2023-2024学年甘肃省武威市四校联考高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省武威市四校联考高三（上）开学数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合“={x|log2X<3},N={x|x>—1},则MnN=（）

A.（-1,8）B.（0,8）C.（-1,6）D.（0,6）

2.已知i是虚数单位，若Z]=2+i,z2=1+i,则2=Zi•5在复平面内的对应点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.使“a<b”成立的一个充分不必要条件是（）

A.VxG（0,1],a<b+xB.VxG（0,1],a+x<b

C.G[0,1],a<b+xD.G[0,1]>a+x<b

4.已知图1对应的函数为y=/（x）,则图2对应的函数是（）

C.y=-/(-x)D.

5.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点4在C上，点B（4,0）,若?|=|8?|,则4B的中点到y

轴的距离是（）

A.2B.2V-2C.3D.3<2

6.已知函数/'（X）=e工-ax+b,g（x）=/一%.若曲线y=/（乃和y=g（%）在公共点4（1,0）

处有相同的切线，则a,b的值分别为（）

A.e-1,-1B.-1,e-1C.e,—1D.-1,e

7.如图所示的“数字塔”有如下规律：每一层最左与最右的数字均为3,除此3

33

之外每个数字均为两肩的数字之积，则该‘'数字塔"前7层的所有数字之积最393

接近（参考数据：匈3«0.477）（）32727

A.1O50B.1O60C.1O70D.1O80

8.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB,乙4cp=90。，PC+AC=4,则

三棱锥P-ABC外接球的表面积的最小值为（）

A327r0647r「807r

一D半

A.—7—D.——7V.7

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.若a>0>b>c,则下列结论正确的是（）

B.*>c2a

C-cD.a-c22j（a-b）S-c）

10.若一组样本数据看,&，…，X10的平均数为［G#0），标准差为S,另一组样本数据Xu，

与2,…，X20的平均数为31，标准差为S.两组数据合成一组新数据修，X2,•••,%10,xn./2,

…，X2。，新数据的平均数为亍，标准差为S',则（）

A.y>2xB.y=2%C.s'>SD.s'=S

11.已知函数f（x）=2sin2x-3sin|x|+1,则（）

A.f（x）是偶函数B./（乃在区间（一不0）上单调递增

C./（x）在［一%汨上有4个零点D.f（尤）的值域是［0,6］

12.设直线，：、=/^+3"€/?）与圆。：x2+y2=4,则下列结论正确的为（）

A」可能将C的周长平分

B.若圆C上存在两个点到直线，的距离为1,则k的取值范围为（-2/20）U（0,2/2）

C.若直线，与圆C交于A,B两点，则△ABC面积的最大值为2

D.若直线I与圆C交于4B两点，则4B中点M的轨迹方程为/+（y-|）2=*

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为16兀，则该圆柱的体积为.

14.已知向量力=（-2,cosa）,b=（l,sina）.且为〃B，则2c：学^3=-

15.干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：

天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，

把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天

干开始循环使用.己知2023年是癸卯年，则138+2年以后是年.

16.已知。为坐标原点，&,尸2为椭圆C：捻+，=l（a>b>0）的左右焦点，|&尸2|=6,

点P是位于椭圆C上第一象限的一点，点Q是以PF2为底的等腰三角形片PF2内切圆的圆心，过

0作1PQ于点M,|OM|=1,则椭圆的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知等差数列｛即｝的前几项和为无，现给出下列三个条件：①3a2+。4=64；②$5=100;

③S7=5a$+16.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)若数列｛砥｝满足d=3,%->2)，设数列｛三｝的前几项和为〃，求证:1<Tn<

DnJ

1

21

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

18.(本小题12.0分)

在中，a,b,c分别是角4,B,C所对的边，且满足tcmA：tanB：tanC=1：2：3.

(1)求角4的大小；

(2)若△ABC的面积为6,求b的值.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，四边形ABCD是矩形，△PAD是正三角形，且平面PA。1平面

ABCD,AB=1,。为棱AD的中点，E为棱PB的中点.

⑴求证：OE〃平面PCD；

(2)若直线PD与平面OCE所成角的正弦值为空，求四棱锥P-ABCD的体积.

