2023-2024学年上海市奉贤区高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市奉贤区高二上册期末数学模拟试题

—：填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.抛物线C：的焦点坐标为.

【正确答案】(2,0)

【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.

【详解】由已知y2=8x,所以"=4

故孑=2,所以焦点坐标为：(2,0)

故(2,0)

2.数列｛%｝满足an+]=2an,若q=1,则a2=.

【正确答案】2

【分析】由递推公式即可求解

【详解】由an+i=2an,q=1可得/=2q=2,

故2

3.动点尸到两定点4—4,0)、8(4,0)距离之和为10,则点尸的轨迹方程为.

V2V2

【正确答案】—+^-=1.

259

(分析]利用定义法求点P的轨迹方程.

【详解】解：因为|/训+|尸目=10〉|/4=8,

由椭圆的定义可知，动点尸的轨迹是以为(-2,0),8(2,0)为焦点,长轴长为10的椭圆,

所以c=4,a=5,b°=a1-c1=9，

22

rv

所以点p的轨迹方程是—+2_=i.

259

4.在各项均不相等的等比数列｛6,｝中，q=7,$3=21,则公比q的值为

【正确答案】一2

【分析】利用等比数列通项公式的性质代入求解即可.

【详解】因为％=7,$3=21,

所以。+4+%=21，即7(1+«+/)=21,解得：代或“=一2.

因为数列｛可｝的各项均不相等，所以4力1,所以q=-2.

故一2.

5.过点(3,4)且与直线3x-y+2=0平行的直线的方程是.

【正确答案】3x-y-5=0

【分析】设所求的直线方程为3x—y+4=0,求出几即得解.

【详解】解：设所求的直线方程为3x-_y+；l=0,

把点(3,4)坐标代入方程3x一1+九=0得9-4+。=0,4=-5.

所以直线方程为3x—y—5=0.

故3x-y-5=0

6.与椭圆/+4/=16有相同的焦点，且一条渐近线为x+与=0的双曲线的标准方程

是：.

【正确答案】—-^-=1

93

【分析】由已知与椭圆》2+4产=16有相同的焦点，来确定双曲线的焦点位置为x轴和c

值，再由已知双曲线的渐近线方程，可以直接确定为y=±gx,也可以设出以岛=0为

渐近线的双曲线方程为:=%(/1>0)根据c求出；I,进而求出双曲线方程.

2

【详解】法一：X+4/=16—+^-=\

164

•*-Q2=16,〃=4c2=16—4=12

双曲线与椭圆—+4/=16有相同的焦点，

•••双曲线的焦点在X轴上，渐近线为卜=±2'

a

又双曲线的一条渐近线方程为X+岛=0,即y=—*x

—即4=-又。2=/+62=12

a3a29

*'-a2=9,b2=3

・,•双曲线的方程为工-亡=1

93

22

法二：x2+4y2—16=1

164

a~=16,/>2=4-1.c2=16-4=12

双曲线与椭圆/+4/=16有相同的焦点,

•,•双曲线的焦点在x轴

又双曲线的一条渐近线方程为x+Gy=O

•••设双曲线方程为y-^-=2(2>0)

X2v2

三—-=1(4>0)

3/171

/=34万=X

c2=34+几=4A=12

2=3

・•.双曲线的方程为工—广=1

93

本题考查了有共同渐近线的双曲线标准方程的求法.法一是确定焦点

位置，确定渐近线方程的形式，进而确定人氏c.法二是，设有共同渐近线的双曲线的方

程(带参数)片—片=%,由已知确定参数.

31

7.等差数列｛%｝中，4=2,公差"不为零，且%,心，%恰好是某等比数列的前三项,

那么该等比数列的公比为.

【正确答案】4

【分析】因为｛%｝是等差数列，故囚，内，都可用d表示，又因为q，a3,a”恰好

是某等比数列的前三项，所以有即可求出"，从而可求出该等比数列的公比.

【详解】等差数列｛4｝中，4=2,%=2+2dMu=2+10d,

因为力,4，即恰好是某等比数列的前三项，

所以有即(2+2J)2=2(2+10"),解得d=3,

。38

%=2,%=2+2X3=8,则等比数列的公比为二=彳=4,

q2

故4.

本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础知识、基本运算的考查.

8.若直线/的方向向量为：=（1,0,2>平面a的法向量为%=（一2,O,T），则直线/与平面

a的关系为.

【正确答案】/J.a

【分析】

利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.

【详解】解：；7=_21

：.a'//,

因此

故答案为

本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.

*2****72

9.已知圆G：（x-2）2+（y—2）2=1和圆。2'.X+（y-m）内切，则m的值为

7

【正确答案】一##3.5

2

【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出加的值.

