A、B两点，顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积；（3）将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足∠ACP＝∠ABO，求点P的坐标．38．（2022•浦东新区校级模拟）如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（1）如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；（2）如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；（3）若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2+2ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．39．（2022•金山区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx的经过（2，0），（﹣1，3），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，过顶点C的直线CP交x轴于点A．（1）求该抛物线的表达式与顶点C；（2）当OC⊥OP时，求tan∠OPA的值；（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求点P坐标．40．（2022•宝山区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，联结AC、BC．（1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如果点P在抛物线上，CB平分∠ACP，求点P的坐标；（3）如果点Q在抛物线的对称轴上，△DBQ与△ABC相似，求点Q的坐标．41．（2022•长宁区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C．已知点A（3，0），O为坐标原点．（1）当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系；（3）如果△BCA∽△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标．42．（2022•徐汇区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣2mx+3的图象与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4．（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）点E是二次函数图象上一个动点，作直线EF∥x轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；（3）若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小．43．（2022•宝山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+bx﹣1与x轴交于点A和点B（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，已知tan∠CAB＝．（1）求顶点P和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；（3）在（2）的条件下，如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．44．（2022•普陀区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A（﹣1.0）、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB＝∠BCO，求点F的坐标．45．（2022•浦东新区二模）如图，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点M在x轴上，且在点B的右侧，联结BC、CM，如果S△MBC：S△ABC＝4：7，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点D在线段OC上，∠CAD＝∠MCO，求OD的长度．46．（2022•黄浦区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，直线经过点A，交抛物线的对称轴于点E．（1）求△ABE的面积；（2）联结EC，交x轴于点F，联结AC，若，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，点P是直线AE上一点，且∠EPB＝∠ECB，求点P的坐标．47．（2022•嘉定区校级模拟）已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

【名校自招练】一．填空题（共10小题）1．（2017•杨浦区校级自主招生）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac＝．2．（2018•浦东新区校级自主招生）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p时，对应的y的值的取值范围为．3．（2017•浦东新区校级自主招生）二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤3上有最小值﹣2，则a的值为4．（2016•徐汇区校级自主招生）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣m）2﹣m2+1有最小值﹣1，则实数m的值为．5．（2021•宝山区校级自主招生）f（x）＝ax2+bx+c其顶点与x轴的两交点围成一个等腰直角三角形，b2﹣4ac＝．6．（2017•杨浦区校级自主招生）已知△ABC是等边三角形，动点P，Q，R分别同时从顶点A，B，C出发，沿AB，BC，CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P，Q，R经过△ABC的一边所用时间分别为1秒，2秒，3秒，从运动开始起，在1秒内，经过秒△PQR的面积取到最小值．7．（2016•闵行区校级自主招生）已知函数f（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}，max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值，记H1（x）的最小值A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B＝．8．（2016•宝山区校级自主招生）已知函数f（x）＝x2+