2023-2024学年上海市长宁区延安中学高三（上）开学数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年上海市长宁区延安中学高三(上)开学数学试卷

(9月份)

一、单选题(本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

11

1.若X,y为实数，则‘^<5”是“Iog2x>log2y”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()

,1

A.y=InxB.y=tanxC.y=%3+xD.y=--

3.函数/(x)=sin2x图象上存在两点P(s,t),Q(r,t)(£>0)满足r-s=2则下列结论成立

的是()

A/s+*MB/S+5=?

C/sY)=TD./(sY)=-?

4.已知数列｛an｝满足：对任意的neN*,总存在meN*,使得则称｛5｝为“回旋

数列”.以下结论中正确的个数是()

①若%=2023n,则5｝为“回旋数列”；

②设｛aj为等比数列，且公比q为有理数，则｛册｝为“回旋数列”；

③设｛5｝为等差数列，当即=1,d<0时，若｛册｝为“回旋数列"，则d=-l；

④若｛即｝为“回旋数列”，则对任意neN*,总存在meN*,使得的,=5..

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(本大题共12小题，共54.0分)

5.集合M=｛x|x-4<l,x€N｝,则M中元素的个数为.

6.已知随机变量X〜N(l,4),若P(X<a+3)=P(X>2a-4),则实数a的值为.

7.若sing+a)=g,则sina+cosa=.

8.若，O9Q(2X)=4,则x=.

9.已知直线，i：2ax+y+1=0与直线(a-l)x-ay+2=0垂直，则实数a的值为

10.已知复数名=。+仅，其中QE｛-2,0,1｝,b€｛0,1,4,9｝,则复数z=Q+bi是纯虚数的概

率为.

11.在(3%-3尸的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,则展开式中的常数

项为.

12.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安

排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿

者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为.

13.在△ABC中，E为ZC的中点，D是线段BE上的动点，若而=x^+y而，则的最小值

为.

14.已知双曲线C：盘一，=l(a>0/>0)的左、右焦点分别为F「尸2.点4在C上，点B在y

轴上，F^A1F\B，F^A=一号布，则C的离心率为.

15.设数列满足册+1=2(|an|-l),neN*,若存在常数M>0,使得对于任意的nGN*,

恒有|dn|WM,则由的取值范围是.

16.若xe*-1,Iny—^=1,则xy=.

三、解答题(本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题14.0分)

己知数歹(]｛与｝、｛%｝满足4%i+i=3an-bn+t,4bn+1=3bn-an-t,teR,neN+，且a1=1,

瓦=0.

(1)求证:｛即+%｝是等比数列；

(2)若｛a.｝是递增数列，求实数t的取值范围.

18.(本小题14.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平

面PAD_L平面4BCD,AB1PD.

(1)求证：平行四边形4BCD为矩形；

(2)若E为侧棱P。的中点，且平面4CE与平面4BP所成角的余弦值为匚，求点B到平面4CE的

4

距离.

p

19.(本小题14.0分)

近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的

生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，

不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区

市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计

年龄不超过45岁的市民401050

年龄超过45岁的市民203050

合计6040100

(1)是否有99.9?的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？

(2)M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从4,B两个买菜平台随机选择其中一

个下单买菜.如果周一选择4平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率也如果周一选择B平

台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率为5求张无忌周二选择B平台买菜的概率；

(3)用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数

为X事件"X=k”的概率为P(X=k),求使P(X=k)取得最大值的k的值.

2

参考公式：心…黑■编…，其中…+b+c+d

P(K2>to)0.10.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

20.(本小题18.0分)

已知公(一2,0),4(2,0)分别是椭圆C：卷+5=1(£1>6>0)的左、右顶点，过必作两条互

相垂直的直线A/,分别交椭圆C于M,N两点，△AM4面积的最大值为2/7.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线42M与4N交于点P,直线4"与交于点Q.

①求直线PQ的方程；

②记AMNAi，的面积分别为工，S2,求职的最大值.

