2022-2023学年山东省青岛市平度市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市平度市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（）

2.用配方法解一元二次方程--8x-11=0时，下列变形正确的是（）

A.（%-4）2=5B.（x+4）2=5C.（x-4）2=27D.（x+4）2=27

3.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸

一棵树T的位置,7在P的正北方向，且T在Q的北偏西70。方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）

二,东

A.200tcm70°米B.二^米C.200s讥70°米D.^^米

tan7Qsin70

4.关于二次函数y=%2+2X-8,下列说法正确的是（）

A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为（0,8）

C.图象与％轴的交点坐标为（2,0）和（4,0）D.函数的最小值为-9

5.已知函数y=—j当一2cx<-1时，y的取值范围是（）

1

A.1<y<2B.-<y<1C.-2<y<-1D.—1<y<--

6.如图，在正方形ABC。中，AB=3,点E,尸分别在边4B,CD上,

乙EFD=60°,若将四边形EBCF沿EF折叠，点夕恰好落在边上,

则BE的长度为（）

A.1

B.<2

<3

D.2

7.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点。为位似中心

的位似图形，若4(3,0),8(2,-1),C(6,0),则点B的对应点。的坐标

为()

A.(4,-2)

B.(6,-3)

C.(4,2)

D.(6,3)

8.已知二次函数y=a/+匕％+c(a40)的图象如图所示,

则下列结论正确的是()

A.abc<0

B.b2-4ac<0

C.2a+b=0

D.a—b+c<0

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

9.已知a为锐角.若sina=?，则a=°.

10.如果将抛物线y=/向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是.

11.某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房

成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月

份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米

兀.

12.某几何体的三视图如图所示,

主视图左视图俯视图

13.如图，当太阳光与地面上的树影成45。角时，树影投射在墙上的

影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高2B等于

______米.

14.如图，中，4c=90。，AC=3cm,BC=4cm,。是

力B上一点，DE14C于点E,DF_1.BC于点F,边接E凡则EF的最

小值为cm.

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

15.（本小题4.0分）

已知：RtAABC,/.B=90°.

求作：点P，使PA=PB=PC.

16.（本小题8.0分）

已知关于x的一元二次方程*2-2x+m2=0.

（1）若该方程的一个根为x=：,求实数小的值；

（2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围.

17.（本小题6.0分）

甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2,3,5.将三

张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上,甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回选匀，乙再随机

抽取一张.若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜

.这个游戏公平吗？请说明理由.

18.（本小题6.0分）

学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长4c=12m,

坡角a为30。，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角£为27。，最近端的光线恰好与

地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60。，4、B、C、。在同一平面上.（结果精确到

0.1m.参考数据：sin27°«0.45,cos27°«0.89,tan27°«0.51,「a1.73.）

（1）求灯杆AB的高度；

（2）求CD的长度.

19.（本小题6.0分）

如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，

火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蟒烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时,

y=2.

（1）求y关于x的函数解析式.

（2）若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.

如图，AB//CD,AC与B。交于点E,且4B=6,AE=3,AC=12.

(1)求CD的长.

(2)求证：^ABE-HACB.

21.(本小题8.0分)

如图，在Rt△力BC中，^ACB=90°,过点C的直线MN//4B,。为AB边上一点，过点。作DE1

BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.

(1)求证：CE=AD；

(2)当。在48中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由.

22.(本小题10.0分)

某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高与他，与篮

圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4小时到达最大高度4M，设篮球运行轨迹为

抛物线，篮圈距地面3m.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否

获得成功？

23.(本小题10.0分)

QoH------------------i--------

阅读理解：4表示一个数，若把数4写成形如Q1+,1-的形式,其中。0,%,。3,…，

a+

2—r

a3+~

都为整数.则我们称把数4写成连分数形式.

例如：把2.8写成连分数形式的过程如下：

1

2.8-2=0.8,1.25；

U.O

]

1.25-1=025,康=4,4-4=0.故：23=2+率

学以致用：

(1)把3.245写成连分数形式不完整的过程如下：

3.245-3=0.245,^77=4.082；

0.245

4.082-4=0.082,需=12.25；

U.UoZ

12.25-12=025,康=4,4-4=0.故：3,245=劭+

则Q。=;a2=;

(2)请把£写成连分数形式；

拓展应用：

小明在“把长为3,宽为2的长方形纸片，从中裁剪出正方形，使剪出的正方形最少且长方形

纸片无剩余”的实验操作中，发现最少正方形个数和“把|化为连分数形式”有关联.

即：长为3,宽为2的长方形纸片可以剪出一个边长为2的正方形和两个边长为1的正方形，放

最少正方形3个.5写成连分数形式为|=1+提发现3=1+2.

参考小明的思路，请你通过特例感知，类比归纳等方法，解决下面问题：如图是长为47,宽

为10的长方形纸片，从中裁剪出正方形，若长方形纸片无剩余，则剪出的正方形最少是几个？

10

47

请直接写出券化成连分数的形式和“剪出的正方形最少”时正方形的个数.

