2023-2024学年四川省成都市武侯区棕北中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市武侯区棕北中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32分）

1.下列图形是中心对称图形的是（)

A.C.XD.

2.若则下列各式正确的是（)

1,1

A.x+2<y+2B.x—2Vy—2C.—2x<—2yD.尹</

3.将分式方程=3化为整式方程,正确的是（)

A.x-2=3B.%+2=3C.x-2=3(x-2)D.%+2=3(%—2)

4.在△ABC中，点D,E是BC的三等分点，且△4DE是等边三角形，则乙B4C的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

5.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E,点4的对应点为点D,当点E恰好

落在边AC上时，连接4D,若乙4cB=30。，则NR4c的度数是（）

A.60°

B.65°

70°

D.75°

6.化简一+（久一3的结果为（）

x+2

A.B.—C.与

xXx—2

7.如图，正比例函数y=/c%（/c是常数，kWO）的图象与一次

函数y=—%+6的图象相交于点P,点P的纵坐标为4,则不

等式—％+6＞质的解集是（）

A.%>2

B.x<2

C.x>4

D.x<4

8.如图，在口4BCD中，对角线AC,BD相交于点。，点E,F分

别是AD,CD的中点，连接OE、OF,若0E=2,OF=3,则。48CD

的周长为()

A.10B.14C.16D.20

二、非选择题(88分)

9.因式分解：2/-18=

10.如果正n边形的一个内角与一个外角的比是2：1,则n的值为

11.若关于x的一元二次方程/+2%-1=0无实数根，则k的取值范围是

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段CD是由线段48平移得

到的，小颖不小心将墨汁滴到点B的坐标上，已知4C,。三点的

坐标分别为(2,1),(4,2),(3,4),则点B的坐标为.

13.如图，在A48C中，AB=10,BC=6,AC=8,分别以点4点8为

圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN交4c于

点。，则线段CD的长为.

3

%-4<-(x-1)

14.(1)解不等式组：•

3x+l1

2Q%-----<1

2,n+4

(2)计算:m4?

m2—1m—1m+1

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为力(1,1),B(5,3),C(3,4).

⑴画出△ABC关于原点。成中心对称的/4B1Q；

(2)画出△4BC绕点。按逆时针方向旋转90。所得到的42c2；

(3)根据(1)(2)画出的图形，求出ZAAi/的面积•

16.在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是

边长为a的正方形：卡片②是长为b,宽为a的长方形：卡片③是边长为b的正方形.

(1)卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为；

(2)小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所

示的大长方形，请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为；

(3)小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼

成一个大的正方形M，若a=1,6,b=2.8,求正方形”的边长.

abb

即

17.如图，在MBCD中，点E,F在对角线4c上，且4F=CE,连接BE,DE,BF,DF.

(1)求证：四边形5E0F是平行四边形;

(2)若4BAC=80°,AB=AF,DC=DF,求ZEBF的度数.

B

18.如图1,在△ABC中，AC=BC,/.ACB=120。，点。是边AB上一动点，将线段CD绕点C逆

时针旋转120。得到CE,连接8E.

⑴求4CBE的度数；

(2)连接AE,若4。=4,Z.ACD=30°,求线段4E的长；

(3)如图2,若4D=AC,BD=2,点M为CD中点，AM的延长线与BC交于点P,与BE交于点N,

求线段BN的长.

19.已知x=y+3,则——2xy+好的值为

+9工4%

20.已知不等式组［七％册的解集为x23,则m的取值范围是

21.如图，在平行四边形ABCD中，点尸是4。上的点,AF=2FD,

直线BF交4C于点E,BE交CD的延长线于点G,则般的值为

22.在平行四边形ABC。中，AB=2,^ABC=45°,将AABC沿对角线4c翻折，点B的对应

点为点E,线段EC与边4。交于点尸.(1)如图1,LACB=30°,求/FCD的度数；

(2)若ACDF是以CF为腰的等腰三角形，求线段BC的长；

(3)如图2,连接BE,C4的延长线交BE于点N,B4的延长线交EC于点M,当点M到BC的距离

最小值时，求出此时ABCN的面积.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：选项A、B、。都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，

所以不是中心对称图形.

