2023届河北省保定市唐县第一中学高三年级上册11月期中考试数学试题

2023届河北省保定市唐县第一中学高三上学期11月期中考试数学试

题

一、单选题

1.已知数列｛4｝满足a,+ia.+4「a”+i+l=0,aK)2=—3,则()

A.a,=-3B./=2C.all+2+an=-1D.an+2a„=-1

【答案】D

【分析】根据递推公式可知4,=%1=，由4。2=-3,可逐一递推，进而发现｛%｝为周期数列，即

an+\+1

可通过规律求解.

Cln,i—1

【详解】由“,,+4+4-4“+1=。得，

%+|十1

=—

将"l02=-3代入上式，得6t|0|=2,/.4QQ%8=-3,........,

所以数列｛叫为周期数列，且T=4,4号,*=2,*=-3,小=4，

所以

q=2,出=_3,。“+2%=2'(_；)=_1或4+2%=；x(_3)=-l,

an+2+4=2_gH-1或a“+2+a“=g+(-3)*-1,

故选：D

2.已知正项等比数列｛4｝满足q=2,%=2%+生，若设其公比为g,前〃项和为加，则不正确的

是()

A.<7=2B.an=2n

C.S/o=2O47D.an+an+i<an+2

【答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列前〃项和公式逐一判断即可.

【详解】因为等比数列｛4｝是正项数列，所以4>0

由“4=2%+。3n2/ndq+Zq。-2=0=>4=2,q=-i舍去，

因此选项A正确；

a„=2-2"-'=2",因此选项B正确；

S,八J。”)=2"-2=2046,因此选项C不正确；

1-2

因为。+嗫=2〃+2川一2田=2”+2・2”-4・2〃=-2”＜。，所以选项D正确，

故选：C

3.已知正项等比数列｛〃〃｝,满足〃2・〃齐〃2020=16,则…•〃/0/7=()

A.41017B.21017C.4,(J18D.21018

【答案】B

【分析】根据azw/mozone,利用等比数列的性质可得4509,然后由•叼・・・・•60]7=。509’0”求解・

【详解】在正项等比数列｛劭｝中，〃2・〃，，。2020=16,

因为。2，^2020=aiOU~»

所以(%即MJ=16,

即=%)/=4,

所以“509=2,

所以4・4,。3•"1017=々509⑼7=2'017,

故选：B.

4.已知数列｛q｝满足4=28,a^-a„=2n,则组的最小值为()

n

A29n厂厂48n27

A.—B.4\j7—1C.—D.—

354

【答案】c

【分析】采用叠加法求出％,由&•可得”=〃+空-1,结合对勾函数性质分析在〃=5或6取到最

nnn

小值，代值运算即可求解.

【详解】因为““+1-4“=2”,所以%-%T=2(〃-1),a„_t-a„_2=2(n-2),L,a2-aA=21,n-l式

相力口可得a,,-q=2(1+2++(“―1))=2.0；)、~—=n(n-l),

所以4=3-/+28,%=/1+生一1N2而一1=4五一1,当且仅当”=2"取至IJ,但〃wN*,2万45,6),

nn

所以w=5时胃=5+点T/，当〃=6时，*=6+1=胃，曰＜?，所以&的最小值为学.

55566353n5

故选：C

5.数列｛为｝满足：♦=枇-l(〃eN*,/(UeR),若数歹U｛a,,-1｝是等比数列，则2的值是

A.1B.2C.—D.—1

2

【答案】B

【分析】根据等比数列的定义，可知色哼=幺—=4,根据式子恒成立，可知对应项系数相同,

/T4,-1

从而求得结果.

a—14〃一2

【详解】数歹式。“—1｝为等比数列n黄丁=VTT=q

即：Mi“-2=qa“-q

一fA=6T

上式恒成立，可知：(个=4=2

|-2=f

本题正确选项：B

【点睛】本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.

