2023-2024学年广西南宁市青秀区凤岭北路中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西南宁市青秀区凤岭北路中学九年级（上）开

学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若零下2摄氏度记为-2。&则零上2摄氏度记为（）

A.-2℃B.0℃C.+2℃D.+4℃

2.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（）

A.xH—1B.xW0C.%H1D.x。2

4.%42在数轴上表示正确的是（）

B.

35

5.甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S*=2.1,

S：=3.5,S需=9,S彳=0.7,则成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，44=130。，那么NB的度数是（）

D

A.160°B.150°C.140°D.130°

7.下列计算正确的是()

347

A.Q3+Q4=a7B.Q3.Q4=a7QQ4+@3=Q7£)(a)=O

8.如图，DE是AABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB,BC于

点D,E,且AB=9,AC=6,则△AC。的周长是（）

A.10.5

B.12

C.15

D.18

9.将抛物线y=/先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是()

A.y=(%—3)2+4B.y=(%+3)24-4C.y=(%—3)2—4D.y=(%+3)2—4

10.如图，直线为=%+3分别与％轴、y轴交于点4和点C,直线%=-%+3分别与％轴、y轴

交于点B和点C,点P（/n,2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则机的最大值与最小值之差为（）

A.1B.2C.4D.6

11.据国家统计局发布的Q022年国民经济和社会发展统计公报少显示，2020年和2022年

全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元设2020年至2022年全国居民人均可支配

收入的年平均增长率为％,依题意可列方程为（）

A.3.2（1一%）2=3.7B.3.2（1+%）2=3.7

C.3.7（1一%）2=3.2D.3.7（1+%）2=3.2

12.定义一种运算：=｛才箕，则不等式（2芯+1）*（2-乃＞3的解集是（）

A.x>1或％<-B.-1<x<-C.x>1或％<-1D.%>,或》<-1

二、填空题(本大题共6小题，共12.0分)

13.V9=.

14.分解因式：a2+5a=.

15.函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k=.

16.己知一组数据6,X,3,3,5,1的众数是3和5,则这组数据的中位数是.

17.如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形.第3幅图

中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有个菱形.

◊0…

第1幅第2幅第3幅

18.如图，在边长为2的正方形4BC0中，E,F分别是BC,CD上的动

点,M，N分别是EF,4F的中点，则MN的最大值为

三、解答题(本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题6.0分)

计算：(-1)X(-4)+224-(7-5).

20.(本小题6.0分)

解分式方程：工7=上

21.(本小题10.0分)

如图，已知点E为乙4BC的边上的一点，且EF〃BC.

(1)尺规作图：作乙4BC的角平分线BM,交Er于点M(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)连接CM,若EM=BC,求证：四边形8CME是菱形.

/A

EZ-----------------

B

C

22.(本小题10.0分)

4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空

航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机

抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格).数据整理如图表：

八年级学生成绩统计图

▲人数

七年级八年级

平均数7.557.55

中位数8C

众数a7

合格率b85%

根据以上信息，解答下列问题：

(1)写出统计表中a,b,c的值；

(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；

(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义.

23.(本小题10.0分)

如图，将平行四边形ABCC的边AB延长至点E,使BE=4B,连接DE,EC,DE,交BC于点0.

(1)求证：△ABD三△BEC；

(2)连接BD,若4B0D=2NA,求证：四边形BECD是矩形.

D

24.(本小题10.0分)

如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1500m2的停车场,

将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60机，宽为407n.

(1)求通道的宽度；

(2)某公司希望用60万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价,

通过两次协商，最终以48.6万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.

—通道一

40m停车场

60m

25.(本小题10.0分)

【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将

利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调

试，请完成下列方案设计中的任务，

【知识背景】：如图，称重物时;移动秤蛇可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(Tn。+m)」=

M(a+y),其中秤盘质量克，重物质量m克，秤泥质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1

厘米，秤组与零刻线的水平距离为a厘米，秤坨与零刻线的水平距离为y厘米.

【方案设计】：目标：设计简易杆秤.设定加。=I。，M=50,最大可称重物质量为1000克,

零刻线与末刻线的距离定为50厘米.

任务一：确定，和a的值.

(1)当秤盘不放重物，秤蛇在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于I,a的方程；

(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤蛇从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于2,

a的方程；

(3)根据(1)和(2)所列方程,求出2和a的值;

任务二：确定刻线的位置.

(4)根据任务一，求y关于小的函数解析式；

(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.

秤纽杆秤示意图

26.(本小题10.0分)

(1)方法回顾

在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：

第一步添加辅助线：如图1,在△ABC中，延长DE(。、E分别是AB、AC的中点)到点尸，使得

EF=DE,连接CF；

第二步证明AADE三ACFE,再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到中位线。E与8c的关

系是;(直接填写结果)

(2)问题解决

如图2,在正方形ABCD中，E^AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若4G=3,DF=4/1，

/.GEF=90°,求GF的长.