选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：C.

根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题.

此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：A.-：x>y,

.•・x+2>y+2,原变形错误，故此选项不符合题意；

B.---x>y,

.-.x-2>y-2,原变形错误，故此选项不符合题意；

C."x>y,

-2x<-2y,原变形正确，故此选项符合题意；

D;：x>y,

原变形错误，故此选项不符合题意.

故选：C.

直接利用不等式的性质分别分析得出答案.

本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质.

3.【答案】D

【解析】解：去分母得：x+2=3(x-2),

故选：D.

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

4.【答案】C

【解析】解：•••点D,E是BC的三等分点，

：•BD=DE=CE,

A

B

•・•△4DE是等边三角形，

・・・AD=AE=DEf乙ADE=Z.AED=Z.DAE=60°,

・••AD=BD,AE=CE»

:.Z-B=Z.BAD,Z.C=Z-CAE,

•・•Z.ADE=Z-B+乙BAD,Z.AED=zC+Z.CAE,

/.乙BAD=30°,Z.CAE=30°,

・・・Z.BAC=Z.BAD+乙DAE+/.CAE=30°+60°+30°=120°,

故选：C.

由等边三角形的性质可得乙4DE=4/lEO=z_D4E=60。，4B=Z^BAD,zC=/.CAE,利用三角

形外角的额性质可求解NBA。=30。，/.CAE=30°,进而可求解.

本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，灵活利用等边三角形的性质解题的关键.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等.

由旋转性质知△ABC三△/)££1,据此得乙4cB=NDCE=30。、AC=DC,继而可得答案.

【解答】

解：由题意知AABC三△OEC,

则乙4cB=Z.DCE=30°,AC=DC,

r,1800-WCA1800-30°rr。

AZ.DAC=-------------=——-——=75°,

故选

6.【答案】D

【解析】解：原式=二一三

XX

_%—2x

—x(%+2)(x—2)

1

=7+2'

故选：D.

直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案.

此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

7.【答案】B

【解析】解：•••一次函数y=—x+6的图象经过点P,点P的纵坐标是4,

4=—X+6,

x=2,即P(2,4),

由图可得，不等式一x+6>kx的解集是x<2.

故选:B.

先求得点P的横坐标，再写出直线y=kx在直线y=-%+6下方时所对应的自变量的范围即可.

本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点P的坐标是解决问题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•.•四边形4BCD是平行四边形，

OA=OC,OB=OD,AB11CD,AD〃BC,

•••E、F分别是AB、力。的中点，

•••AB=20E=4,BC=20F=6,

ABC。的周长=2{AB+BC)=20.

故选：D.

根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可解决问题.

本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键.

9.【答案】2(x+3)(%-3)

【解析】解：原式=2(——9)=2(x+3)(x—3),

故答案为：2(x+3)(x-3).

先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解.

本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握提取公因式的技巧以及完全平方公式(a士b)2=

a2±2ab+广和平方差公式(a+b)(a-b)=a2-块的结构是解题关键.

10.【答案】6

【解析】解：设外角是x度，则内角是2x度，根据题意得，

x+2x=180,

解得x=60,

所以n—360+60=6.

故答案为：6.

正多边形的内角都相等，因而每个外角也分别相等，每个相邻的外角，与内角一定互补，又有内

角等于一个外角的2倍，就可以求出一个外角的度数.根据多边形的外角和是360。，就可以求出多

边形的边数.

考查了邻补角的定义，多边形的外角和的特征，掌握多边形的外角和的特征是解题的关键.

11.【答案】k<-l

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.

根据根的判别式即可求出答案.