6.己知数列｛〃｝满足々=1也=4,%=(l+sin2号卜,+COS2£,则该数列的前23项的和为

A.4194B.4195C.2046D.2047

【答案】A

22

【详解】当〃为偶数时，bll+2=fI+sin^h„+cos^=bn+l,有%2%=1，即偶数项成等差，

所以4+/++%=1电+^1^*1=99.

当”为奇数时，bn+2=2bn,即奇数项成等比.

b(\-2'2}

々+&++%=t'2，=2J=4095.

该数列的前23项的和为99+4095=4194.

故选A.

7.设S,为等差数列｛叫的前〃项和，且满足$238>0，S刈9<0,对任意正整数〃，都有㈤2㈤,

则k的值为()

A.1008B.1009C.1010D.1011

【答案】C

【分析】根据S刈8>°，520„<0,结合等差数列求和公式得到01010coMio®>0,且Mokkowl，从

而确定公差4<0,且|q(„o|最小，从而得到正确答案.

【详解】因为邑小>0，52„„<0,所以2018(%+。刈J>0,2019(/+*)<。,

22

故+。2018=4(X)9+"1010>°，4+%019=2〃[0]0<0,

故4oio<aq(x)9>°,且koiol<kowl'

可知等差数列｛%｝的公差d<0,且<a2<at,

故同>|生|>|闻>>koo9|，koi（>l<|4oJ<,

结合|q<）io|<|[«»|，可得：koiol最小.

综上：k的值为1010.

故选：C.

8.已知数列｛q｝的前"项和为S”，且4=2,“向=S“，若4w（0,2020）,则称项”“为"和谐项”，则

数列｛q｝的所有“和谐项'’的平方和为（）

A.-x4"+-B.-x4"--

3333

C.-x4'°+-D.Ix412--

3333

【答案】A

【分析】根据明与S”的关系，即可求出数列｛%｝的通项公式，再利用“和谐项”的定义得出111,

通过等比数列前〃项和公式即可求解.

【详解】由4a=S“，得/=S.T（，亚2）,

所以4+i-a“=Sn-S“T，即4田一q=4，于是有a”+i=2a.

因为4=2,所以%=SI=q=2,

所以数列｛4｝是从/=2起，公比为2的等比数列，

所以2X2-2=2'T

当”=1时，4=2°=1W2,所以此式不满足q,故｛%｝的通项公式为

2,(«=1)

2"'',(«>2)

因为q€(0,2020),^m<n<\\.

数列｛4｝的所有“和谐项”的平方和为:

故选：A.

二、多选题

9.己知等差数列｛4,｝的前”项和为若火=31忑。=210,则()

A.Sl9=19a1()

B.数列｛2"”｝是公比为2'的等比数列

C.若或=(-1)"q,则数列出｝的前2023项和为Y037

D.若2=H，则数列出｝的前"项和为五七

【答案】ABD

【分析】应用等差数列的前八项和、通项公式求基本量可得进而判断A,再由2仁=——及

2

等比数列的定义判断B,应用分组求和、裂项求和判断C、D.

【详解】对A,由题设，兀=1飞斗,)=5(%+4。)=210,则q+q°=42,

若等差数列的公差为d，故2q+9d=42,而q+7d=31,

所以q=3,"曰，贝I]%=4〃-1,

兀=19X(；+[9)=]94,人正确；

对B,2%=2Ml=”，易知｛2%｝是公比为28的等比数列，B正确;

对C,d=(T)"q=(T)"(4"-l)，则前2023项和为

-3+7-11+15-...+(4X2022-1)-(4X2023-1)--3-4x1011=-4047,C错误;

11z1

b产-----=­(-----------),则前“项和为

44+i44/?—14〃+3

1A11、1尸L1-1

-x(----+-)^—+...+即口正确.

