2022-2023学年广西柳州市鹿寨县九年级（上）开学数学试卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年广西柳州市鹿寨县九年级第一学期开学数学试卷

（A卷）

一、选择题（本题满分36分，每小题3分。在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正

确的，请在答题卷上把你认为正确的答案的字母代号用2B铅笔涂黑）

1.下列四个数中，是正整数的是（）

A.-1B.0C.—D.1

2

2.下列计算正确的是()

A.《(-4)2=-4B.(a2)3=a5C.a*a3=a4D.2a-〃=2

3.2的平方根是（）

D.±4

5.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）

A.对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查

B.对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查

C.对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查

D.对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查

6.如图，将木条“、匕与c钉在一起，/1=80°,N2=60°,要使木条。与b平行，木条

。旋转的度数至少是（）

A.10°B.20°C.50°D.70°

7.下列各整式中，次数为3次的单项式是（)

A.xy2B.xy3C.x+y2D.x+y3

8.一元二次方程2%2-》+1=0根的情况是（）

A.两个不相等的实数根B.两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

9.如图，在△4BC中，/B4C=90°,ADA,BC,垂足为。，E是边BC的中点，AD=ED

C.6D.65/2

10.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（k,6是常数，且左/0）与反比

例函数"=£（c是常数，且。/0）的图象相交于A（-3,-2）,B（2,3）两点，则

x

A.-3<x<2B.x<-3或x>2

C.-3<x<0或x>2D.0<x<2

11.已知。。的半径为10,圆心。到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

12.如图，正方形A8CQ的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角

线4E为边作第三个正方形4EGH,依此下去，第"个正方形的面积为（）

A.（技"B.2"-1C.（技"D.2"

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上,

在试卷上作答无效)

13.(-1)X(-2)=.

14.若关于X的一元二次方程(+2X-〃?=0有的两根为X卜X2,则X1+X2的值为.

15.从-1、0、&、TT、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率

是.

16.如图，在平面直角坐标系中，A(8,0),B(0,6),以点A为圆心，AB长为半径画

弧，交x轴的负半轴于点C,则点C的坐标为

17.如图，在矩形A3。中，点E为4。中点，和CE相交于点E如果力尸=2,那么

线段BF的长度为

18.如图，已知RtZSABC中，ZB=90°,NA=60°,AC=2百+4,点M、N分别在线段

AC.AB上，将△4VM沿直线MN折叠，使点力的对应点。恰好落在线段BC上，当4

力CM为直角三角形时，折痕的长为.

三、解答题：(本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

在试卷上作答无效)

(2x-4>0

19.解不等式组：\\,.

[x+l<4(x-2)

20.解方程：-7=-4+1

x+2x-1

21.如图，AABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(-4,4),3(-2,5),

C(-2,1).

(1)平移△ABC,使点C移到点Ci(-2,-4),画出平移后的△48ICI,并写出点

Ai,Bi的坐标；

(2)将aABC绕点(0,3)旋转180°,得到△42比。2,画出旋转后的△A2&C2；

(3)求(2)中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长(结果保留TT).

必

22.2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上

搜救，分别在A、8两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、3两点相距400〃?，

探测线与海平面的夹角分别是30°和60°,若CZ)的长是点C到海平面的最短距离.

(1)问8。与AB有什么数量关系，试说明理由；

(2)求信号发射点的深度.(结果精确到1根，参考数据：衣七1.414,百Q1.732)

23.某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆8型自行车，其中8型车单

价是A型车单价的6倍少60元.

(1)求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？

(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车

的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？

24.如图，在△A8C中，ZACB=90°,。、。分别是边AC、AB的中点，过点C作CE〃

AB交。0的延长线于点E,连接AE.

(1)求证：四边形AECD是菱形;

(2)若四边形AECZ)的面积为24,tan/区4c=§,求BC的长.

25.如图，。。是AABC的外接圆，点。在BC边上，/BAC的平分线交。。于点Q,连

接50、CD,过点。作8c的平行线与AC的延长线相交于点P.

(1)求证：尸。是。0的切线;

(2)求证：△ABQsaocP；

(3)当A8=5c，〃，AC=12。”时，求线段PC的长.