【详解】解：圆G的圆心为（2,2）,半径为1=1,

圆。2的圆心为（°，〃?），半径为4="?，

所以两圆的圆心距d=+（2-加）~>

又因为两圆内切，有d=J（2-0）~+（2-=|加—，

7

解得m--.

2

故答案为.’7

2

）>>

10.如图把椭圆会+看=1的长轴AB分成8等分,过每个分点作X轴的垂线交椭圆的上半部

分于6,P2,£七个点，尸是椭圆的左焦点，则山尸|+|巴尸|++区产|=.

【分析】由已知得a=5,再取椭圆的右焦点E,根据椭圆的对称性得|助|=|的|,

\FP2\^\EP6\,|F^|=|£^|,再根据椭圆的定义即可求得答案.

E是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知产制=区闾，|£图=|砥|E图=但用，又

|%=5，

二I耳尸I+比同+忸尸I+阳尸|+1岁1+区尸|+山尸|

=但用+|砥|+|欧|+5+但©+—用+|码|=20+24+24+5=35.

故答案为.35

本题考查椭圆的对称性，椭圆的定义，是中低档题.

11.数列｛4｝的前〃项和S,=（〃2一2〃（〃是正整数），数列｛〃｝满足

b“=色色（〃eN*）,则数列也｝中值最大的项和值最小的项和为.

Q〃

【正确答案】2

（分析］先利用｛%｝的前n项和计算出-2，再结合函数,（*）=1+二号的单调性,

2X~2

得出数列｛〃｝中值最大的项和值最小的项，计算结果即可.

113

【详解】因为解=一〃29—2〃,则q=S1=――2=——,

222

且%=S“一S“T=,

3

经验证符合该通项，

故"册l+a„〃_5,…*）

2

因为仆）=1+二y在’8怖）和停产）均为减函数，

故有1>4〉均，4>为〉a>>1,

则数列也,｝中值最大的项为4=1+1丁'=3，最小的项为4=1+二

22

故8+4=3—1=2,

故2.

12.已知曲线C：型—世1=1,下列叙述中正确的命题是

a2b*'------------

（1）垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点

（2）直线y=丘+加（%,〃zeR）与曲线C最多有三个交点

（3）曲线。关于直线V=-X对称

（4）若片（外,必），鸟“2，%）为曲线。上任意两点，则有之二&>。

玉一々

【正确答案】（1）、（2）、（4）

【分析】先逐个象限判断方程轨迹，大致画出图像，结合图像分析.

【详解】设尸是曲线上的点,

y2

当x>0,y>0时,1,

从轨迹为双曲线的一部分，渐近线为歹=，x：

即

x2

当x<0,v>0时，----1等式不成立，故第二象限无轨迹;

cTb2

2

当x<0,产0时，——x-4-

a

即夕=,轨迹为双曲线的一部分，渐近线为yy=-x；

\a2a

当x>0,产0时，g+g=l，即y=—/>2—与轨迹为椭圆的一部分

由图可知，垂直于x轴的直线与曲线只有一个交点，故（1）正确；

由于一、三象限内的轨迹都以N=-x为渐近线，

a

故直线y="+"i在一、三象限内最多与曲线有两个交点，

在第四象限中最多与椭圆的一部分有两个交点，且不能同时出现，

当在一象限内与曲线有两个交点，则三象限内无交点，在第四象限中最多与椭圆有一个交点

故直线与曲线最多有三个交点，故（2）正确；

设曲线上的任意在第一象限的点M的坐标为（X0，K）,XO〉0,”〉0

且它关于V=-X的对称点为（―%,—%）,

2y2

代入第三象限曲线方程-三x+=1中,

a~b2

得乌-乌=1，两个方程不一致，则其不关于直线y=-X对称，故（3）错误;

a2h2

由图可以看出，轨迹为递增函数，故斜率匚豆>0恒成立，故（4）正确.

石一马

故（1）、（2）、（4）

二、选择题（本大题共有10题，每题5分，共50分）

13.方程》2+_/=1（9<0）的曲线形状是（）

【分析】根据方程表示的图形形状及对应区域即可判断作答.

【详解】方程/+产=1（肛＜o）表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、第四象限内的

部分，

所以选项C满足.

故选：C

14.设双曲线/蒋的渐近线方程为3x±2y=0,则。的值为（）

A.4B.3C.2D.1

【正确答案】C

【分析】先根据双曲线5-5=1（。＞0）求出渐近线方程，再与3x±2y=0比较即可求出“

的值.

【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线点•-1=1（。＞0）的渐近线方程为y=±/X,

又因为渐近线方程为3x±2y=0,即y=±L,故a=2,选C.

本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题.