8

20.(本小题12.0分)

现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢k(卜>1次€/7*)局，谁

便赢得全部奖金a元,假设每局甲赢的概率为p(0<p<1),乙赢的概率为l-p,且每场比赛

相互独立.在甲赢了m(m<k)局，乙赢了n(n<k)局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？

评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P用「乙分

配奖金.

(1)若％=3,m=2,n=1,p=^,求P甲：「乙；

(2)记事件4为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k=4,m=2,n=2时，比

赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，(p),并判断当今Wp<l时，事件4是否为小概率事

件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06,则称该随机事件为小概率事件.

21.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：捻-《=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为居，F2,

C的离心率为2,直线I过尸2与C交于M,N两点，当|。"|=|OFz|时，AMF/z的面积为3.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知M,N都在C的右支上，设/的斜率为rn.

①求实数m的取值范围；

②是否存在实数m，使得NMON为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明

理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=%2+axlnx(a6R).

(1)若/(%)在区间(1,+8)上单调递增，求Q的取值范围；

(2)若a=l,证明：/(%)>x-e~x.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:log2x<3,

贝/。空<，。死23,解得0<X<23=8,

则M={x|log2x<3}={x|0<%<8},

vN—{x\x>—1},

:.MCN=(0,8).

故选:B.

根据对数函数的单调性与定义域得出集合M,即可根据集合的交集运算得出答案.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析[解：由Z]=2+3z2=1+i,得Z2=l—i，

则z=zr-z2—(2+i)(l—i)=3—i.

z在复平面内的对应点的坐标为：(3,-1),位于第四象限.

故选：D.

由Z2求出Z2,然后把Z1，石，代入Z=Z「Z2,利用复数代数形式的乘法运算化简，求出Z在复平面

内的对应点的坐标，则答案可求.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：对于4,若Vx6(0,1],a<b+x,当a=b时，a=b<b+x成立，

所以“Vxe(0,l],a<b+x"不能推出“a<b”,4不满足条件；

对于B,Vxe(0,1],a+x<b,则。<。+苫<8,即a<b,充分性成立，

所以“Vxe(0,1],a+x<b"="a<b",

若a<b,则Vxe(0,1],不妨取a=l,b-1.2,x=0,5,则a+x>b,必要性不成立，

所以“Vx6(0,1].a<b+/'是"a<b”的充分不必要条件，B满足条件；

对于C,若a<b,则使得a<bWb+x,即a<b+x,

即"a<b"="mxC[0,1],a<b+x",

所以“mx6[0,1],a<b+x”是“a<b”的充分条件，C不满足条件；

对于。，若a+x<b,则aWa+xWb,即a<b,当且仅当x=0时，等号成立,

所以“mx6[0,1],a+xWb”不能推出“a<b"，D不满足条件.

故选：B.

根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：根据函数图象知，当XW0时，所求函数图象与己知函数相同，

当x>0时，所求函数图象与x<0时图象关于y轴对称，

即所求函数为偶函数且x<。时与y=f(x)相同，故AC不符合要求，

当XW0时，y=/(-|x|)=/"(%),y=/(|x|)=/(-%),故。正确，B错误.

故选：D.

根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且x40时两函数解析式相同，即可得解.

本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解:由题意得,F(l,0),则|4F|=\BF\=3,

所以，由抛物线的定义得点A到准线x=-1的距离为3,

所以点4的横坐标为-1+3=2,

不妨设点4在x轴上方，代入抛物线方程得，力(2,21力，

所以A8的中点坐标为(3,「)，至0轴的距离是3.

故选：C.

根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点4的横坐标，进而求得点4坐标，即可得

到答案.

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由9(%)=%2一%，得g(%)=2%-1,则g(l)=o,gf(l)=1,

由/(%)=—ax4-6,得/*'(久)=ex—a,

•.,曲线y=/"0)和了=g(x)在公共点4(1,0)处有相同的切线,

))二二：；上。,解得｛；二「

故选:A.

由g(x)=--x,分别求得g(l)与g'(l),再由题意可得匕£?二：求解得答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题.