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=狈2+法+c(«<0)与x轴交于A(-2,0)、8

(4,0)两点，与y轴交于点C,且0C=20A.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线y="+l(A:>0)与y轴交于点。，与抛物线交于点P,与直线BC交于点M

记机=瞿，试求机的最大值及此时点2的坐标；

DM

(3)在(2)的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存

在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出

点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题3分。在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正

确的，请在答题卷上把你认为正确的答案的字母代号用2B铅笔涂黑）

1.下列四个数中，是正整数的是（）

A.-IB.0C.—D.1

2

【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解.

解：A、-I是负整数，故选项错误；

8、0是非正整数，故选项错误；

C、4是分数，不是整数，错误；

。、1是正整数，故选项正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简

单.

2.下列计算正确的是（）

A.｛（-4）2=-4B.（a2）3=a5C.a,a3=a4D.2a-a=2

【分析】根据匠=同；基的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幕的乘法法则：

同底数基相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得

结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行分析即可.

解：A、,"2=4,故原题计算错误；

B、（出）3=。6,故原题计算错误；

C、a-a^a4,故原题计算正确；

D、2a-a=a,故原题计算错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了累的乘方、同底数基的乘法、合并同类项，关键是掌握各知识

点，记住计算法则.

3.2的平方根是（）

A.A/2B.-A/2C.±5/2D.±4

【分析】根据平方根的定义，求数。的平方根，也就是求一个数x,使得/=〃，则x就

是”的平方根，由此即可解决问题.

解：•.•（士历2=2,

，2的平方根是土加.

故选：C.

【点评】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0

的平方根是0；负数没有是关键.

4.下列图形中是中心对称图形的是（）

bc

人•用-A0

【分析】根据中心对称图形定义进行解答即可.

解：4不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

。、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180。，如

果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫

做对称中心.

5.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）

A.对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查

B.对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查

C.对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查

D.对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查

得到的调查结果比较近似.

解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样

调查，故此选项错误；

8、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽

样调查，故此选项错误；

C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采

用抽样调查，故此选项错误；

。、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此

选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考

查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的

意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选

用普查.

6.如图，将木条〃、人与c钉在一起，/1=80°,N2=60°,要使木条“与b平行，木条

〃旋转的度数至少是（）

A.10°B.20°C.50°D.70°

【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后N2的同位角的度数，然后用N1减去

即可得到木条〃旋转的度数.

解:如图.

VZAOC=Z2=60°时，。4〃6,

要使木条a与6平行，木条。旋转的度数至少是80°-60°=20°.

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转

后/2的同位角的度数是解题的关键.

7.下列各整式中，次数为3次的单项式是（）

A.xy2-B.xy3C.x+y2D.x+y3

【分析】根据单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数对各选项分析判断即

可得解.

解：A、封2的次数是1+2=3,故本选项正确；

B、孙3的次数是4,故本选项错误；

C、x+y2是多项式，故本选项错误；

D、x+W是多项式，故本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了单项式，主要是次数的确定，熟记单项式中，所有字母的指数和叫

做这个单项式的次数是解题的关键.

8.一元二次方程2x2-x+l=0根的情况是()

A.两个不相等的实数根B.两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

解：△=(-1)2-4X2Xl=-7V0,

所以方程无实数根.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程依2+公+。=0(“W0)的根与△=按-4ac

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=O时，方程有两个相等的

实数根；当A<0时，方程无实数根.

9.如图，在△A8C中，NBAC=9O°,AD1BC,垂足为力，E是边BC的中点，AD=ED

=3,则BC的长为()

A.372B.3百C.6D.6A/2

【分析】由题意得到三角形AOE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利

用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可.

解：；AQ=EQ=3,ADA.BC,

...△AOE为等腰直角三角形,

根据勾股定理得：A£=732+32=3V2>

•.♦氐△ABC中，E为8C的中点，

：.AE=—BC,

2

则BC=2AE=6五,

故选：D.

【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直角三

角形斜边上的中线性质是解本题的关键.