【解答】

解：由题意可知：4=4+4fc<0,

Afc<—1,

故答案为k<-l.

12.【答案】(1,3)

【解析】解：•••点4(2,1)的对应点C的坐标为(4,2),

平移规律为向右平移2个单位，向上平移1个单位，

••・由。到B的平移规律为向左平移2个单位，向下平移1个单位，

•••点B的坐标为(3-2,4-1),即(1,3).

故答案为：(1,3).

根据点4、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可.

本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上

移加，下移减.

13.【答案】\

【解析】解：在△4BC中，AB=10,BC=6,AC=8,/

•••AC2+BC2=82+62=102=AB2,/

工=90°，

连接8D,8,

由作图知MN垂直平分4B,

AD—BD,

•・・zC=90°,

222

ABD=BC+CD,

222

A(71C-CD)=BC4-CD,

(8-CD)2=62+CD2,

二哈；

故答案为：

根据勾股定理的逆定理得到4c=90。，连接8D,由作图知MN垂直平分AB,得到/W=8D,根据

勾股定理即可得到结论.

本题主要考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关

键是正确画出辅助线，构造宜角三角形，用勾股定理求解.

x-4<1(x-l)@

14.【答案】解：⑴

2x-竽<1②

由①得：x>—5,

由②得：x<3,

—5<x<3；

2

⑵原式=瑞祥万税+高

m—22

m+1十m+1

m

?n+r

【解析】(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可;

(2)原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果.

本题考查了解一元一次不等式组以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

15.【答案】解:(1)如图,d&BiCi；即为所求;

(2)如图，44282c2即为所求:

1

(3)zVMi%的面积=5x2x2=2.

-5-

【解析】(1)利用中心对称变换的性质分别作出力，B,C的对应点儿,Bi，G即可；

(2)利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点&，B2,C2即可；

(3)利用三角形面积公式求解.

本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型.

16.【答案】解：(1)3+3+/)

(2)2a2+3ab+b2=(2a+ft)(a+b)

(3)根据题意得，正方形M的面积为：4a2+4ab+/=(2a+b)2,

•••正方形M的边长为(2a+b),

当a=1.6.b=2.8时,

2a+b=3.2+2.8=6.

故正方形M的边长为6.

【解析】(1)根据题意得卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为(。2+附+匕2),

故答案为：(a2+ab+£>2)；

(2)由图2知，矩形的长为(2a+6),宽为(a+b),

所以矩形的面积可表示为(2a+h)(a+b),

•，小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的大

长方形，

二矩形的面积也可表示为(2a2+3ab+b2),

・•・根据图2的面积可以写一个多项式的因式分解为2G2+3ab+b2=(2a+b)(a+b),

故答案为：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)；

(3)见答案.

(1)根据矩形的面积公式列出代数式便可；

(2)根据“矩形面积=长乂宽，矩形面积等于各部分面积之和”列出因式分解的选题关系便可；

(3)根据正方形M的面积等于各部分面积之和，列出代数式进行因式分解化成完全平方式，便可得

正方形M的边长，最后代值计算便可.

本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，关键是会用不同方法计算图形的面积.

17.【答案】(1)证明：在口力BCD中，AB=CD,AB//CD,

:.Z-BAF=乙DCE,

在△48尸和△COE中，

(AB=CD

\^BAF=乙DCE,

(AF=CE

・MABF三ACDE(SAS),

・•・BF=DE,乙DEF=(BFA,

・・・ED//BF,

・・・四边形8EDF是平行四边形；

(2)解：•.・四边形BED尸是平行四边形，

BE=DF,

vAB=DC=DF,

••AB=BE,

・•・(BEA=Z-BAC—80°,

・•・乙ABE=180°-2x80°=20°,

vAB=AF,

1

・・・乙ABF=Z.AFB=i(180°-80°)=50°,

:.Z-EBF=Z.ABF-乙ABE=50°-20°=30°.