7.【答案】B

【解析】解：根据题意，“数字塔”中第n行第i个数均为33T的形式，

该"数字塔"前7层的所有数字之积3附-1x(32-1X3k2-2)X....X(3卜7-1x3k"2x..x3k7-7)=

3^1—1+(“2—1+七2—2)+…+(17—1+〃7—2+…+上7—7)

根据指数运算可知，则的-i按原位置排列可以构成杨辉三角，

如图，

1

II

121

1331

14641

15101051

则可得以_i为二项式系数，

则第n行数字的和为二项式系数之和等于2时1，

所以，前7层的所有数字之和2。+2】+..+26=27-1,

该“数字塔”前7层的所有数字之积7=327-1，

则匈7=0327T=(27-1)匈3«60.579，则T®1060.

故选:B.

根据题意，分析可知第n行第i个数3kz.的指数为二项式系数，第n行数字的指数之和为二项式系

数之和等于2-1,利用等比数列求和得该“数字塔”前7层的所有数字之积7=32'T,利用对数

运算进行计算估计.

本题考查合情推理的应用，涉及等比数列的性质，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：如图所示，

由题意可得，PA=PB,AC=BC,PC=PC,：.XPCA三APCB,

则4PCA=NPCB,V.Z.ACP=90°,AZ.BCP=90°,

即PCJ.4C,PC1BC.

X4CCIBC=C,AC,BCu平面ABC,PC_L平面ABC.

设4B=AC=BC=a(0<a<4),则PC=4—a,

取正△ABC的外心为O',三棱锥P-力BC外接球的球心。，连接。0',

则。0'JL平面力BC,

设底面外接圆的半径为r，得r==?200'="C=2—多

2sm60322

・•・再设三棱锥P-4BC外接球的半径为R,

2

则R-Jja+(2-2)2=J-La2-2a+4-

当。=一号=半时，R有最小值为=

.•・三棱锥P-ABC外接球表面积的最小值为47rx(号¥=等.

故选：B.

证明△PCA=△PCB,从而得到NBCP=90°,得到PC1平面ABC,设48=AC=BC=a(0<a<

4),正△ABC的外心为。'，三棱锥P—4BC外接球的球心。，连接。0',先求得底面4BC外接圆的

半径r,再由三棱锥P-ABC外接球的半径R=J/+(竿)2求解.

本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：a>0>b>c,

/.h-c>0,he>0,

,.一=华1>0,即经?故A正确;

cbbecb

不妨取Q=l,b=-2,c=-3,b2a=(-2)2=4,c2a=(-3)2=9,显然4<9,故8错误；

va>0>Z)>c,

••・c—bV0,a—c>0f

••.p—2=需秒>°，即生故C正确；

a—ccc(a—c)a—cc

va>0>6>C,

a—c>0,a—b>0,h—c>0,a—c—2A/(a—b)(b—c)=(a—b)+(b—c)—

2y/(a-b)(b—c)=(Va-b—y/b—c')2>0,

a-c>2y/(a—b)(b-c),D正确.

故选:ACD.

根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：对于选项A,B,因为」=乱+>；0”+%3)=xii+x嘴…+和,

所以％1+不■*---hx10=10%,xn4-x12H----1-x2o=30%，

所以亍=勺+外+…+切。+打1+勺2+…+乃2。=遥+30]=3故选项A错误，选项8正确；

/2020

22222

对于选项C,D,10s=Qi—%)+(%2—%)+…+(%10—%)=*+者4---Fxf0—10%,

22

所以好+慰H---卜%10=10s+10%,

同理可得10s?=*1+*2+…+熠0-10x(3x)2-哈+好2+…+熠0-90/,

2

所以在1+xf2+…+^20=10s+90/,又因为％W0，

22222

所以s'2=4X[(勺-y)+(x2-y)+■■■+(x10-y)+(xn-y)+(x12-y)+•-•+(x20-

y)2]

=4x(婢+超■1---xio+xii+xi2+…+x2o—20y2)=-Lx[10s2+10x2+10s2+90x2-

20x(2x)2]=s2+x2>s2,

即s'>s,故选项C正确，选项。错误.