10.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数），|=丘+6（k,人是常数，且无W0）与反比

例函数”=£■（c是常数，且CW0）的图象相交于A（-3,-2）,B（2,3）两点，则

X

不等式的解集是（）

A.-3<x<2B.xV-3或x>2

C.-3<x<0或x>2D.0<x<2

【分析】一次函数》="+方落在与反比例函数>2=q图象上方的部分对应的自变量的取

X

值范围即为所求.

解：•.•一次函数）1=h+匕（鼠6是常数，且《#o）与反比例函数”=£■（。是常数，且

x

cWO）的图象相交于A（-3,-2）,B（2,3）两点，

不等式的解集是-3cx<0或x>2.

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键.

11.己知。。的半径为10,圆心。到弦AB的距离为5,则弦A8所对的圆周角的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【分析】由图可知，OA=10,。。=5.根据特殊角的三角函数值求角度即可.

解：由图可知，0A=10,00=5,

在Rt^OA力中，

VOA=10,0D=5,AD=V0A2-0D2=7102-52=573»

.\tanZl=—=Js，Zl=60°,

OD

同理可得/2=60°,

NA0B=/1+/2=60°+60°=120°,

...圆周角的度数是60。或120°.

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的

关键.

12.如图，正方形A8CO的边长为I,以对角线AC为边作第二个正方形4CE凡再以对角

线AE为边作第三个正方形AEG”，依此下去，第〃个正方形的面积为（）

A.（衣）"1B.2"-|C.（企）"D.2"

【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规

律后，即可解决问题.

解：第一个正方形的面积为1=2。，

第二个正方形的面积为（&）2=2=21

第三个正方形的面积为22,

第〃个正方形的面积为2"工

故选：B.

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，考查了学生找规律的能力，

本题中找到S,的规律是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，

在试卷上作答无效)

13.(-1)X(-2)-2.

【分析】根据有理数的乘法，即可解答.

解：(-1)X(-2)=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法.

14.若关于X的一元二次方程x2+2x-/〃=0有的两根为XI、X2,则X1+X2的值为-2.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接得结论.

解：；一元二次方程N+2X-%=0有两实根xi,xi,

这里4=1,b—2,c--m,

b

•X\+X2=~=-2.

a

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+hx+c

=0(a#0)的根与系数的关系x1+x二上■,■是解决本题的关键.

14aa

15.从-1、0、瓜IT、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是

【分析】在6个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率.

解：•.•在-1、0、&、TT、5.1、7这6个数中无理数有泥、TT这2个，

...抽到无理数的概率是?=2,

故答案为：

【点评】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数是解题

的关键.

16.如图，在平面直角坐标系中，A(8,0),B(0,6),以点A为圆心，A8长为半径画

弧，交x轴的负半轴于点C,则点C的坐标为(-2,0).

【分析】根据勾股定理求出A3,根据坐标与图形性质解答即可.

解：由题意得，08=6,。4=8,

,AB=《OB?=1。’

则AC=10,

：.OC=AC-OA=2,

，点C坐标为(-2,0),

故答案为：(-2,0).

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是mb,斜边长

为c,那么a2+b2=c2.

17.如图，在矩形ABC。中，点E为4。中点，BO和CE相交于点尸，如果力尸=2,那么

线段BF的长度为4.

【分析】根据矩形的性质可得AO〃8C,那么△OEFsagCF,利用相似三角形对应边成

比例即可求出线段B尸的长度.

解：：四边形ABCO是矩形，

：.AD//BC,AD=BC,

:.△DEFsgCF,

,DF=DE

•.•点E为AO中点，

：.DE=—AD,

2

：.DE=—BC,

2

.DF=1

,•丽一万’

：.BF=2DF=4.

故答案为4.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，线段中点的定义，证明出

△DEFsABCF是解题的关键.

18.如图，已知RtZ^ABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2百+4,点M、N分别在线段

AC、AB上，将△AMW沿直线MN折叠，使点A的对应点。恰好落在线段BC上，当4

OCM为直角三角形时，折痕MN的长为_-时|+4或加

C

-----7D

/\Z

A............VB

【分析】依据△£>"为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当/CZ)M=90°时，△

CCM是直角三角形；当NCME)=90°时，△COM是直角三角形，分别依据含30°角的

直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长.