【解析】(1)根据平行四边形的对边相等可得力B=CD,对边平行可得AB〃CD,再根据两直线平

行，内错角相等可得NB”=NDCE,然后利用“边角边”证明AABF三ACDE,故可得出结论；

(2)根据平行四边形的性质得AB=BE,然后根据等腰三角形的性质即可解决问题.

此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得出△

ABF=hCDEf再由全等三角形的性质得出结论.

18.【答案】解:(1)-AC=BC,Z.ACB=120°,

・・・Z.CAD=30°,

•・•Z.ACD+乙DCB=Z.DCB+乙BCE=120°,

:.Z-ACD=乙BCE,

XvAC=BCfDC=EC,

:.bACDdBCE(SAS)9

・・・乙CBE=ACAD=30°；

(2)过C点作CM1AB于点M,过点E作EN14B于点N,

断

由（1）知，AACDNABCE,/.CBE=/.CAD=30°,

v4ACD=30°,AD=4,

AD=CD=CE=BE=4,4ECB=4ABC=30°,

•••CE//AB,

vCM1AB,EN1AB,

.••四边形MNEC是矩形，

MN=CE=4,

在RtACOM中，Z.CMD=90°,4CDM="4D+乙4CD=60。,

•••乙DCM=30°,

：.DM=^CD=2,

同理可得，BN=9=2,

NE=VBE2-BN2=2y/~3>

•••AN=4。+DM+MN=4+2+4=10,

•••AE=VAN2+NE2=J102+2y/~32=4/7，

即4E的长为4/7;

(3)连接DP,过点N做NQ1PB于Q,

•・・/D=4C,点M为CD中点，

・・・4P是CO的垂直平分线，

・・・CP=OP,

v^CAD=30°,

・•・/.ACD=/.ADC=75°,

v/-ACB=120°,

・・・Z,DCP=乙ACB-乙4CD=120°-75°=45°,

・•・乙DPB=乙PCD+乙PDC=90°,

vBD=2,乙PBD=30°,

・・・DP=1BD=1,PB=VBD2-DP2=C，

设BN=x,则NQ=gx,BQ=JBN2-NQ?=?》，

•・・(NPQ=Z.CPM=45°,

1

:.PQ=NQ="，

vPB=PQ+QB,

...q=齐+与X，

解得x=3—-^~3<

即BN的长为3-

【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出NC4。的度数，证△4C。三ABCE,即可得出NCBE的度数；

(2)过C点作CM_LAB于点M,过点E作EN_L48于点N,分别求出AN,EN,然后利用勾股定理求

出4E即可；

(3)连接DP,得出4DPB=90。，PB=C，过点N做NQ1PB于Q,设BN=x,根据等腰直角三

角形的性质和含30。角直角三角形的性质列方程求解x即可.

本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的

判定和性质等知识是解题的关键.

19.【答案】9

【解析】解：：x=y+3,

•*,x—y—3,

・•・x2—2xy+y

（X-y）2

故答案为：9.

先利用完全平方公式变形得到原式=(%-丫下，然后利用整体代入的方法计算.

本题主要考查了完全平方公式.熟练掌握完全平方公式是解题的关键.完全平方公式：(a±b)2=

a2±2ab+b2.

20.【答案】m<1

fx+9<4x(1)

【解析1解：［曰②，

解不等式①得：x>3,

解不等式②得：x>2+m,

•••原不等式组的解集为x>3,

2+m<3,

解得：m<1.

故答案为：m<1.

分别把两个不等式解出来，根据解集为x23,即可求出m的取值范围.

本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键.

21.【答案】|

【解析】解：由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k,^7G

•••四边形4BCD是平行四边形，/

.-.AD//BC,AB//CD,AD=BC=3k,

竺_竺_2

~EC~~BC~39

B£_AE_2

~EG~~EC~3

故答案为：

^AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k,再利用平行线分线段成比例定理即可解

决问题.

本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用