1.1 锐角三角函数（7大题型）（分层练习）（解析版）

第1章解直角三角形1.1锐角三角函数（7大题型）分层练习考查题型一正弦、余弦与正切的概念辨析1．（22·23下·泉州·一模）在中，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值．【详解】解：如图，中，，，，设，，由勾股定理得：，，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．2．（22·23·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为．

【答案】【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．【详解】解：∵点，点，∴，，∵，∴，过点作于点，

∵，是的角平分线，∴∵∴设，则，∴解得：或（舍去）∴故答案为：．【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．3．（2021秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，为的中点，，．

(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别在和中用勾股定理求解即可；（2）过点作，根据求出，再利用面积相等求出，进而求出答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵是的中点，∴.∴；（2）解：过点作，垂足为，如图，

∵为的中点，，，∴，∵，∴.，∴；【点睛】本题考查勾股定理及锐角三角函数，掌握相关计算是解题关键．考查题型二求角的正弦值1．（22·23下·沈阳·开学考试）如图，是的直径，点C和点D在上，若的半径是4，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用直径所对的圆周角为得到是直角三角形，然后利用勾股定理求得边的长，然后求得的正弦即可求得答案．【详解】是直径，，的半径是4，，由勾股定理得：，，，，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．2．（22·23上·青岛·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作于点D根据勾股定理得：∴∴∴故选：B．【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．3．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）在中，，点D是直线上一点，若，，的值为【答案】或【分析】分两种情况：点D在线段上，点D在线段的反向延长线上，分别画出图形，进行求解即可．【详解】解：如图1，点D在线段上，过点A作于点E，过点B作于点F，在中，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；如图2，点D在线段的反向延长线上，过点A作于点E，过点B作于点F，在中，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；综上可知，的值为或．故答案为：或【点睛】此题考查了求锐角三角函数、勾股定理、含角的直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键．考查题型三已知正弦值求边长1．（22·23下·咸阳·二模）如图，点A，B，C均在上，连接、、，过点O作于点D，若的半径为4，，则弦的长是（）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】连接、，由等腰三角形的性质得到，，再由圆周角定理得到，进而得到，然后利用特殊角的三角函数，求出，即可求出弦的长．【详解】解：连接、，，，，，，，，，，故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数，解题关键是利用圆周角定理和等腰三角形的性质求出的度数．2．（22·23下·深圳·阶段练习）如图，，，若，，则点到的距离是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，，，，，，，，，，，，在中，，，的面积的面积的面积的面积，，，，点到的距离是，故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（22·23下·绵阳·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，点F为上一点，，若，则的长为．【答案】4【分析】过点作交于点，设，，，根据等边对等角可推出，从而证出，然后等角的正弦值相等即可求出，从而求出，再根据等角对等边可得，最后根据勾股定理列出方程即可求出结论．【详解】解：过点作交于点，设，，，则，，，，，，，整理可得：，在中，，即，，，，解得：，，，，，，在中，，即，整理，得，，整理，得，解得：（不符合实际，舍去），即，故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的性质和勾股定理，掌握等边对等角，等角对等边，等角的锐角三角函数相等和勾股定理是解决本题的关键．考查题型四求角的余弦值1．（2023秋·山东潍坊·九年级昌乐二中校考阶段练习）如图，矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出、，由、、可得出，根据全等三角形的性质可得出、，设，则、、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的值，再利用余弦的定义即可求出的值．【详解】解：根据折叠，可知：，，．在和中，，∴，，．设，则，，，，．在中，，即，解得：，，．故选C【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合，求出的长度是解题的关键．2．（2022春·福建福州·九年级校考期中）如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据菱形的性质结合可得出为等边三角形，进而可得出点为圆弧的圆心，将圆补充完整，利用圆周角定理找出点的位置，再根据菱形的性质即可得出为等边三角形，进而即可得出的值．【详解】解：在图中标上点、，连接，

四边形为菱形，，平分．，为等边三角形，，点为圆弧的圆心．，以点为圆心长度为半径补充完整圆，点即是所求，如图所示．所对的圆周角为、，图中所标点符合题意．四边形为菱形，且，为等边三角形，．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点的位置是解题的关键．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考模拟预测）在矩形中，过点A作的垂线，垂足为点，矩形的两边长分别是2和3，则的值是．【答案】或【分析】分两种情况：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：当，时，如图所示：∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴；当，时，如图所示：∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴；综上分析可知，的值是或．【点睛】本题主要考查了求三角函数值，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，数形结合，注意分类讨论．考查题型五已知余弦值求边长1．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，∵，，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，为的边上一点，，，，，则（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根据，，可求出，，再证明，即可作答．【详解】∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，在四边形中，，，，，，则．

【答案】/【分析】先根据余弦的定义可得，设，则，，再根据可求出的值，从而可得的值，然后利用勾股定理可得的值，最后根据正弦的定义即可得．【详解】解：，，，，，设，则，，，，，解得，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正弦与余弦、勾股定理等知识点，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．考查题型六求角的正切值1．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，．∴，，∴，∴∵，，则，设，则，∴解得：或∵，∴，∴,故选：C．【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则．

【答案】/0.5【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解．【详解】解：中，，，由折叠的性质可得，，，．设，则，在中，，，解得，，，故答案为：．【点睛】本题考查正切函数，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．3．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考自主招生）如图，中，，于D，E为上一点，于F，与交于点G，若，则的值是．【答案】【分析】由题意可知，，，过点作与，则，，可得，，进而可知，设，，则，，可得，，根据，得，即，令，则，解之即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，过点作与，则，∴，∵，∴，∴，∴，设，，∵，∴，则，则，，∵，∴，即，整理得：即：，令，则，解得（负值舍去），∴．故答案为：．【点睛】本题考查求正切值，等腰三角形的性质，添加辅助线利用互余证得是解决问题的关键．考查题型七已知正切值求边长1．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，沿着折叠使点落在边上点处，过点作交于点．若，，则的长为（