解：分两种情况：

①如图，当NC£>M=90°时，△CDM是直角三角形，

•.,在RtZ\ABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2百+4,

.•.NC=30。，AB=£AC=^+2，

由折叠可得，NMDV=NA=60°,

：・NBDN=30°,

：.BN=­DN^—AN,

22

：.BN=-AB=^3+2,

33

:.AN=2BN=273+4

3

；NDNB=60°,

:.NANM=NDNM=60°,

...NAMN=60°,

:.AN=MN=?M.+4：

3

②如图，当NCM£>=90°时，△CQM是直角三角形,

由题可得，ZCDM=6QQ,/A=NM3N=60°,

:.NBDN=60°,NBND=3G,

：.BD=~DN=^AN,BN=MBD,

又•.•AB=E+2，

：.AN=2,BN=M，

过N作N，_L4M于H,则NAN”=30°,

.".AH=-^AN=1,HN—>f2,

由折叠可得，NAMN=NDMN=45：

.•.△MN”是等腰直角三角形，

:.HM=HN=M，

:.MN=G

故答案为：24+4或五

O

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是

解题的关键.折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

三、解答题：(本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

在试卷上作答无效)

f2x-4>0

19.解不等式组:[x+l<4(x-2)

【分析】分别解两个不等式得到x>2和x>3,然后根据同大取大确定不等式组的解集.

px-4>00

[x+l<4(x-2)②

解①得x>2,

解②得x23,

所以不等式组的解集为x23.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各

不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

20.解方程：

x+2x-l

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

解：化为整式方程得：x2-x=2x+4+x2+x-2

-x—2x+4+x-2

4x=-2

x=-0.5,

经检验x=-0.5是原方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程

转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

21.如图，△48C在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A(-4,4),8(-2,5),

C(-2,1).

(1)平移△ABC,使点C移到点G(-2,-4),画出平移后的△4SG,并写出点

A\,Bi的坐标；

(2)将aABC绕点(0,3)旋转180°,得到282c2,画出旋转后的282c2；

(3)求(2)中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长(结果保留皿).

【分析】(1)根据点C移到点G(-2,-4),可知向下平移了5个单位，分别作出A、

B、C的对应点4、Bi、G即可解决问题；

(2)根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、82,C2即可；

(3)利用勾股定理计算CC2,可得半径为2加,根据圆的周长公式计算即可.

解：(1)如图所示，则△Ai8】G为所求作的三角形，

・・・4(-4,-1),(-2,0)；

(2)如图所示，则△42a。2为所求作的三角形，

(3)点C经过的路径长：是以(0,3)为圆心，以CC2为直径的半圆，

由勾股定理得：9=“+42=4五,

.•.点C经过的路径长：£x2Ttr=2&n.

【点评】本题考查平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出对应

点解决问题，属于中考常考题型.

22.2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上

搜救，分别在A、8两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、3两点相距400〃?，

探测线与海平面的夹角分别是30°和60°,若C£＞的长是点C到海平面的最短距离.

（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；

（2）求信号发射点的深度.（结果精确到1〃?，参考数据：72^1.414,向心1.732）

?A。

.-'A

•.•

**•・♦

••»・"・•

,・

•t,.»,,-**

c

【分析】（l）易证三角形A8C的是等腰三角形，再根据30°所对直角边是斜边的一半

可求出的长，

（2）由（1）结合勾股定理即可求出CD的长.

解：（1）由图形可得NBCA=30°,

.*.C8=BA=400米，

在RtZ\CDB中又含30°角，得。B=[cB=200米，

可知，BD=^AB,

（2）由勾股定理£）C=JcB2-BD2

=V4002-20021

=200百七346米，

点C的垂直深度CD是346米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角

形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力.

23.某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆8型自行车，其中8型车单

价是A型车单价的6倍少60元.

（1）求A、8两种型号的自行车单价分别是多少元？

（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行车

的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？

【分析】（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据总价

=单价X数量结合B型车单价是A型车单价的6倍少60元，即可得出关于x、y的二元

一次方程组，解之即可得出结论:

（2）设购进8型自行车〃?辆，则购进4型自行车（130-〃?）辆，根据总价=单价X数

量结合投入购车的资金不超过5.86万元，即可得出关于机的一元一次不等式，解之取其

中的最大值即可得出结论.