21.(本小题18.0分)

设M是由满足下列条件的函数/(%)构成的集合：“①方程/(x)-x=0有实数根；②函数f(x)

的导数f'(x)满足0<f'(x)<1".

(I)判断函数f(x)=5+竿是否是集合M中的元素，并说明理由；

(II)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为。，则对于任意[m,n]UD,都

存在&6使得等式/'(n)-/(?n)=(n-m)r(x())成立"，试用这一性质证明：方程

/(X)-x=0只有一个实数根；

(III)设/是方程f(x)—x=0的实数根,求证:对于/"(X)定义域中任意的%2、%3,当%-xj<1>

且|尤3—刈|<1时，l/(x3)-/(x2)|<2.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：当(<3时，则y<x<0或x>y>0,当y<x<0时，％V0,y>0,log2%无意义,

故充分性不成立，

当log?%>log2y时，则％>y>0,则;v；，则必要性成立，

xy

故“；<!”是，Og2X>10g2y”的必要不充分条件.

xy

故选:B.

根据充分条件、必要条件的定义，即可可解.

本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：y=1nx为对数函数，不为奇函数，故A错误；

y=tanx为奇函数，在(卜兀一兀+1)(k6Z)内为增函数，故8错误；

、=炉+》为奇函数，且y'=3/+l>0,可得y=/+》为增函数，故C正确；

y=-［为奇函数，在(一8,0),(0,+8)内为增函数，故。错误.

故选：C.

由常见函数的奇偶性和单调性可得结论.

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由题知/(%)=sin2x,

・•・T=nfvP(s,t),Q(r,t)均在f(%)=sin2%上,

:.sin2s=sin2r=t>0,

7T,7TT

vr-s=76<-4=4

・•・0V2r—2sV

故有：2r+2s=Jr+2/CTT,kEZ9

2r+2s=TT+2kn

两等式联立冗，

r-s=-

解得2s=W+/C7T,k€Z,

•・•sin2s=t>0,

***2s=§+2k]T[,hEZ,

••・f(s+勺=sin2(s+.)=sin(2s+勺=sin(g+g+2/CTT)=

ooooo乙

•••f(s-弓)=sin2(s-3)=Sin(2s*)=sing+2kn-))=0,

综上选项8正确.

故选：B.

根据P(s,t),Q(r,t)(t>0)在/(x)=sin2x上，可得出2r+2s=兀+2kn,keZ,再联立r-s屋,

得到s的值，根据t>0缩小s的取值范围，进而代入f(s+9f(s-今求值即可.

本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题.

4.【答案】B

【解析】解：对于①：若厮=2023n,

可得%=2023(1+2+3+…+n)=2023x

由Sn=am,

可得2023x磅#=2023m,

取m=吗工即可，

此时｛6｝为“回旋数列"，故①正确；

对于②：已知｛5｝为等比数列，且公比q为有理数，

’当q—■1口寸，S九--71Q],Qm=Qj.，

由%=Q/n，

可得71al=

所以当九=2时，九%=%明显不成立，

故｛an｝不是“回旋数列"，故②错误；

对于③：因为｛即｝是等差数列，

所以=1+(m—l)d,S九=n+

因为数列｛即｝是“回旋数列”，

所以1+(m—l)d=n+则J】d,

整理得m=唾+迎m+i,

a2

因为父展^为非负整数，

所以要保证守恒为整数，

故d为所有非负整数的公约数，且d<0,所以d=-L故③正确；

对于④：由①可得当即=2023n时，{斯}为“回旋数列”，

可得=2023x2,Sm=2023x皿7),

显然不存在m,使得叁=02=2023x2,故④错误.

综上得结论正确的有①③.

故选：B.

由题意，利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合所给“回旋数列”的定义，对每

项进行分析验证，进而可解.

本题考查等差数列和等比数列性质的应用，考查了逻辑推理和分析问题解决问题的能力.

5.【答案】5

【解析】解：x<5.

又xeN,

M={0,1,2,3,4},所以M中元素的个数为5.

故答案为：5.

解不等式求出M={0,123,4},得到答案.