故选：BC.

利用平均值、方差公式，根据样本数据的均值、标准差求新数据的均值和方差即可.

本题考查平均数、标准差的运算，考查平均数、标准差的性质、运算法则等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：对于4选项，函数y=/(x)的定义域为R,

且/(—x)=2sin2(—x)—3sin\—x|+1=2sin2x-3sin|x|+1=/(x),

所以函数y=f(x)是偶函数，故4选项正确；

对于B选项，当％6(0,力时，0<sinx<容,/(%)=Zsi/x—3s讥x+1=2(sinx—,)2—

=sinx,则te(O,苧)，由于函数y=2(t—令2一2在te(0,殍)时单调递减，

函数t=sinx在xe(0,今时单调递增，所以函数y=/(x)在区间(0币上单调递减，

故函数y=/(乃在区间(一：,0)上单调递增，故8选项正确；

1

对于C选项，当％G[0,兀]时，由f(x)=2sin2x-3sinx+1=0,得sinx=-^sinx=1,

所以x屋或x=3或x=：,所以偶函数y=/(x)在[一兀,扪上有6个零点，故C选项错误；

对于D选项，当x€[0,+8)时，f(x)=2sin2x—3sinx+1=2(sinx—|)2—

因为一lWsinxWl,所以当sinx=]时，f(x)min=当sinx=-l时，/(x)max=6.

由于函数y=/(x)是偶函数，因此，函数y=/(x)的值域为[一",6],故。选项错误.

故选:AB.

根据偶函数的定义、复合函数的单调性、零点的定义以及复合函数的值域，可得答案.

本题主要考查了正弦函数的单调性，奇偶性，单调性的判断，还考查了函数零点个数的判断，属

于中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：对于4若直线/将圆C的周长平分，则直线/过原点，此时直线/的斜率不存在，4错

误；

对于B,若圆C上存在两个点到直线，的距离为1,则C到直线I的距离d满足l<d<3,

3

所以1<]一,2<3,解得一2，2<k<0或0<k<2/2，8正确；

Jl+fc

1

对于C,S448c=21c•|CB|•sinZ_4CB=2sinZ.ACB,

当N4CB=90。时，△ABC的面积有最大值2,C正确；

对于D,易知直线/经过定点P(0,3),所以。MLPM,

所以M点的轨迹以。P为直径的圆，

,39.(%2+y2=44

其方程为+(y-弓)2=[,又因为M点在圆c内，由,2,/3、29，解得y=m，

z4(%+(y-2)=4

所以M点的轨迹方程为/+(y—|)2=*(0<y<I),。错误.

故选：BC.

根据圆心在直线上判断4,根据直线与圆的位置关系判断B,根据三角形面积公式判断C,根据儿

何法求出点M的轨迹方程即可判断D.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题.

13.【答案】167r

【解析】解：根据题意，设圆柱底面的半径为R,高为八，

则有爆孔6/解得忆：

所以圆柱的体积V=nR2h=167r.

故答案为：16兀.

根据题意，设圆柱底面的半径为R,高为九，分析可得关于R、h的方程组，解可得R、h的值，计

算可得答案.

本题考查圆柱的体积计算，涉及圆柱的侧面积公式，属于基础题.

14.1答案］—表

【解析】解：因为有〃3

所以-2sina-cosa=0,

所以tana=—g,

sin2a_2sinacosa_2tana_-1_4

所以2cos2a+35cos2a+3sin2a5+3£an2a5+3x/23,

故答案为：-之.

由已知结合向量平行的坐标表示得至Utma=-I'然后由曲=5篇:黑Z=缶求解•

本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.

15.【答案】丙午

【解析】解：因为138+2=(12+1)8+2=128+Cjx127+-+CJx12+3,

所以138+2年以后地支为“午”,

因为138+2=(10+3)8+2=1。8+弓x107x3+…+C；x10x37+38+2,

又因为3'+2=6563,3'+2除以10余数为3,所以138+2年以后天干为“丙”，

故138+2年以后是丙午年.

故答案为：丙午.

根据138+2=(12+1"+2和138+2=(10+3)8+2,结合二项展开式的性质及余数，即可求

解.