）

A． B．2 C． D．【答案】A【分析】连接，根据折叠的性质和平行线的性质，证得，然后可证得，求得的长度，根据勾股定理即可求得答案．【详解】如图所示，连接．

根据折叠的性质可知，，，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．设，则，．在中，根据勾股定理可得．即．解得．∴．故选：A．【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、勾股定理等，能根据题意构造辅助线是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于．

【答案】【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长交于点D，利用中线的定义求出，利用正切的定义求出，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：延长交于点D，

∵点G为的重心，∴是中线，∴，∵∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知，点P在边上，，点M，N在边上，，如果，那么．【答案】2或4/4或2【分析】①当在线段上时，过作交于，可求，设，则，可求，由即可求解；②当在线段上时，过作交于，由即可求解．【详解】解：①如图，当在线段上时，过作交于，

，，，设，则，，，解得：，，，，；②如图，当在线段上时，过作交于，

同理可求，，；综上所述：或．故答案：或．【点睛】本题考查了一般角的正切函数，等腰三角形的性质，掌握三角函数的定义及等腰三角形的性质是解题的关键．1．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查角的正切，因此此题可结合网格特点，利用正切的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、，则此项符合题意；B、，则此项不符合题意；C、，则此项不符合题意；D、，则此项不符合题意；故选：A2．（2023上·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考期中）把三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（

）A．不变 B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍 D．不能确定【答案】A【分析】根据正弦值的定义即可得．【详解】解：如图，在中，，

则，所以把三边的长度都扩大为原来的3倍，，即锐角的正弦值不变，故选：A．【点睛】本题考查了正弦，熟记正弦值的计算方法是解题关键．3．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考专题练习）已知，且，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，设，，求出，即可求解．【详解】解：如图，

∵，∴，∵，∴设，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，涉及到勾股定理，熟记公式是关键．4．（2023下·广东江门·八年级校联考期中）在中，，，，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为，连接，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形翻折变换性质得到，设，则，再根据勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义得到答案．【详解】解：由翻折而成，．设，则，在中，，即，解得，．故选：C．【点睛】本题主要考查翻折变换，锐角三角函数的定义，熟知图形翻折不变性是解题的关键．5．（2023上·上海虹口·九年级上外附中校考阶段练习）如图，已知在中，于点，且具有下列条件之一，其中一定能够判定是直角三角形的共有（

）①；②；③；④⑤．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】由，则，由，可得，即是直角三角形，进而可判断①的正误；由题意知，，，由，可得，则不一定是直角三角形，进而可判断②的正误；由题意知，，，由，可得，则，由三角形内角和定理可求，即是直角三角形，进而可判断③的正误；由，可得，证明，则，即是直角三角形，进而可判断④的正误；由题意知，，，由，可得，，同理③，进而可判断⑤的正误．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形，①正确，故符合要求；由题意知，，，∵，∴，不一定是直角三角形，②错误，故不符合要求；由题意知，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，③正确，故符合要求；∵，∴，又∵，∴，∴，∴是直角三角形，④正确，故符合要求；由题意知，，，∵，∴，∴，同理③，是直角三角形，⑤正确，故符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角函数，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6．（2023上·上海浦东新·九年级统考期中）如果等腰三角形的腰与底边的比是，那么底角的余弦值等于．【答案】【分析】如图，中，根据等腰三角形的腰与底边的比是，设腰长为，底边长，作于E，则，在中，根据，即可解决问题．【详解】解：如图，中，∵等腰三角形的腰与底边的比是，设腰长为，底边长，作于E，∴，在中，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键．7．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，在中，，，点在边上，且，则，．

【答案】/【分析】先由等腰三角形的性质和三角形外角性质可以求出，再利用所对直角边是斜边的一半，求出，由勾股定理得，最后由即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，故答案为：，．【点睛】此题考查了勾股定理，所对直角边是斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形外角性质，解直角三角形，解题的关键熟练掌握以上知识的应用．8．（2023上·上海黄浦·九年级统考期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为．

【答案】【分析】由正方形，设，由，可得，则，即，，解得，，，根据，代值计算求解即可．【详解】解：∵正方形，∴，，设，∵，∴，∴，即，∴，解得，，，∵，∴，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间的数量关系．9．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则．

【答案】/0.5【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解．【详解】解：中，，，由折叠的性质可得，，，．设，则，在中，，，解得，，，故答案为：．【点睛】本题考查正切函数，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．10．（2023上·上海黄浦·九年级统考期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为．

【答案】【分析】设点C落在射线上的点处，设，，根据角平分线的性质和旋转的性质可得，进而得到，即可求解．【详解】解：设点C落在射线上的点处，如图，

∵，，.设，，则，∵是的角平分线，∴，∵将绕点A旋转，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵由①②得：，由旋转的性质可知，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；计算出的长是解决问题的关键．11．（2022下·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，在边长为的网格中，按下列要求画图，所画图形的顶点在小正方形的顶点上．

(1)以为一边画一个菱形，且菱形的面积为；(2)以为腰画一个锐角等腰，并直接写出的值．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作一个边长为5的正方形即可，则面积为．（2）根据要求画出图形，过点作于．根据网格的特点与勾股定理得出，则，根据正切的定义可得结论．【详解】（1）解：如图，，作正方形即为所求作，面积为．

（2）如图，取格点，使得，即为所求作（答案不唯一）．过点作于．

∴，则，．【点睛】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