4377114〃-14〃+3434〃+3

故选：ABD

10.设函数分于⑺的定义域为R,且满足/(x)=/(2—x)J(—x)=—/(x—2),当e(-1,1］时,

/(力=-犬+1.则下列说法正确的是()

A.7(2022)=1

B.当xe[4,6]时，〃力的取值范围为[-1,0]

C.y=/(x-l)为奇函数

D.方程f(x)=log9(x+l)仅有4个不同实数解

【答案】BC

【分析】A选项，根据〃x)=〃2—x)J(—x)=—/(x—2),推导出〃x)=/(x—8),所以y寸(x)的

周期为8,得到〃2022)=〃6)=T,A错误；

B选项，根据函数性质求出xe[4,5],/(x)=(x-4)2-le[-l,0],当xc(5,6]时，

/(%)=(X-6)2-1e[-1,0),从而确定的取值范围；

C选项，根据/(-x)=—/(x-2)得到f(x)关于(1,0)中心对称，从而y=〃x-l)关于原点中心对称,

即y=f(x—i)为奇函数；

D选项，画出y=f(x)与g(x)=log9(x+l)的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程

/(x)=bg9(x+l)的根的个数.

【详解】因为/(x—2),

所以〃力=_/(=2),

因为/(x)=〃2—x),

故"2—x)=—/(—x—2),

所以/[2—-f[-(2-x)-2],

BP/(X)=-/(X-4),

所以/(x—4)=—"x—8),

所以〃x)=〃x—8),

所以y习1(x)的周期为8,

因为2022=8x252+6,

所以一(2022)=/(6)

因为〃x)=/(2-力x)=—“X—2),

所以f(6)=〃2-6)=f(T)f(4-2)=-71⑵=-〃2-2)=-40),

因为时，/(x)=-x2+l,

所以〃0)=-()2+1=1,

故〃6)=—/(O)=T,A错误；

当xc[4,5],x-4e[0,l],

所以〃X)=-/(x-4)=-[-(X-4)2+l]=(x-4)2-1e[-1,0],

当％c(5,6],2-XG[-4,-3),2-X+4=6-XG[0,1),

所以〃x)="2-x)=-”2-x+4)=-/(6-x)=-[-(6-x)2+l]=(x-6)2-le[-l,0),

综上：当xe[4,6]时，〃x)的取值范围为[TO],B正确：

因为/(r)=—/(x-2),所以/(x)关于(1,0)中心对称，

故y=/(x-l)关于原点中心对称，所以y=/(x—l)为奇函数，C正确；

画出产/(尤)与g(x)=log9(x+l)的图象,如下：

因为/(8)=log,(8+1),尸(8)=0<[1唱(X+1)]L，

所以两函数图象共有5个交点，所以方程/(x)=k)g9(x+l)仅有5个不同实数解，D正错误.

故选：BC

11.若过点网1,4)最多可作出"(”eN*)条直线与函数f(x)=(xT)e，的图象相切,则()

A.A+n<3

B.当〃=2时，4的值不唯一

C.而可能等于Y

D.当〃=1时，2的取值范围是(-0-ju{0}

【答案】ACD

【分析】由题设切点为(Xo，(x°-l)e"),进而得2=-e&(x；-2x0+l),再构造函数

g(x)=-e\x2-2x+1),将问题转化为y=g(x)与y=2的交点个数问题，再数形结合求解即可.

【详解】解：不妨设切点为(%,@-1圮&),因为尸(回=疣不

所以切线方程为y-2=X心'。(x-1),

所以(x°-l)e'。T=x0e*(x0-l),整理得2=-e*(x：-2x0+l),

所以令g(x)=-er(x2-2x+l),则g'(x)=-ev(x2-1),

所以,令g'(x)=。得x=±l.

所以，当x<-l或x>l时，g'(x)<0,g(x)<o,当一1cx<1时，g'M>0,

4

因为，当x趋近于—时，g(x)趋近于0,g(-l)=，，g(0)=-l,g⑴=0,当x趋近于茁时，g(x)

e

趋近于一0°,

所以，函数以力的图像大致如图，

4

所以，当〃=2H寸，2=g(-l)=—,故B错误，此时2+“<3成立；

e

，4、1212

当”=3时，Ae—,0,所以义+”<3,-匕匕<-4,故4〃可能等于T,C正确；

ke；ee

当

当”=1时，2€(―℃,—)0{()},显然几+”<3,故D正确；

e

综上，A+n<3,A正确.