本题主要考查了归纳推理，考查了二项式定理的应用，属于中档题.

16.【答案】|

【解析】解：因为|居尸2|=6,即2c=6,所以c=3,

因为点Q是以PF?为底的等腰三角形FiPB内切圆的圆心，

所以PQ为N&P尸2的角平分线，延长FM交PF2延长线于点N,(\)

ZF1PM=4NPMV

在APFiM与APM/V中，,M=PM,所以△'、J

/PM&=乙PMN=90°--_)

PF[M*PNM,

所以|PQI=|PN|=6,M&=MN,所以M为FiN的中点，又。为F/2的中点，

所以。M为AF/zN的中位线，所以鸟阳=2OM|=2,所以|PFz|=6-2=4,

所以|PF/+仍尸2|=6+4=10=2a,所以a=5,所以e=(=,.

故答案为:卷.

延长FM交PF2延长线于点N,可得PNM,0M为AFiFzN的中位线，从而可得P&=

|PN|=6,IBM=2。”|=2,再由椭圆的定义可求出a的值，由e=?即可求出椭圆的离心率.

本题考查求椭圆的离心率，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.

17.【答案】(1)解：设等差数列｛aj的公差为/由条件①得，

3a2+@4=3(即+d)+%+3d=4at+6d=64,即2%+3d=32.

由条件②得，S5=5ali+四丁)。=5al+10d=100,即%+2d=20.

由条件③得，S7=5as+16r可得7%+21d=5(ai+4d)+16,即2%+d=16.

若选①②，则片蓝2,解得林:所以即=4+8何-1)=而-4；

111]十Z.U一乙U,\Cl—O,

若选①③，则H宵1/解得｛建/则即=4+8(n-1)=8n-4；

若选②③，则图Z，解得伤:'则%=4+8(n-l)=8n-4；

(2)证明：由b—bn_i=an=8n-4(n>2),且瓦=3,

当"22时,则bn=瓦+(J)2—瓦)+(匕3—尻)+…+(bn—bn_i)=3+12+20+…+(8n—4),

=3+(8n-4+12)(n-l)=4n2_1,

又瓦=3也满足b=4/-1,故对任意的n€N*,有％=4/-1.

则上=-1_____=1(-!______1-),

人」既(2n-l)(2n+l)2v2n-l2n+lJ,

所以〃=夕（1…+（七—焉）]=[1一焉）/

由于”=4（i一二彳）是单调递增，所以〃2A=：.

综上,<7^,<1.

【解析】（1）设等差数列｛an｝的公差为d,先将条件①、条件②、条件③化简，再分别选①②，

选①③，选②③求解；

1

（2）由匕一b_]=（2=8n-4（几N2）,且瓦=3,利用累加法求得当=4层一1,进而得到彳=

nn°n

⑵一晨+】）=右*一焉）,然后利用裂项相消法求解•

本题考查等差数列的通项公式与求和公式，以及数列的并项求和、裂项相消求和，考查方程思想

和运算能力、推理能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）由题意知，tanB=2tanA,tanC=3tanA,

在4ABC中，tanA=-tan（F+C）=-^anB+^anC

所以tan4=一华喀当竺，解得taMA=1,

l-6tan£A

所以tcmA=-1或tazM=1,

当由m4=一1时，tanB=-2,此时4B均为钝角，与4+B+C=TT矛盾，舍去,

所以即

£Qm4=1,4=74-

(2)由(1)知,tanA=1,

所以tcuiB=2,tanC=3,

11

所以c°sB=I2p=六，c0sC=I=内,

Jl+tan'8J1+tan'C

所以sizi8=sinC—^==,

a_b

由正弦定理知,■,

sinAsinB

所以。=需=学=?儿

n

所以SAABC=^absinC=x^-bxbx^====6，解得b=4.

【解析】（1）易知tanB=2tan4tanC=3tanA,由tanA=-tan（B+C）,结合两角和的正切公

式展开运算，可得tam4=l,从而得解；

(2)利用同角三角函数基本关系求解sinB,cosB,sinC,cosC,再利用正弦定理得出a=需，代

入三角形的面积公式，即可求解b的值.

