2023-2024学年上学期第一次月考九年级数学试卷

2023-2024学年九年级第一次月考数学检测试卷

一.选择题（共10小题，每题4分）

1.己知关于x的方程（«-1）x|a|+l-2x-1=0是一元二次方程，则a的值为（）

A.-1B.1C.0D.1或-1

2.若把抛物线y=3/-1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）

A.y=37-3B.y=3/+l

C.y=3(x+2)2+lD.y=3（x-2）2-1

3.已知a是一元二次方程，-3x-5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）

A.-2<a<-1B.2<a<3C.-4<a<-3D.4<a<5

4.如图，二次函数+法+c的图象与x轴交于（-2,0）和（4,0）两点，当函数值y>0时，自变

量x的取值范围是（）

B.x>4C.-2<x<4D.x>0

5.已知抛物线y=7-2侬-4（机>0）的顶点M关于坐标原点。的对称点为M',若点M'在这条抛物

线上，则点M的坐标为（）

A.(1,-5)B.(3,-13)C.（2,-8）D.(4,-20)

6.设一元二次方程(%-2)(%-3)-p,2=0的两实根分别为a、p(a<p),则a、0满足()

A.2<a<3^pB.a<2且023C.aW2<0<3D.a<2且。>3

函数>=依2+法（a/0）与），=bx+a（b70）的图象可能是（)

8.若二次函数y=|a|/+6x+c的图象经过A(m,V2>”)、E(2,>3),

则yi、y2>*的大小关系是（）

A.y\<y2<y3B.yiVy3V”C.y3V*VyiD.y2Vy3Vyi

9.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一

年中每月获得的利润y（万元）和月份"之间满足函数关系式y=-/+i4〃-24,则企业停产的月份为

()

A.2月和12月B.2月至12月

C.1月D.1月、2月和12月

10.点A,8的坐标分别为（-2,3）和（1,3）,抛物线y=a?+法+c（a<0）的顶点在线段AB上运动

时，形状保持不变，且与x轴交于C,。两点（C在。的左侧），给出下列结论：①c<3；②当x<-3

时，y随x的增大而增大；③若点。的横坐标最大值为5,则点C的横坐标最小值为-5：④当四边形

ACDB为平行四边形时，a='.其中正确的是（）

3

A.②④B.②③C.①③④D.①②④

填空题(共7小题，每题5分)

11.已知二次函数>=苏+法+1(”#0)的图象与X轴只有一个交点.请写出一组满足条件的4,〃的值：

a=,b=.

12.已知点A(4,yi),B(&,”)，C(-2,”)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则yi、”、

”的大小关系是.

13.二次函数)，=a?+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程办2+原+,〃=()有实数根，则根的最大

14.已知八6是方程7-2x-1=0的两个根，贝IJ。2+研36的值是.

15.2018-2019赛季中国男子篮球职业联赛(CBA),继续采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，

总比赛场数为380场.求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程

为.

16.如图为函数：y=/-l,y=/+6x+8,y=/-6x+8,y=/-12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，

其中最有可能是-6x+8的图象的序号是.

17.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处

各留1机宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27优，则能建成的饲养室面积最大为

门

门门

三.解答题

18.用恰当的方法解下列方程(10分，每题5分)

(1)x2-10x+25=7(2)3x(x-1)=2-2x.

19.关于x的方程区2+（%+2）x+K=O有两个不相等的实数根.（10分）

4

（1）求女的取值范围.

（2）是否存在实数左,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出火的值；若不存在，说明理

由.

20.为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育

经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元.（12分）

（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育

经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台

实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？

21.已知关于x的一元二次方程，-（2A+1）x+必+k=0.（14分）

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若AABC的两边A8,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边8c的长为5,

①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；

②若AABC是等腰三角形，求人的值.

22.对于一个函数，如果它的自变量尤与函数值y满足：当-IWXWI时，-则称这个函数为“闭

函数”.例如：y=x,y=-x均是“闭函数”（如图所示）.已知：y^a^+bx+c（。#0）是“闭函数”，

且抛物线经过点A（1,-1）和点8（-1,1）.（14分）

（1）请说明a、c的数量关系并确定6的取值;

（2）请你确定a的取值范围.