24.(本小题12.0分)

如图①，在四边形4BCD中，AD//BC,=90。，AD=6,BC=9,CD=5,点P从点4出

发，沿射线4D以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个

单位长度的速度向点B运动.当点Q到达点B时，点P,Q停止运动，设点Q运动时间为t秒.

(1)求AB的长；

(2)当运动停止时，求线段。P的长；

(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t,使以P,D,C,Q为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由.

(4)如图②，若点E为BC边上一点，且BE=5,当APBE是以BE为腰的等腰三角形时，求t的

值.

BC

图①图②

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项错误；

氏长方体的三视图不相同，故此选项错误；

C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项错误；

。、球的主视图和左视图、俯视图都是圆，故此选项正确；

故选：D.

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.

2.【答案】C

【解析】解：x2—8x=11,

x2—8x+16=27»

所以(％—4)2=27,

故选：C.

先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16,然后把方程左边写成完全平方形式即可.

本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平

方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

3.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键.

在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及NPQT的度数，进而得到NPTQ的度数，根据三角函数即

可求得P7的长.

【解答】

解：^.Rt^PQT^,

•：乙QPT=90°,乙PQT=90°-70°=20°,

•••乙PTQ=70°,

•••tan700=篝，

乌

tan70tan70

200

即河宽3米,

tan70

故选：B.

4.【答案】D

【解析】解：4、，.,二次函数y=7+2%—8=(x+1)2—9,.•.图象的对称轴x=—1,故A不正

确，不符合题意；

8、•.•图象与y轴的交点坐标为(0,-8),二8不正确，不符合题意；

C、•.•y=x2+2x-8=Q+4)(x-2),.••图象与工轴的交点坐标为(2,0)和(-4,0),故C不正确，

不符合题意；

•二次函数y=/+2x—8=(x+1产-9,顶点坐标为(一1,-9),a=1>0,.,.函数值有最小

值为-9,故。正确，符合题意；

故选：D.

将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答.

本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化

为顶点式的方法.y=(x-h)2+k的对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k)；a>0时，函数开口向上，

在对称轴左边，y随久的增大而减小，在对称轴右边，y随工的增大而增大，a<0时，函数开口向

下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小.

5.【答案】A

【解析】解：,••在y=—:中，一2<0,

・•.第二象限内，y随x的增大而减小，

.•.当x=—1时，y有最大值2,当x=—2时，y有最小值1,

.♦.当一2<x<—1时，l<y<2,

故选：A.

根据反比例函数的增减性可求得答案.

本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：••・四边形4BCD是正方形，

AB//CD,乙4=90°,

•••乙EFD=乙BEF=60°,

,••将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在4。边上,

乙BEF=乙FEB'=60°,BE=B'E,

Z.AEB'=180°-乙BEF-乙FEB'=60°,

vNAB'E=90°-^AEB'=30°,

B'E=2AE,

设BE=x,则B'E=x,AE=3-x,

:，2(3—x)=x,

解得x=2.

故选：D.

由正方形的性质得出ZEFD=乙BEF=60°,由折叠的性质得出NBEF=/.FEB'=60°,BE=B'E,

设BE=x,则B'E=x,AE=3-x,由直角三角形的性质可得：2(3-x)=x,解方程求出x即

可得出答案.

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30。角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性

质进行推理是解此题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：•••△40B与ACOD是以点。为位似中心的位似图形，相似比为1：2,

二点B的坐标为(2*2,-IX2),即(4,一2),

故选:A.

根据位似变换的性质计算，得到答案.

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似

比为匕那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

8.【答案】C

【解析】解:・抛物线开口向上，

•••a>0,

••・抛物线的对称轴为直线x=-?=1,

2a

:.b=-2a<0,

••,抛物线与y轴的交点在x轴下方，

・•・c<0,

abc>0,所以①不正确；

•・・抛物线与％轴有两个交点，

b2—4ac>0,所以②不正确；

vb=—2a,

•-2a+b=0,

所以③正确；

TX=-1时、y>0,

a.—b+c>0,

所以④不正确.

故选：C.

利用抛物线开口方向得a>0,利用对称轴方程得b=-2a<0,利用抛物线与y轴的交点位置得

c<0,则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；利用6=-2a可对③进

行判断；利用对称性可对④进行判断.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时，

抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位

置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当Q与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴

交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：4=/一4区>0时，抛物线

与x轴有2个交点；4=乂—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；A=b2-4ac<0时，抛物线与

x轴没有交点.

9.【答案】60

【解析】解：vsin30°=

:.a=60°.

故答案为：60.

根据特殊角的三角函数值计算.

本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键.

10.【答案】y=x2+3

【解析】解：抛物线y=/向上平移3个单位得到y=/+3.

故答案为：y=x2+3.

直接根据抛物线向上平移的规律求解.

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的

抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数

法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

11.【答案】7290

【解析】解：设去年房价在10月份、11月份的下降率为X,

根据题意得：10000(1-x)2=8100,

解得：%!=0.1=10%,%2=1.9(不符合题意，舍去)，

•••8100(1-尤)=8100x(1-10%)=7290,

12月份的房价单价为每平方米7290元.