故选：ACD

,、「2-0

12.关于函数"x)=1o。M>0下列说法正确的是()

A.方程/(x)=x的解只有一个

B.方程/(/(x))=l的解有五个

C.方程/(f(x))=r,(O<f<l)的解有五个

D.方程/(/(x))=x的解有3个

【答案】AC

【分析1作出函数/(x)的图象，换元后从外到内研究，先求y=，与y?(x)图象交点的个数，转化为

内层函数心)或“(x)的取值范围，据此再结合了⑺的图象即可判断〃〃x))=f的根的个数.

[2vx<0

【详解】作出f(x)=h।°图象如图,

'[|log2x|,x>0

A项，先证X>k)g2Mx>1)恒成立，即证出2>也(》>1),

设g(x)=T，x>l,则g(x)=——)

当1cx<e时，g'(x)>0,当x〉e时，g'(x)<0,

故g(x)在(l,e)为增函数，在(e,+o。)上为减函数，故g(x)1rax=：<g<ln2,

故QlogzX,所以尸与f(x)有唯一交点，故正确；

B项，令f(x)=/,贝！1/(，)=1=「=0或，=3或，=2=/(了)=0或/(幻=3或/(乂)=2=6个解，故错误；

C项，令〃=/(x),则/(〃)=r6(0,1)=6(0,1),%e(1,2)

=/a)<0/(x,)e(0,l)/(x3)e(1,2)n±e0f有3个解,

工3有2个解，共有5个解，故正确；

D项，令〃=/Xx)20,则f(“)=xN(),

又/(f(0))=/(l)=0，/(/(D)=/(0)=1,所以0,1是方程/(/(x))=x的两个解，

当X>0,XX1时，/(/(x))=|log2(|log2x|)|=x,即|log2M=2"或MgzX=2r,

因为x>l时，X>log,X,而y=2"与y=log2X的图象关于y=x对称，

故|地2万|=2、或|叫副=2-*共有3个解；

所以方程/(/(x))=x的解有5个，故错误.

故选：AC

【点睛】结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析/(/")),根据方程的根的个数可转化

为两函数图象交点的个数求解即可.属于难题.

三、填空题

fl

13.定义“个正数A、小、L、P”的“均倒数”为〜二〜，若各项均为正数的数列｛”“｝的前

P］十〃2十十Plt

«项的“均倒数”为—^―,则/21=___________.

2n+\

【答案】8083

【分析】设数列｛《,｝的前”项和为S,,,根据已知条件可得S,,=(2〃+l)〃，即可求得生以的值.

【详解】设数列｛4,,｝的前〃项和为s.，

,、nn1

由已知可得数列对的前〃项的“均倒数”为1「二—=不=z—;,

22

可得S,=(2〃+1)〃=2〃2+”，所以,0,021=52021-S2mo=(2X2021+2021)-(2X2020+2020)=8083.

故答案为：8083.

【点睛】思路点睛：己知数列｛《,｝的前”项和S“，求通项公式。”的步骤：

(1)当般=1时,q=S］；

⑵当心2时,根据s,可得出Sn_,,化简得出«„=S,-S„_,；

(3)如果《满足当“22时。,=5,,-5,1的通项公式，那么数列｛4｝的通项公式为%=S,,-SNT；如

果叫不满足当〃22时q,=S“-S-的通项公式，那么数列｛为｝的通项公式要分段表示为

_JS,,n=l

14.若q=1，％+i=2a“-3〃，〃eN*,则%=;

【答案】-5-2M-,+3n+3

【分析】设4m+2(〃+1)+"=23“+沏+”)，求出4=〃=一3,然后根据等比数列的定义即得.

【详解】解：设4向+2("+1)+"=2(q+/1"+〃)，

所以4川=2。“+力?+“-4，

I/I=—3

八八，/.2=w=-3

w-2=0

67.-3(77+1)-3

所以%-3”3=2,

所以数列应-3"-3｝是一个以4-3-3=-5为首项，以2为公比的等比数歹IJ,

所以a,「3〃_3=(-5)x2"T,

所以4=-52-'+3〃+3.