(3)拓展研究

如图3,在四边形4BCD中，44=105。，40=120。，E为力。的中点，G、F分别为AB、CD边

上的点，若4G=3,DF=46，4GEF=90。，求GF的长.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：由零下2摄氏度记为一2国可知，零下记为"-"，零上记为“+”，

零上2摄氏度记为：+2℃.

故选：C.

根据数的正负意义即可得出结论.

本题考查了有理数的正负意义，是比较基础的题型.

2.【答案】A

【解析】解：4、图形是中心对称图形，符合题意；

8、图形不是中心对称图形，不符合题意；

C、图形不是中心对称图形，不符合题意；

。、图形不是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

根据中心对称图形的概念解答即可.

本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：•.•分式上有意义，

x+1

・,・%+1H0,

解得％H—1.

故选：A.

根据分式有意义的条件解答即可.

本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：XW2在数轴上表示为：

_I_____।_____।।_____।_____।a

-1012345

故选：C.

先在数轴上找到点2,再确定实心点还是空心点，根据大于往右画，小于往左画得结论.

本题考查了数轴上表示解集，掌握表示解集的方法是解决本题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：••一&=2.1,Si=3.5,S^=9,=0.7,

•••丁的方差最小，

成绩最稳定的是丁，

故选：D.

根据方差的意义求解即可.

本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度

越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

6.【答案】D

【解析】解：•••公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，

AC//BD,

：.NB==130°.

故选：D.

由平行线的性质，即可得到NB=乙4=130。.

本题考查平行线的性质，关键是由题意得到A0/BD.

7.【答案】B

【解析】解：力、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；

B、a3-a4=a7,正确，符合题意；

C、a4^a3=a,原计算错误，不符合题意；

D、(a3)4=a12,原计算错误，不符合题意.

故选：B.

分别根据合并同类项的法则、同底数基的乘除法则、幕的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一

判断即可.

本题考查的是同底数基的乘除法，合并同类项，募的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题

的关键.

8.【答案】C

【解析】解：「DE是△ABC的边BC的垂直平分线，

DB-DC,

ACD的周长=AD+AC+CD=AD+BD+AC=AB+AC,

vAB=9,AC=6,

ACD的周长=9+6=15,

故选：C.

由。E是△ABC的边BC的垂直平分线，可得DB=DC,则所求△4CD的周长=48+AC,再将已知

代入即可.

本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】解：将抛物线y=/先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是

y=(x-3)2+4.

故选：A.

根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可.

本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的

关键.

10.【答案】B

【解析】解：•••点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点，

•••点P在直线y=2上，如图所示，

当P为直线y=2与直线刈的交点时，加取最大值,

当P为直线y=2与直线y1的交点时，m取最小值,

y2=-x+3中令y=2,则x—1,

丫1=*+3中令了=2,则x=-1,

二wt的最大值为1,m的最小值为-1.

则m的最大值与最小值之差为：1-(一1)=2.

故选:B.

由于P的纵坐标为2,故点P在直线y=2上，要求符合题意的zn值，则P点为直线y=2与题目中两

直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得.

本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值,

由于P的纵坐标为1，故作出直线y=2有助于判断P的位置.

11.【答案】B

【解析】解：由题意得：3.2(1+%产=3.7,

故选:B.

根据2020年的人均可支配收入X(1+年平均增长率A=2022年的人均可支配收入，列出一元二次

方程即可.

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.

12.【答案】C

［解析］解：由新定义得偿"第一》或｛£［1〉；2一%,

解得x>1或x<-1

故选：C.

分2x+122-%和2x+1<2-x两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得.

此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同

小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了.

13.【答案】3

【解析】解：•••32=9,

•••A/-9-3.

故答案为：3.

根据算术平方根的意义即可得出结论.

本题考查了算术平方根的知识，能正确区分算术平方根和平方根是解题的关键.

14.【答案】a(a+5)

【解析】解：；a2+5a公有因式为a,

二原式=a(a+5),

故答案为：a(a+5).

由提公因式am+bm=m(a+b),可直接得出结论.

本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键.

15.【答案】1

【解析】解：将点(2,5)代入y=kx+3中，得5=2k+3,

解得k=l，

故答案为：1.

将点(2,5)代入函数关系式，计算可求解.

本题主要考查一次函数图象上点的特征，将点的坐标代入关系式进行计算是解题的关键.

16.【答案】4

【解析】【分析】

本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义.

先根据众数的定义求出x=5,再根据中位数的定义求解可得.

【解答】

解：•.■数据6,X,3,3,5,1的众数是3和5,

•,,%=5>

则数据为1、3、3、5、5、6,

・•・这组数据为孚=4,

故答案为：4.

17.【答案】11

【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.

第2幅图中有2x2—1=3个.

第3幅图中有2x3—1=5个.

第4幅图中有2X4-1=7个.

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.

故第九幅图中共有(2n-1)个.

当n=6时，2兀-1=2x6—1=11,

故答案为：11.

根据题意分析可得:第1幅图中有1个，第2幅图中有2x2-1=3个,第3幅图中有2x3-1=5个,

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案.