解：（1）设A型自行车的单价为x元/辆，3型自行车的单价为y元/辆,

y=6x-60

根据题意得:

100x+30y=71000,

fx=260

解得:

ly=1500

答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆.

（2）设购进B型自行车机辆，则购进A型自行车（130-,〃）辆,

根据题意得:260（130-m）+1500^^58600,

解得：，*W20.

答：至多能购进B型车20辆.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是:

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出

一元一次不等式.

24.如图，在△A8C中，NACB=90°,0、。分别是边4C、AB的中点，过点C作CE〃

AB交。O的延长线于点E,连接4E.

（1）求证：四边形AECC是菱形；

（2）若四边形AECQ的面积为24,tan/BAC=3，求8c的长.

【分析】（1）由ASA证明得出对应边相等AO=CE,证出四边形AEC。

是平行四边形，即可得出四边形AECO是菱形；

（2）由菱形的性质得出AC_LEZ）,再利用三角函数解答即可.

【解答】（1）证明：•••点。是AC中点，

；.OA=OC,

"."CE//AB,

：.ZDAO=ZECO,

在△40。和△COE中，

,ZDAO=ZECO

■OA=OC，

ZAOD=ZCOE

...△AOO丝△COE(ASA),

C.AD^CE,

■JCE//AB,

，四边形AECD是平行四边形，

又,：CD是RlAABC斜边AB上的中线，

：.CD=AD,

，四边形AECQ是菱形；

(2)由(1)知，四边形AEC。是菱形，

J.ACVED,

在RtZXAOZ)中，tan/D4O=[^=tanNBAC=4，

0A4

设0£>=3x,0A—4x,

则E£)=2O£)=6x,AC=20A=Sx,由题意可得：-1-X6xX8x=24-

解得：x=],

：.0D=3,

'：0,。分别是AC,AB的中点，

是△ABC的中位线，

：.BC=2OD=6.

【点评】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等

知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键.

25.如图，是△ABC的外接圆，点。在BC边上，/BAC的平分线交。0于点。，连

接BD、CD,过点。作8c的平行线与AC的延长线相交于点P.

(1)求证：PO是。0的切线；

(2)求证：△A8£)s/\£>CP；

(3)当4B=5c%,4c=12cm时，求线段PC的长.

【分析】（1）先判断出/BAC=2/BA£>,进而判断出N8OZ）=NBAC=90°,得出产。

VOD即可得出结论；

（2）先判断出/AOB=NP,再判断出/OCP=/ABO,即可得出结论；

（3）先求出BC,再判断出BD=CD,利用勾股定理求出最后用△

2

ABDs^DCP得出比例式求解即可得出结论.

解：（1）如图，连接0D,

•・,8C是。。的直径，

：.ZBAC=90°,

TA。平分N84C

：.ZBAC=2ZBADf

ZBOD=2ZBAD,

：.ZBOD=ZBAC=90°,

•:DP〃BC,

：.ZODP=ZBOD=90°,

；.PD_LOD,

•・,。。是。。半径，

・・・尸。是。。的切线；

(2)•:PD〃BC,

：.ZACB=ZP,

•/ZACB=ZADB1

：./ADB=/P,

VZABD+ZACD=}SO°,ZACD+ZDCP=180°,

：.ZDCP=ZABDf

：.XABDsXDCP,

(3)•；3C是O。的直径,

.•.NBDC=NBAC=90°,

在Rl/XABC中，BC=VAB2+AC2=13cm,

：A£)平分N8AC,

:./BAD=NCAD,

：.ZBOD=ZCOD,

：.BD=CD,

在Rt^BCO中，BD2+CD2=B。,

：.BD=CD=^-BC=工3返,,

22

XABDSADCP,

•.,.A.B.二BD,

CDCP

1372

.5_2

2

：.CP=\i).9cm.

DP

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相

似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键.

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=or2+bx+c(〃<())与x轴交于A(-2,0)、8

(4,0)两点，与y轴交于点C,且OC=2OA.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线y="+l(%>0)与y轴交于点O,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M

记机=整，试求机的最大值及此时点「的坐标；

DM

(3)在(2)的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平