故答案为：-5.2"T+3〃+3.

15.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列''在航空航天中应用

广泛,若数列｛七｝满足苍小=天一卷十，则称数列｛七｝为牛顿数列•如果函数"X)=犬-4,数列｛々｝

为牛顿数列，设%=In受三，且4=1,毛＞2.则/。"=

尤,-2

【答案】22020

【分析】由牛顿数列的定义可得乙”与x“的关系式，代入。用可得a„+l=2a„,进而通过等比数列的

通项公式即可求得结果.

"X")_x七-44+4

【详解】因为〃力=犬-4,所以/'(x)=2x,所以X“M=%-

f'M"2x"2x”

片+4+?_(毛+2)2

所以x向+2=十N一

2%2%

七+42=⑸-2>

%-2=

2x“2x.

®+2)2,

,/、2

J+22x,=(x.+2)2伍+2

所以(x「2)2[x-2)

x.+i-2(X“_2)2n

2%

X+2x.+2=21n^^=2a„,

所以一y

%”-2x,「2

a=

即:n+i2ali,又q=1,

所以数列｛““｝是以1为首项，2为公比的等比数歹lj,

所以4=1X2"T=2"T,所以。曲M22020,

故答案为：22020.

四、双空题

16.在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解.例如：曲线y=f在k1处的切

2

线方程为y=2x-1,S.X>2X-\，若已知〃z+w+f=3,则/+/+产N2w-l+2"-l+2r—l=3，当

机=〃=.=1时等号成立，所以M+〃2+产的最小值为3.已知函数f(x)=x3-6/+12x,若数列｛0“｝

满足4,42,且q+4+•••+/=10,则数列"(q)｝的前10项和的最大值为：若数列出｝满

足4*0,且4+&+…+如=210,则数列｛，(4)｝的前100项和的最小值为________.

【答案】70630

【分析】利用导数的几何意义求x=l、x=3处的切线方程，根据题设描述，数形结合求｛7("")｝的前

10项和最大值、"3"))的前100项和的最小值，注意等号成立条件.

【详解】f'M=3x2-12x+12=3(x-2)2>0,则/(x)在R上单调递增，如下图所示：

①易知1(1)=7J")=3,

所以曲线>J(x)在x=l处的切线方程为y-7=3(x-l),即y=3x+4,

结合图象知/(x)43x+4(x<2),所以f&)434+4,

所以_/"(4)+，(”2)+…+/("io)-3(。|+a2+…+Go)+4。=70,

当且仅当4=。2="-=4o=1时，等号成立；

JCQX

②曲线y—f(x)在x=网处的切线为y=(3厮—12%+12)(x—0)+X—6J+\2X0,

因为"NO,则令此切线过原点，解得%=3或%=0,

所以曲线y=f（x）在x=3处的切线方程为，=3X,结合图象知_/（x）23x（xN0）,

所以/3）+"4）+…+/（g0）23（4+么+...+九。）=630当且仅当勿=0或2=3时等号成立，

取优=伪=...=%）=3,%=%=...=%»=0,即也』的前100项中有70项为3,30项为0时，等号

成立.

故答案为：70,630.

【点睛】关键点点睛：根据导数几何意义求切线方程，数形结合列不等式求"（4,）｝、｛/（〃）｝前”

项和的最值.

五、解答题

17.已知等差数列｛〃,,｝和正项等比数列也｝满足q=4,4=2,b,Hb“,%=4+2.

⑴求｛q｝和也｝的通项公式；

⑵对于集合A、B,定义集合A-B=｛x|xeA且工生可，设数列｛。,,｝和也｝中的所有项分别构成集

合A、B,将集合A-B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列｛%｝,求数列｛1｝的前30项

和$30•

【答案】⑴%=3〃+1,b,=2"

⑵%=1632

【分析】（1）设等差数列｛%｝公差为d,等比数列｛〃｝的公比为〃（4>0）,根据已知条件求出q的值,

结合等比数列的通项公式可求得打，求出％的值，可求得d，利用等差数列的通项公式可求得凡；

（2）分析可知，所以｛4｝前30项由｛%｝的前33项去掉圾｝的％=4,4=16,%=64这3项构成，

利用等差数列的求和公式可求得号）的值.