本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握正弦定理，三角形面积公式，两角和的正切

公式与同角三角函数的关系是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)设PC的中点为凡连接EF、FD,

因为。为棱4D的中点，E为棱PB的中

点，

所以EF〃BC,EF=OD//BC,

AB

OD=；BC,

所以OD〃EF,OD=EF,

即四边形EFOO为平行四边形，

所以OE〃。巴

因为OEC平面PC。，DFu平面PC。,

所以OE〃平面PCD；

(2)取BC的中点M,连接OM,

所以。M1AD,

因为。为40中点，PA=PD,

所以P。_L力D,

因为平面P/W1平面Z8CD,

所以P。，平面4BCD,

以。为原点，分别以。4、OM、0P所在的直线建立空间直角坐标系,

设4O=a(a>0),可得P(0,0,Ca),C(-a,1,0),E《g,?a)，D(-a,0,0),

所以同=次=(-a,1,0)，

设平面OEC的一个法向量为五=(x,y,z),

则俨•变=0,

(元•0C=0

axyy/~3azn

即E+E+T=°,

—ax+y=0

令％=1,可得y=Q*=一竽，

所以元=(1,a,-V)，

所以5加=耦=田|=票

解得a=

所以四棱锥P-力BCD的体积为V=长方形ABCOOP=gABXBCXOP=：X1x2口x3=

2<3.

【解析】(1)取PC的中点F,可得四边形EFD。为平行四边形，OE//DF,再由线面平行的判定定理

可得答案；

(2)取BC的中点M,可得。MJ.40,POJ_平面4BCD,以。为原点，分别以。4、OM、0P所在的直

线建立空间直角坐标系，设20=a(a>0),求出前、平面OEC的一个法向量，由线面角的向量

求法可得a,再由棱锥的体积公式可得答案.

本题考查了空间点、线、面的位置关系，重点考查了空间几何体的体积公式，属中档题.

20.【答案】解：(1)设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最

多再进行2局，

当X=1时，甲以3：1赢，可得P(X=1)=*

当X=2时，甲以3：2赢，可得P(X=2)=33=得，

则甲赢的概率为.+磊=得乙赢的概率为1-得=2，

所以P尹：P乙=15：1；

(2)设比赛再继续进行y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然是乙赢，

当丫=2时，乙以4：2赢，可得p(y=2)=(i—p)2,

当y=3时，乙以4：3赢,可得P(3=3)=C加(1一p)2=2p(l-p)2,

所以乙赢得全部奖金的概率P(A)=(1-p)2+2P(1-p)2=(1+2p)(l-p)2,

则甲赢得全部奖金的概率/'(p)=1-(1+2p)(l-p)2,<p<1,

可得f'Q)=-2(1-p)2-(1+2p)•2(1-pX-1)=6P(1-p)>0,

所以函数/1(p)在亭1)上单调递增，

此时f(P).=居)=翳

则乙赢的概率最大值为1一岩=孤20.0554<0.06,

故事件4是小概率事件.

【解析】(1)由题意，设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，最后一局必然是甲赢，最多再进行2

局，利用独立事件概率求出概率，再求出乙赢得全部奖金的概率作答.

(2)设比赛再继续进行丫局乙扁得全部奖金，最后一局必然是乙赢，利用独立事件概率求出/(p),

并求出函数最小值，再判断作答.

本题考查相互独立事件的概率公式以及利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力.

21.【答案】解：(1)因为|0M|=|0玛|=\0F2\,所以乙RM%=90°.

222

则|MFi『+\MF2\=(2c),(|MFi|-|MF2|)+2\MFt\­\MF2\=

2

4a2+2\MFi\­\MF2\=4c,

所以|MF小\MF2\=2b2,

△时尸1尸2的面积5=，|时/1|・|时尸2|=b2=3.

又C的离心率为£==2'所以a?—1.

a

所以双曲线C的方程为/—J=1.

(2)①根据题意?2(2,0)，则直线，：m(x-2)-y=0.

L2_/=1

由3―，得(3—m2)x2+4m2%—4m2—3=0,

y=mx—2m

G

由4L"