本题考查集合的含义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

6.【答案】1

【解析】解：因为随机变量X〜N(l,4),若P(X<a+3)=P(X>2a-4),

则X=a+3与X=2a-4关于X=1对称，

即a+3+2a—4=2,

则a=1.

故答案为：1.

根据正态分布对称性可解.

本题考查正态分布对称性，属于基础题.

7.【答案】?

【解析】解：・・・sinC+a)=9，

・•・—y/~2cosa+,—<2si.na=1

・•・sina+cosa=—•

故答案为：?

直接利用两角和的正弦公式求解.

本题主要考查了两角和的正弦公式，属于基础题.

8.【答案】2

【解析】解：由己知得(C)4=2x,.•./=2x,

又Tx>0,x=2.

故答案为：2.

根据指数和对数的互化公式建立方程，解方程即可.

本题考查指数和对数的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.【答案】a=0或a=|

【解析】解：由于"_L12,所以2ax(a-1)+1x(-a)=0,

即：2a2—3a=a(2a—3)=0,解得a=0或a=|.

故答案为：a=0或a=|.

根据直线垂直列方程，由此求得a的值.

本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题.

【答案】

10.4j

【解析】解：在2=。+尻中,aw{—2,0,1},b6{0,1,4,9),

•.•复数为纯虚数，

・•・Q=0,b丰0,

131

X=

.••复数z=a+bi是纯虚数的概率为:3-4-4-

故答案为：

4

由纯虚数得出a,b的取值，即可求出复数z=a+bi是纯虚数的概率.

本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题.

11.【答案】135

【解析】解：在(3x-/)"的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为2fl+2"=128,n=6,

则展开式中的通项公式为.+1=d-36-r-(-l)r-X6-T>

令6-与=0,求得r=4,可得常数项为*32=135,

故答案为：135.

由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.

12.【答案】1

【解析】，解：根据题意，先将四人分为1,1,2三组共有废=6种分法，

再将三组分到三个场地共有用=6种分法，

则四名志愿者去三个场地共有6X6=36种情况，

又甲、乙两名志愿者在同一个场地服务共有废•属=6种情况，

则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为白=i

366

故答案为："

根据题意先将四人分为1,1,2三组，再计算出甲乙在同一个场地的情况，利用古典概型可解.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

13.【答案】9

【解析】解：因为E为ZC的中点，。是线段BE上的动点，

AD=xAB+y^AC=x^AB+2y荏，

由B,E,。三点共线可得x+2y=1,x>0,y>0,

则==5+=9,

已经修改，谢谢当且仅当％=y=时取等号.

故答案为：9.

由已知结合向量共线定理可求得x+2y=1,然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解.

本题主要考查了向量共线定理及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

14.【答案】T

【解析】解:(法一)如图，设Fi(-c,O),F2(C,0),B(O,n),

设A(x,y),则F2G=(x—c,y),F2B=(-c,n)»

2

x-c=zcr

又引=一|窃，则2，可得/6c,一弓?n),

y=一”

又瓦彳J,瓦万，且瓦？=©c,-|n),用耳=(c,7i),

22

则无？-F1B=|c—|n=0,化简得声=4c2.

又点4在C上，

则学一部=1,整理可得答一驾=1,

a2b29a29V

代n2=4c2,可得与一塔=9,即25e2-袈=9,

解得e2=5或家舍去),

故e=等

(法二)由同="而，得鬻=],

设|碗|=2t,|取|=3t,由对称性可得|窗|=3t，

则|瓯|=2t+2a,\AB\=5t，

设“4尸2=。,则s仇0=卷=|,

所以cos8='=2t解得t=a,

所以|丽I=2t+2a=4a,\AF^\=2a，

在44F#2中，由余弦定理可得cos。=16a21笠4c2=4

16az5

即5c2=9a2,则6=等

故答案为：一.

(法一)设Fi(-c,0),『2(60)，B(0,n),根据题意可得点4的坐标,进一步得到瓦了=(1c,-|n),^=

(c,n),再由瓦五,瓦后，可得M=4C2.结合点4在双曲线上，可得解；

(法二)易知黑=|,设|而|=2t,|荻|=3t，"和=0,解三角形可知5c2=9a2,进而得

解.