【详解】（1）解：设等差数列｛%｝公差为d,等比数列｛〃｝的公比为以4>0）,

bb+2b2

n+2=„+i„>：.q=q+2,解得q=2或q=-l<0（舍去）.

又々=2,所以2=2x2"—=2".

所以为=a+2=10,

^=£IZ£!L=12Z1=3,

3—12

所以，a”=q+(〃-3)4=10+3(〃—3)=3〃+l.

(2)解：；%)=91,%=100,又％=64<121<仿=128,

所以S3。中要去掉数列也｝的项最多6项，

数列圾｝的前6项分别为2、4、8、16、32、64,

其中4、16、64三项是数列｛q｝和数列也｝的公共项，

所以｛c“｝前30项由｛。力的前33项去掉也｝的打=4,九=16,%=64这3项构成.

SM=(«,+«,++43)-(d+仇+4)=犯4丁⑼-(4+16+64)=1632.

18.己知正项等比数列优”｝,满足痣%=1，的是12田与5劣的等差中项.

⑴求数列｛“〃｝的通项公式；

⑵设7-----簿----+(T)",n，求数列｛加｝的前n项和加

(。“+4-2八4"+4-1)

【答案】(1)4=2"3,〃€N*;

(2)答案见解析.

【分析】(1)正项等比数列｛““｝的公比设为4,4>0,根据已知求出“3=1，4=2,即得解;

(2)-+(-l)n-n,再裂项相消分类讨论得解.

2—12—1

【详解】(1)正项等比数列｛4｝的公比设为dq>0,

由42a4=1，可得43=1，

牝是124与5a3的等差中项,可得2%=124+5%,

,12

即为%-=彳+5,解得4=2,

则4,=仅"-3=2”-3,〃€e

(2)b“=-------%-------?+(-1)"-M=7~,2：：_+(_1)«.n.

(%-2)(--1)(2n+,-2)(2n+l-l)

则S=|---------1—：-----：----F-H---------——|+[—1+2—3+4—5+6+.

(2-12、2-122-123-12"-12n+'-lJ

当”为偶数时，s,,=i-Q+M

当"为奇数时，S“=l-手匕-等.

19.设等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，%=4,%=S3.数列｛加｝满足：对每个

neN*,S"+2,S"M+b„,Sn+2+b„成等比数列.

(1)求数列｛%｝,｛〃｝的通项公式;

(2)记c”=,nGN*,证明：c,+c2++c“<2册，”GN*.

2，

【答案】(1)4=2〃-2,M€N*,hn=n+n,neN；

(2)证明见解析.

【分析】(1)设数列｛叫的公差为d,根据己知求出《=0/=2,即得数歹U｛a,,｝S“=〃-〃根据已知

即得数列色,｝通项;

(2)先求出c.=再利用数学归纳法证明.

'n(n+l)

【详解】(1)解：设数列｛4｝的公差为d,

4+2d=4

由题意得解得％=0,d=2,

q+3d=3ai+3d

nc*

/.Sn=—(0+2〃-2)=〃-—〃，〃eN.

2

数列也｝满足：对每个〃eN*,S“+bn,S„+2+b„成等比数列.

整理得包=:(黑「5£+2)，

解得"=/+〃,〃eN*.

2/1-2n-\

(2)证明：%'---------N*

2hn72n(n+1)〃5+1)

用数学归纳法证明:

①当n=l时，q=0<2,不等式成立;

②假设〃二%,(k《N*)时不等式成立，即4+弓++,<2〃,

则当n=k+l时,

即〃=左+1时，不等式也成立.

由①②得。+。2++cn<2\[n,〃£N*.