15.椭圆5x2+如2=5的一个焦点是（0,2）,那么左等于（）

A-1B.1C.y/5D.-V5

【正确答案】B

【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据/表示出c,并根据焦

点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值.

x2+/._]

【详解】把椭圆方程化为标准方程得:5~,

I

因为焦点坐标为(0,2),所以长半轴在y轴上，

则c-J.—1=2，解得k=\.

故选B.

本题考查椭圆的方程以及利用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题.

16.过抛物线k=4x的焦点作直线交抛物线于/(玉,凹)，8(%,8)两点，若花+赴=6,

则|48|的值为

A.10B.8C.6D.4

【正确答案】B

【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长»目.

【详解】根据过抛物线焦点的弦长公式有|力同=玉+%+?=6+2=8.故选区

本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，即恒川=玉+々+P.要注意只有过抛物线焦点

的弦长才可以使用.属于基础题.

11111/

17.用数学归纳法证明1—----------=----+-----++—则

234In-12nn+\n+22〃'

从左到左+1时左边添加的项是()

1111

B.---------------------C.----------------------D.

2k+l2k+22左+42k+2

1_______1

2k+\~2k+2

【正确答案】D

【分析】根据式子的结构特征，求出当〃=左时,等式的左边，再求出〃=4+1时，等式的

左边，比较可得所求.

【详解】当〃=左时，等式的左边为1—!+!—,+...+------V

2342k—12k

当〃=k+1H寸，等式的左边为1----1-------h+2k-\~2k+2k+l~2k+2

234

故从“〃=左到〃=左+1"，左边所要添加的项是--------------.

2k+12k+2

故选：D.

本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从〃=左到〃=左+1项的变化.

18.“公差为0的等差数列是等比数列”：“公比为g的等比数列一定是递减数列”；“。，

b,c三数成等比数列的充要条件是从=""；三数成等差数列的充要条件是26=a+c”，

以上四个命题中，正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】A

【分析】举反例说明前三个命题是错误的，分析得到第四个命题是正确的.

【详解】解：命题“公差为0的等差数列是等比数列”是错误的，如数列0,0,0,L,0,

是公差为零的等差数列，但是不是等比数列；

命题“公比为1的等比数列一定是递减数列”是错误的，如数列-1,-L-L-是

224816

公比为g的单调递增数列；

命题“a,h,C三数成等比数列的充要条件是62=改”是错误的，如。=1/=0,。=0满足

b?=ac，但是a,b,c不成等比数列：

命题为,b,c三数成等差数列的充要条件是26=a+c”是正确的，因为a,b,c三数成等差

数列，所以26="+c；当2b=a+c时，b-a=c—b,

所以a,b,c三数成等差数列；所以“a,b,c三数成等差数列的充要条件是那=a+c”.

故选：A

19.已知直线/：/nx+y+l=0,4L0),8(3,1),则下列结论正确的是()

A.直线/恒过定点(0,1)B.当加=00寸，直线/的斜率不存在

7T

C.当初=1时，直线/的倾斜角为一D.当初=2时，直线/与直线48垂

4

直

【正确答案】D

【分析】由题可得直线恒过定点（0,-1），然后结合斜率公式逐项分析即得.

【详解】直线/：〃a+>+1=0,故x=0时，了=-1,故直线/恒过定点（0,-1）,选项A

错误；

当m=0时，直线/：y+l=O,斜率左=0,故选项B错误；

37r

当〃7=1时，直线/：X+y+l=0,斜率左=一1,故倾斜角为一，选项C错误；

4

1-01

当加=2时，直线/:2x+y+l=0,斜率左=—2,kAB=——=—,

故人人.=一1，故直线/与直线48垂直，选项D正确•

故选：D.

20.己知｛%,｝是等比数列，a2=2,牝=:，则4巴2a3+…+4%+1=（）

A.16（1-4-"）B.16（1-2-"）C.y（l-2-rt）D.

争-巧

【正确答案】D

【分析】由《=2，a可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出

54

4AlM=（g）27，得数列｛%Q.+J是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案

a.11

【详解】由题得上二93=7，，4=不

%82

所以田=（夕±（；广=（；产5.

所以45包=!，所以数列缶〃｝是一个等比数歹（J.

%a“4

中心1

所以％°2+a2a3+,•,+ananl=

+1-1

故选：D

22

21.椭圆5+与=1(4〉。〉0)的左，右顶点分别是48,左，右焦点分别是片，鸟，若

ab

卜用，出入I,忻即成等比数列，则此椭圆的离心率为

A.-B.—C.1D.

452

V5-2

【正确答案】B

［详解1：|^|=a-c\F{F21=2c,|片同=a+c由耳旧巴|,|耳闿成等比数列得

(2»=(a-c)(a+c)即/=502=>e=¥

【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念.属基础题

22.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗

中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营

所在的位置为8(-1,0),若将军从山脚下的点0(0,0)处出发，河岸线所在直线方程为

x+y=3,贝产将军饮马”的最短总路程是()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】D

【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解.