23.如图，已知：二次函数y=/+法+c的图象与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为（-3,0）,与y

轴交于点C,点。（-2,-3）在抛物线上，（15分）

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P,求出以+PZ）的最小值；

（3）若抛物线上有一动点M（点C除外），使aABM的面积等于△A8C的面积，求M点坐标.

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.已知关于x的方程（。-1）x|a|+1-2x-1=0是一元二次方程，则a的值为（）

A.-1B.1C.0D.1或-1

解：由题意，得间+1=2,且解得。=-1,故选：A.

2.若把抛物线y=37-1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）

A.y=3/-3B.y=3W+l

C.y=3（x+2）2+lD.y=3（x-2）2-1

解：因为抛物线y=3f-1向右平移2个单位，得：y=3（x-2）2-1,

故所得抛物线的表达式为y=3（x-2）2-1.故选：D.

3.已知“是一元二次方程f-3x-5=0的较小的根，则下面对。的估计正确的是（）

A.-2<a<-1B.2<a<3C.-4<a<-3D.4<a<5

解：一元二次方程7-3x-5=0,

Vtz=l,b=-3,c=-5,

.♦.△=9+20=29,.\x=3±V29;

_2

则较小的根3-0,即-2<a<-1,

2

故选：A.

4.如图，二次函数y=a?+法+c的图象与x轴交于（-2,0）和（4,0）两点，当函数值y>0时，自变

量3x的取值范围是（）

A.x<-2B.x>4C.-2<x<4D.x>0

解：•.•二次函数y=«?+法+c的图象与x轴交于（-2,0）和（4,0）两点，函数开口向下，

函数值y>0时，自变量x的取值范围是-2<x<4,

故选：C.

5.已知抛物线y=7-2,妙-4（m>0）的顶点M关于坐标原点。的对称点为M',若点在这条抛物

线上，则点M的坐标为（）

A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20)

解：_y=jr-2mx-4=7-2mx+m~-nr-4=(x-/n)2-wi2-4.

••.点-/?J2-4)..,.点M'(-m,>n2+4)..'.m1+2m2-4—ir^+4.

解得，〃=±2.'：m>0,：.m=2.：.M(2,-8).故选：C.

6.设一元二次方程(x-2)(x-3)-p2=0的两实根分别为a、0(a<P),则a、。满足()

A.2<a<3<PB.aW2且B>3C.a^2<p<3D.a<2且0>3

解：当p=0,(x-2)(x-3)=0,解得a=2,0=3,

当pWO,(x-2)(x-3)-〃2=o,看作二次函数y=(x-2)(x-3)与直线y=p2=0有两个公共点，

而y=(x-2)(x-3)与I轴的交点坐标为(2,0),(3,0),直线y=p?在x轴上方，所以aV2,p

>3,

综上所述，a<2且023.

故选：B.

7.在同一平面直角坐标系中，函数>=以2+勿；(a#0)与旷=加计〃(/?W0)的图象可能是()

解：在A中，由一次函数图象可知，a>0,b>0,由二次函数图象可知，a>0,b<0,故选项A错误;

在B中，由一次函数图象可知，G<0,b<0,由二次函数图象可知，a>0,b>0,故选项B错误；

在C中，由一次函数图象可知，<?<0,b>0,由二次函数图象可知，a<0,b>0,故选项C正确；

在。中，由一次函数图象可知，a>Q,b>0,由二次函数图象可知，a<0,b<0,故选项。错误；

故选：C.

8.若二次函数y=|a|/+bx+c的图象经过4（机，〃）、B（0,yi）、C（.3-m,"）、D”）、E（2,”），

则yi、"、”的大小关系是（）

A.yi〈”<y3B.yi<y3<）2C.y3<”<yiD.y2<y3<yi

解：经过ACm,”）、C（3-/n>ri'）,

二次函数的对称轴尸3,

_2

,:B（0,yi）、D（近,”）、E（2,”）与对称轴的距离B最远，。最近,

V|a|>0,

'.y\>yi>y2i

故选：D.