20.在四棱锥P—ABC。中，△88为等边三角形，ZDAB=}20°,AD=AB=PD=PB=2,点、E为

PC的中点.

（1）求证：8E//平面24£）；

（2）已知平面PBZ）_L平面ABCD,求二面角B-CP-O的余弦值.

7

【答案】⑴证明见解析；⑵

【分析】（1）取CZ）中点M,进而证明平面EMB〃平面PAD,然后通过面面平行的性质定理得到答

案；

（2）连接AC交BO于O,根据条件证明ACJL8C,P0_L平面ABCZ）,进而建立空间直角坐标系，

通过空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值.

【详解】（1）取C。的中点连接EM,BM,

为PC中点，

EM//PD,而EMZ平面PAD,PDu平面PAD，,EMU平面PAD,

又,/△BCD为等边三角形，BMXCD

VZDAB=12O°,AD=AB,

：.ZADB=ZABD=30°,ZADC=ZCDB+ZADB=600+30°=90°,

ADA.CD,'：BMAD共面于平面ABCD,：.BMHAD,

而平面尸A£）,ADu平面PAO,BM〃平面PA。，

又EMIBM=M,；.平面EA/B〃平面PAD,而EBu平面，EB〃平面PAD.

（2）根据条件，连接AC交8。于。，连接尸0,由对称性知，。为8。中点，且AC上8。，POVBD

,：平面PBD_L平面ABCD,且交于BD,：.尸。/平面ABCD,

•.•在△AOD中，AOLOD,AD=2,ZADO=30°,则AO=1,OD=6

又PD=2,PO=5-（可=1,

在正ABCD中，BD=2OD=,ACO=3.

以。为坐标原点，女，加,办所在方向分别为x，%z轴的正方向建立空间直角坐标系

O—xyz,

则吸，-疯0）,C（3,0,0）,P（0,0,l）,B（0,A/3,0）,

ADP=（0,73,1）.兄=（3,0,-1），PB=（O,V3,-1），

设平面PCZ）的法向量为“=（x,y,z），平面PCS的法向量为〃2，

n}-DP=\/3y4-z=0

所以令x=l,则6,31

々PC=3x-z=0

n-PB=6b-c=0

2令。=1,则％=（L后3-

n2-PC=3«-c=0

马.%二7

cos<4,%>=

k—ll^—l1]a3

7

由图可知，二面角3-CP-。为钝角，所以二面角3-CP-。的余弦值为：

/V

21.已知椭圆E:/+铲=1,（a>6>0）的左、右焦点分别为耳，鸟，焦距与短轴长均为4.

（1）求E的方程;

（2）设任意过尸2的直线为/交E于"，N,分别作E在点M,N上的两条切线，并记它们的交点为P,

过”作平行于/的直线分别交于4,B,求也也的取值范围.

\OP\

22

【答案】（1）3+J=1

84

（2）（0,1]

【分析】（1）根据焦距和短轴的公式求解即可；

（2）设/的方程为x=〃+2,知（不）。"（七,力），联立直线与椭圆的方程，根据椭圆的切线方

程，联立可得P（4,-2f）,设MN的中点为根据韦达定理可得。『,六，再结合三

角形与椭圆的性质可得R,o,Q,尸四点共线，从而化简IOA+O0=1L20,再根据。,P的横坐标关

\OP\\OP\

系，结合参数的范围求解即可

_______22

【详解】（1）由题意，2，洋_6=4,3=4,解得从=4,a2=8,故椭圆一+4-=1

84

（2）由题意，鸟（2,0）,显然/的斜率不为0,故设/的方程为x="+2,M（x„y,）,N（x2,y2）,

则.至十7口，gp（r2+2）y2+4ry-4=0,故%+必=-冷，耳必=一号.联立过M,N的切线方

x=ty+2

纪+里=1

程84，即卜必》+2》跖尸8>2,

型+也=]'2yMy，

,84

相减可得（与%-々乂卜=8（%-X）,即[（当+2）%一（优+2）乂上=8（%一乂），