【详解】如图所示，作点。关于直线x+y=3的对称点Z(XoJo),连接AB交直线于点C,

此时路程和最小，

由题知，点4(%,乂))满足:

工+为=3

2?/、

«y_0，解得：“0=3,"=3,即点2（3,3）,

因为|oq+忸q=hc|+忸q=MM，

所以“将军饮马，，的最短总路程为|/回=J㈠-3）2+（0.3）2=5,

故选：D

三、解答题本大题共有3题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题

号）内写出必要的步骤.

23.在等差数列｛%｝中，％+4=29,%+4=35・

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列,“+%｝是首项为1,公比为3的等比数列，求数列｛4｝的前〃项和S,,.

【正确答案】（1）an=3n-2（weN,）

，八°—3〃2+〃+3”-1

"2

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,由题意可得2d=（。4+49）—3+心）=6,

29=4+仆=2卬+9"=26+27,解方程即可得出答案；

（2）由题意求出%+〃=3"T,即可求出｛4｝的通项公式，最后由等比和等差数列的前〃项

和公式即可求出答案.

【小问1详解】

设等差数列｛a,J的公差为d,

则2d=（4+为）_（%+%）=6,

:.d=3,

由29=%+4=2。］+9d=2%+27,

q—1,

数列｛4｝的通项公式为%=3〃—2（〃eN*）.

【小问2详解】

1

•数列｛an+b„］是首项为1,公比为3的等比数列，所以勺+〃=3-,

则“=-3〃+2+3"T,

1+2

所以数列｛4｝的前〃项和S„为：5„=»(-^»)+lz£=—3〃-+;+3“-1

-3«2+«+3"-1

所以S“

24.已知椭圆C：/=十+4立.=13>&>0)的右焦点厂(1,0),右顶点儿且|4F|=1.

01

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若动直线/：>=自+机与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点°,问：是

否存在一个定点MQ,0),使得M3MS=O?若存在，求出点〃的坐标；若不存在，说明

理由.

【正确答案】(1)土+2=1：(2)存在M(l,0)符合题意.

43

【分析】(1)题意中的条件是c=l,a—c=l,从而可得。力，得标准方程；

(2)由直线与椭圆只有一个公共点(联立方程组，用判别式为0得)可得参数加，左的关系

式为加2=3+4尸，从而可得尸点坐标，设定点为〃90),则加:与左，加无关，由

此可得，值，说明存在，若得不出，值，说明定点不存在.

【详解】解：(1)由c=l,a—c—1>得a=2,b=y/3，

所以椭圆C的标准方程为—+^=1.

43

y=kx+m

⑵由《得(3+4k2)x2+8kmx+4/H2—12=0,

所以△=64乃加2-4(3+43)(4m2-12)=0,

.,.4ktn4k.3广一J4左3

即Hn加2=3+4*，Xp=------7=,yp=kxp+m=—,所以尸，一

3+4%mm\mm

(4k3、

因为M«,0),又0(4,4%+阳)，MP=\-----,MQ=(4—f,4人+加)，

mm

所以二(-4--k---1—卜(4_/,4k+m)=1_4/+3+_4(k/_i)=o恒成立，

\mm)m

t-1

故曰2_书+3_0，解得f=l.所以存在点Ml，0)符合题意.

本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的定点问题，有一定的难度.解决此类问题常常用到

设而不求思想.同时注意韦达定理的应用.本题是设定点，定关系，确定无关性，得结论.

25.给出定理：在圆锥曲线中，48是抛物线「：V=2px(p>0)的一条弦，。是48的中

点,过点C且平行于X轴的直线与抛物线的交点为。.若48两点纵坐标之差的绝对值

\yA-yB\=a(«>0),则根。8的面积治的=」-,试运用上述定理求解以下各题：

16P

(1)若p=2,ZB所在直线的方程为y=2x—4,C是48的中点，过C且平行于x轴

的直线与抛物线「的交点为。，求S^DB；

(2)已知Z8是抛物线「：/=2px(p>0)的一条弦，。是Z8的中点，过点C且平行于x

轴的直线与抛物线的交点为。，E、尸分别为/。和8。的中点，过£、尸且平行于x轴的

直线与抛物线「V=2px(p>0)分别交于点河、N,若43两点纵坐标之差的绝对值

加―九|="(。>0),求心M0和；

(3)请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：/=2px(p>0)与弦46围成成

的“弓形”的面积，并求出相应面积.

,7333

【正确答案】(1)7；(2)S4皿=&，S=含；(3)设计方法见详解，S=*

4128P