本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规

律.

18.【答案】＜7

【解析】解：如图所示，连接4E,

•••M,N分别是EF,4尸的中点，

MN是△4EF的中位线，

.-.MN=^AE,

•••四边形力BCD是正方形，4B=90°,

AE=VAB2+BE2=V4+BE2.

•••当BE最大时，4E最大，此时MN最大，

•••点E是BC上的动点，

当点E和点C重合时，BE最大,即BC的长度，

二此时ZE=V4+22=2/~2.

：.MN=；AE=卡,

MN的最大值为

故答案为：

首先证明出MN是AAEF的中位线，得出MN="4E,然后由正方形的性质和勾股定理得到4E=

VAB?+BE2=74+BE2,证明出当EE最大时，力E最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C

重合时，BE最大,即BC的长度，最后代入求解即可.

本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是

解题的关键.

19.【答案】解:原式=(―1)x(—4)+4+2

=4+2

【解析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可.

本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的顺序是解题的关键.

20.【答案】解：二=工，

x—1X

方程两边同乘x(x-1)得：2x=x—1,

移项解得：x=-l.

将x=-1代入x(x—1)片0,

X=-1是原分式方程的解.

【解析】将分式方程两边同乘x(x-1)转化为一元一次方程即可得出结论.

本题考查了分式方程的解法，其中确定最简公分母是解题关键.

21.【答案】(1)解：如图所示；

(2)证明：vEF//BC,,

EM//BC,%

vEM=BC,

四边形BCME是平行四边形，

•••EM//BC,

4EMB=乙CBM,

v8M平分N4BC,

•••乙EBM=乙CBM,

:.Z.EBM=乙EMB,

BE—EM,

.••四边形BCME是菱形.

【解析】(1)根据基本作图作N4BC的平分线BM即可；

(2)根据平行四边形的判定得到四边形BCME是平行四边形，平行线的性质得到4EMB=ZCBM,

根据角平分线的定义得到NEB"=NCBM,求得BE=EM,于是得到四边形BCME是菱形.

本题考查了作图一基本作图，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，正确地作出图形是解题的

关键.

22.【答案】解：(1)由扇形统计图可得，

a=8,b=1—20%=80%,

由频数分布直方图可得，

八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，

故中位数是c=(7+8)+2=7.5,

由上可得，a=8,b—80%,c—7.5；

(2)600x85%=510(A)，

答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；

(3)根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样(答案不唯一).

【解析】(1)根据统计图中的数据，可以写出a的值，计算出b、c的值：

(2)根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；

(3)根据中位数、众数的的意义解答即可.

本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正

确解答的前提.

23.【答案】证明：(1)在平行四边形4BCD中，AD=BC,AB=CD,AB//CD,则BE〃CD.

XvAB=BE,

••BE-DC,

四边形BECD为平行四边形，

BD=EC.

.•.在△•。与小BEC中，

AB=BE

BD=EC,

AD=BC

.,•△ABD三△BEC(SSS)；

(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，贝UOO=OE,OC=OB.

•••四边形力BCD为平行四边形，

.♦.乙4=4BCD,即乙4=NOCD.

又乙BOD=2乙4,乙BOD=AOCD+乙ODC,

Z.OCD=Z.ODC,

••OC—OD,

OC+OB=OD+OE,即BC=ED,

平行四边形BECD为矩形.

【解析】(1)由平行四边形4BCD,易得四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等

即可；

(2)由(1),易证得BC=ED,即可证得四边形BECD是矩形.

本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以

及三角形的外角性质等知识.注意证得四边形BECO为平行四边形是关键.

24.【答案】解：(1)设通道宽度为xm,

依题意得(60-2%)(40-2x)=1500,即/-5Ox+225=0

解得与=5,x2=45(舍去)

答：通道的宽度为5m.

(2)设每次降价的百分率为x,

依题意得60(1-x)2=48.6

解得=0.1,x2=1.9(舍去)

答：每次降价的百分率为10%.

【解析】(1)设通道的宽度为x米.由题意(60-2x)(40-2x)=1500,解方程即可；

(2)可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金

额的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程.

本题考查一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题，

属于中考常考题型.

25.【答案】解：(1)由题意得：m=0,y=0,

vm0=10,M=50,

:.10/=50a,

:.I=5a；

(2)由题意得：m=1000,y=50,

(10+1000)Z=50(Q+50),

A101/-5a=250；

⑶由⑴⑵可得：5a=25。'

解得：忆眼

(4)由(3)可知：1=2.5,a=0.5,

・•・2.5(10+m)=50(0.54-y),

1

-'-y=2dm-'

(5)由(4)可知:y=

.,.当m=0时，则有y=0；当m=100时，则有y=5；当m=200时，则有y=10；当m=300时，

则有y=15；当m=400时，则有y=20；当m=500时，则有y=25；当m=600时，则有y=30；

当m=70时，则有y=35；当m=800时，则有y=40；当m=