9.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一

年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=-«2+14H-24,则企业停产的月份为

（）

A.2月和12月B.2月至12月

C.1月D.1月、2月和12月

解：由题意知，

利润）和月份〃之间函数关系式为y=-n2+14«-24,

；.），=-（n-2）Cn-12）,

当n=l时，y<0,

当n=2时，y—0,

当”=12时，y=0,

故停产的月份是1月、2月、12月.

故选：D.

10.点A,B的坐标分别为（-2,3）和（1,3）,抛物线>=依2+公+。QV0）的顶点在线段AB上运动

时，形状保持不变，且与x轴交于C,。两点（C在。的左侧），给出下列结论：①c<3；②当x<-3

时，y随x的增大而增大；③若点。的横坐标最大值为5,则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形

ACDB为平行四边形时，a=_^.其中正确的是（）

3

A.②④B.②③C.①③④D.①②④

解：•.•点A,B的坐标分别为（-2,3）和（1,3）,

线段AB与y轴的交点坐标为（0,3）,

又••.抛物线的顶点在线段A2上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）,

；.cW3,(顶点在y轴上时取“=")，故①错误；

•••抛物线的顶点在线段AB上运动，

.•.当xV-2时，y随x的增大而增大，

因此，当x<-3时，y随x的增大而增大，故②正确；

若点D的横坐标最大值为5,则此时对称轴为直线x=l,

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6,故③错误;

根据顶点坐标公式，4ac-b2=3,

4a

令y=0,则ax1+bx+c=0,

2

CD2-(-也■)2-4义£•=旦二1型_

aaa2

根据顶点坐标公式，4acf2=3,

4a

.•.jYac=_[2,

a

：.CD2=^X(-12)=4

a-a

•・♦四边形ACDB为平行四边形，

：.CD=AB=1-(-2)=3,

.•工=32=9,

-a

解得〃=-2，故④正确；

3

综上所述，正确的结论有②④.

故选：A.

二.填空题(共7小题)

11.已知二次函数丁=以2+嬴+i(〃wo)的图象与x轴只有一个交点.请写出一组满足条件的mb的值：

a=1,b=2.

解：,二次函数(〃W0)的图象与x轴只有一个交点，

.•.△=廿-4。=0,

若。=1,则。可取2.

故答案为1,2(答案不唯一).

12.已知点A(4,yi),B(V2,”)，C(-2,*)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，贝Uyi、”、

y3的大小关系是Y3>yi>¥2.

解：把A(4,yi),B(V2)”)，C(-2,”)分别代入丫=(x-2)2-1f#：

yi=(x-2)2-1=3,y2—(x-2)2-1=5-4^2>”=(x-2)2-1=15,

：5-4&<3<15,

所以”>)〃>”.

故答案为y3>yi>y2.

13.二次函数），=a/+法的图象如图所示，若关于x的一元二次方程以2+原+机=0有实数根，则〃？的最大

解：一元二次方程，花+版+优二。有实数根，则二次函数丫=苏+法的图象与直线），=-〃?有交点，

由图象得，-机》-7,解得机<7,

m的最大值为7,

故答案为：7.

14.已知〃、6是方程7-2x-1=0的两个根，则“2+4+36的值是7.

解：由题意知，ab--1,a+b—2,/=2x+l,B|Ja2—2a+\,

c^+a+3b=2a+1+a+3b=3（a+b）+1=3X2+1=7.

故选答案为：7.

15.2018-2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA）,继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），

总比赛场数为380场.求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支,则可列方程为x（x-1）=380.

解：设参赛队伍有x支，则

x（x-1）=380.

故答案为：x（X-1）=380.

16.如图为函数：y=/-l,y=/+6x+8,y=/-6x+8,y=/-12x+35在同一平面直角坐标系中的图象,

其中最有可能是y=7-6x+8的图象的序号是③.

y=7-6x+8对称轴是直线x=3,图象中第三个，

y=f-12x+35对称轴是直线x=6,图象中第四个，

故答案为：③.