本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

15.【答案】[一2,2]

【解析】【分析】

本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.

由题意，存在常数M>0,使得对于任意的n6N*,恒有la"<M,可得一M<an<M,得—M<

WM,即可得出结果.

【解答】

解：由题意，存在常数M>0,使得对于任意的zieN*,恒有

所以—MSanWM,①

•1'lan+ll—M,

.,.得-M<an+1<M,

又M+i=2(|On|-1)

所以一M式2(|即|-1)WM；

即一2+1W|斯|W?+1,②

由①②，可得：M=2,

又应|<M

所以％的取值范围是[-2,2].

故答案为：[—2,2].

16.【答案】e

【解析】解：由xe*=l,两边取以e为底的对数，得无+伍%=》1=0,

由/ny_]=l,令;=t,则y=(,

所以"y-]=\n^-t=l-lnt-t=l,即一Mt-t=0,

所以1nt+t=0,设/(x)=x+/nx,则/''(x)=1+：>0,

所以/(%)=%+仇工在(0,+8)上单调递增，

由％+Inx=0以及bit+t=0,则％=3

由y=(即y=:，贝ky=e.

故答案为：e.

由xex=l,两边取以e为底的对数，得x+mx=O,由，ny-j=l,令1=t,则y=：,从而可得

—Int—t=0,则％=3从而得出答案.

本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是中档题.

17.【答案】证明：(1)由题可知：4bH+i=3bn—an—t,4an+1=3an—bn+3

故可得玛+i+bn+1=1(an+bn),又知+瓦=1W0,.•・Qn+8nH0,

•••"1:产=所以｛斯+为｝是首项为1,公比为:的等比数列.

(2)解：方法一：

•・•｛%J是递增数列，

an+1-an>。对任意riGN+恒成立，

・・,4册+i=3an-bn+3・•・4(an+1-an)=-(an+bn)+3

则一(a九+bn)4-1>。对任意九EN+恒成立，

即t>Qn+匕对任意riGN+恒成立，

由⑴知即+%=(犷T,

t>C)n-i对任意ne%恒成立，

因为当n=1时取得最大值，且最大值为1,

所以t>l,即实数t的取值范围为(1,+8).

方法二：

心刎-吃一熬；得4(限1-4+1)=4(an-%)+23

-5an-"n十0

b

即-n+!=an-bn+^t,又如一瓦=1,

故数列｛即-bn｝为首项1,公差齐的等差数列，

所以与一匕=1+铝3

又由(1)知％j+bn=G)f所以an=弓)"+g+1(n_1),

因为｛即｝是递增数列，所以即+i>的对任意nGN+恒成立.

所以w)"+1+^+>(：)n+1+^(n-l),

所以一弓尸+1+3>0,所以t>©尸t,

因为当71=1时弓)吁1取得最大值，且最大值为1,

所以t>l,即实数t的取值范围为(1,+8).

【解析】(1)根据已知条件，求得an+i+%+i与0n+%的关系,即可证明;

(2)方法一：由｛即｝的单调性可判断即+1-即>0,结合已知条件，将问题转化为t>an+b"对任

意neN+恒成立，由(1)中所求册+垢，即可求得参数范围；

方法二：对已知条件中的两个递推公式作差，求得an-bn,结合(1)中所求an+bn,即可求得出；

再根据其单调性，即可求得参数范围.

本题主要考查数列递推式，考查转化能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)证明：取4D中点M,并连接PM,由APAD为正三角形，可知PM14D,

又平面PAD，平面4BCD,平面PADn平面4BCD=AD,PMu平面PAC,

PM，平面ABCD,

vABu平面4BC0,PM1AB,

XvABLPD,PM,PDu平面PAD,PMCPD=P,

•••ABI平面PAD,又ADu平面P/W,AB1.4。，

二平行四边形力BCD为矩形.