17.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处

各留l，w宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27〃?，则能建成的饲养室面积最大为

门

门门

解：设垂直于墙的材料长为x米，

则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,

则总面积S=x(30-3%)=-3f+30x=-3(x-5)2+75,

故饲养室的最大面积为75平方米，

故答案为：75.

三.解答题(共5小题)

18.用恰当的方法解下列方程

(1)x2-10x+25=7

(2)3x(x-1)=2-2x.

解：(1)?-10x+25=7,

(x-5)2=7,

x-5=±5/7，

xi=5+W，XI—5-V7-

(2)3x(x-1)=2-2x.

方程变形得：3x(x-1)+2(x-1)=0,

分解因式得：(x-1)(3x+2)=0,

可得x-1=0,3x+2=0,

解得：xi=l,X2=--.

3

19.关于x的方程kx2+a+2)x+K=0有两个不相等的实数根.

4

(1)求k的取值范围.

(2)是否存在实数左,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出K的值；若不存在，说明理

由.

解：(1):方程有两个不相等的实数根，

；.△=(上+2)2-4k・K>0且20,

4

.•.出+以+4-必>0,且&W0,

：.k>-1且kWO,

即k的取值范围是-1且2#0.

(2)不存在.理由如下：

•.•关于x的方程&+(左+2)x+K=0的两根分别为川、%2，

4

・

.•Xl+X2=_k+2,X|*X2=A,

k4

假设存在实数上使得方程的两个实数根XI,X2的倒数和为0,则XI,X2不为0,且」-+_L=0,

X1x2

X1+X2=-4(k+2)=o.

X1x2X1Xx2k

"+2=0,

:.k=-2,

而后=-2与方程有两个不相等实数根的条件上>-1且30矛盾，

故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.

20.为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，己知2015年该市投入基础教育

经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元.

(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育

经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台

实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？

解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为X,

根据题意得：5000(1+x)2=7200,

解得:XI=0.2=20%,X2=-2.2(舍去).

答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.

(2)2018年投入基础教育经费为7200X(1+20%)=8640(万元),

设购买电脑机台，则购买实物投影仪(1500-相)台，

根据题意得：3500/77+2000(1500-^86400000X5%,

解得：〃?W880.

答：2018年最多可购买电脑880台.

21.已知关于x的一元二次方程/-(2k+l)x+F+k=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5,

①若％=3时，请判断aABC的形状并说明理由；

②若AABC是等腰三角形，求女的值.

【解答】(1)证明：VA=(2H1)2-4(必+k)=1>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.

(2)解：①人=3时，方程为x2-7x+12=0,

解得xi=3,X2=4,

・,.A3=3,AC=4,

♦：BC=5,

:.AB2+AC2=BC2,

.••△ABC是直角三角形；

②：△=1>0,

J.AB^AC,

：.AB.AC中有一个数为5.

当x=5时，原方程为：25-5(2)1+1)+必+%=0,

即必-9k+20=0,解得：上1=4,IC2—5.

当k=4时，原方程为?-9x+20=0.

/.XI=4,X2=5.

由三角形的三边关系，可知4、5、5能围成等腰三角形，

k—4符合题意；

当一=5时,原方程为x2-llx+30=0,

解得：xi=5,X2—6.

由三角形的三边关系，可知5、5、6能围成等腰三角形，

:.k=5符合题意.

综上所述：k的值为4或5.

22.对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当-时，-iWyWl,则称这个函数为“闭

函数”.例如：y=x,y=-x均是“闭函数”(如图所示).已知：y^a^+bx+c(a^O)是“闭函数”，

(1)请说明“、C的数量关系并确定b的取值：

(2)请你确定“的取值范围.

解：(1),抛物线(a/0)经过点A(1,-1)和点B(-1,1),

a+h+c=-1®a-h+c=l②

①+②得：a+c=0即a与c互为相反数，

(2)由(1)得：抛物线表达式为-尤-a(ar0),

，对称轴为x-L，

2a

当〃<00寸，抛物线开口向下，且x」<0,

2a

:抛物线y=or2-x-。(。¥0)经过点4(1,-1)和点