(2)如图，以4为原点，4B为x轴，40为y轴，过4点所在直线与平面4BCD垂直的直线为z轴，建立

空间直角坐标系，设48=t>0,

则4(0,0,0),B(t,0,0),C(t,2,0),P(0,l,73).E(0,|,?)，

AB=(t,0,0),而=(0,1,0,AC=(t,2,0),荏=(0,1,^).

设平面ACE的法向量记=

(n-A^C=txr+2yl=0

则L-T7?3y/~3c，取％1=2,则元=(2,-

(n-AE=-y1+—z1=O

设平面48P的法向量沅=(》2，y2，Z2)，

则m=g=禽取Z2=l,则沅=(O,-C1),

(n-AP=丫2+V3Z2=0

.—一1.mn..2ct।V-6

由|cos<m,n>|=|而而|=丁,解得t=i,

则平面4CE的法向量记=(2,—AB=(1,0,0).

・・•点B到平面4CE的距离为嗜1=-L=£2.

|n|V82

【解析】⑴取4D中点M，连接PM,由正三角形、面面垂直的性质易得PM1面4BCD,再由线面

垂直的性质及判定证4B即可得结论；

(2)构建空间直角坐标系，设=t>0并求面ACE、面4BP的法向量，结合面面角的余弦值求参

数，应用向量法求点面距.

本题考查了利用空间向量求点到平面的距离，考查了转化思想，属中档题.

19.【答案】解：(1)假设/：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，

由题竟可得K2-100(40x30-10x20)2_10°〜1A£7、1CA2a

田超意‘借'长一(40+10)x(20+30)x(40+20)x(10+30)-T〜白⑨>私828,

则假设不成立，

所以有99.9%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.

(2)记事件4张无忌周一选择4平台买菜；事件B：张无忌周二选择B平台买菜，

则P(4)=P口)=：,P(BH)=1-1=|,P(B|Z)=W，

由全概率公式可得P(B)=P⑷♦P(B⑷+户/)-P(B|1)=Jx1+|x|=^,

乙0LtoJU

因此，张无忌周二选择B平台买菜的概率为差.

(3)由题意可知，抽取的20名市民，喜欢网上买菜的市民人数X服从二项分布，

且喜欢上网买菜的频率为盘；=0.6,则X〜8(20,0.6)，

且P(X=k)=C%-0.6k•(1-0.6)2°-fc=C^,-0.6k-0.420-k,k=0,1,2…，20,

语,=P(X=k)=%0.6〃9.420-"=砥鼠X。6"T.060.42。-〃

以一P(X=A-1)-C2o-O.6fc-1O.421-A—湍6k-10.420-ft0.4

320—k60—3/c.

=--：—=—,k=n0,1,2o•••,20,

若t>l,即P(X=k)>P(X=k-1),即^^一1=^^>0,解得0<k<12,

Z.KZ.K

若t<1,即P(X=k)>P(X=I{-1),即当萨-1=笥萨<0,解得k<0或k>12,所以当k=

12时，P(X=k)最大，故k的值为12.

【解析】(1)根据题意，计算K2,即可得到结果；

(2)根据题意，由全概率公式，代入计算，即可得到结果；

(3)根据题意，由二项分布的概率计算公式得到P(X=k)的表达式，然后计算，即可得到结果.

本题考查离散型随机变量的分布列，考查独立性检验，考查条件概率，是中档题.

20.【答案】解：(1)由题意可得a=2,且ab=2/7,

解得Q=2,b=\T~2,

所以椭圆C的方程为1+4=1.

42

(2)①设MQi，yi),N(无2，丫2)，则直线42M的方程为y=含0-2),

因为直线4N与直线41M垂直，

所以直线4N的方程为y=-罗。+2),

又因为比+里=1，

42

所以庄=一单_=-学1=工

x-2x1-4xj-42

所以％=-6,

所以直线PQ的方程为％=-6.

②设直线4M：x=ty—2,

（x=ty-2

联立/y2得（严+2）y2-4ty=0,

-+---1

U2

所以％=彘,

同理，可得为