故答案为:7290.

设今年房价在9月份、10月份、11月份的下降率为X,利用今年9月份的房价=今年1月份的房价x

(1—今年房价在10月份、11月份的下降率产，即可得出关于x的一元二次方程.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

12.【答案】67r

【解析】解：根据三视图转换为几何体的直观图：该几何体为圆柱，底面直径为2,高为2；

所以该几何体的侧面积为：ndh=2x3n=6n.

故答案为：67r.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面积.

本题考查三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的侧面积公式的应用，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.根据三视图转换为几何体是解题的关键.

13.【答案】10

【解析】【分析】

本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子

就是平行投影.

过。作DH14B于如图，易得四边形BCD"为矩形，则OH=BC=8米，CO==2米，利

用平行投影得到44。"=45。，则可判断△4DH为等腰直角三角形，所以4H=DH=8米，然后计

算AH+BH即可.

【解答】

解：过。作于H,如图，易得四边形BCD”为矩形，

则。H=BC=8米，CD=BH=2米，；左、

根据题意得：乙4。〃=45。,

所以△4）//为等腰直角三角形，

所以AH=DH=8米，

所以4B=AH+BH=8+2=10（米）.

故答案为：10.

14.【答案】2.4

【解析】【分析】

本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CO148时，线段EF的值

最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程.连接CD,利用勾股定理列式求出AB,

判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD,再根据垂线段最短可得CDJL

AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.

【解答】

解：如图，连接CD.

A

AB=V32+42=5(cm)，

vDELAC,DF1BC,NC=90。，

••・四边形CFDE是矩形，

EF=CD,

由垂线段最短可得CDLAB时，线段EF的值最小,

此时，ShABC=^BC-AC=^AB-CD,

即gx4x3="x5.CO,

解得CD=2.4(cm),

.・.EF=2.4cm.

故答案为2.4.

15.【答案】解：如图:

点P即为所求.

【解析】作边BC的垂直平分线交4c于P,则P4=PB=PC.

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作垂直平分线的方法.

11

2即2

-O1+=O

16.【答案】解：(1)把乂=；代入/—2%+血2=0得：4-4-

解得：m=

-2

(2)•••该方程有实数根，

0,即/=(―2)2—4m2>0,

解得一1<m<1.

【解析】(1)先把x=2代入原方程得到血的一元一次方程，求出m的值；

(1)根据一元二次方程根的判别式可知0,Zl=(-2)2-4m2>0,然后不等式的解集即可.

本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0(a消0)的根的判别式A=b2-4ac：当4>0,方程有

两个不相等的实数根；当21=0,方程有两个相等的实数根；当2<0,方程没有实数根.也考查

了一元二次方程的定义.

17.【答案】解：不公平，理由如下：

从树状图可以看出，共有9种等可能的情况数，其中两人抽取数字和为2的倍数有5种，抽取的数

字和为5的倍数有3种,

所以甲获胜的概率为葭乙获胜的概率为

yyo

51

->-

93

・••甲获胜的概率大，游戏不公平.

【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两人抽取的数字和为2的倍数的情况

数，然后根据概率公式求出甲和乙获胜的情况数，再进行比较，即可得出答案.

本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平,

否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.【答案】解：(1)延长B4交CG于点E,

贝IjBE1CG,

在收△ACE中，NACE=30。，AC=12m,

:.AE-；4c=1X12=6m,CE=AC-cosa=

12x—=6v_

在BCE中，Z.BCE=60°,

BE=CE-tarizFCE=6V_3xV-3=18m>

•••AB=BE-AE=18-6=12m；

(2)在RtABOE中，Z.BDE=27°,

・•・Dp.E厂=---BE«77777«1835.3cml,

tan乙BDE0.51

CD=DE-CE=35.3-6c«24.9m.

【解析】（1）延长B4交CG于点E,根据直角三角形的性质求出AE,根据正切的定义求出CE,再根

据正切的定义求出BE,计算即可:

（2）根据正切的定义求出。E,进而求出CO.

本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键.

19.【答案】解：（1）由题意设：y=（,

把x=6,y=2代入，得k=6x2=12,

••.y关于x的函数解析式为：y=玛；

(2)把y=3代入y=竽，得，x=4,

二小孔到蜡烛的距离为4cm.

【解析】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答.

(1)根据待定系数法得出反比例函数的解析式即可；

(2)根据解析式代入数值解答即可.

20.【答案】(1)解：♦；4E=3,AC=12

CE=AC-AE=12-3=9^

AB//CD,

CDE~&ABE；

CD_C£

AB~AEf

…ABCE6x9

：•CD=-77T-18;

AE—

(2)证明:•嚼=|1__6__1

2fAC12^29

AE__AB

AB~AC9

v,

ABE^LACB.

【解析】(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；

(2)利用相似三角形的判定解答即可.

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△48E〜△4C8.

21.【答案】（1）证明：・.・DE_LBC,

・•・乙DFB=90°,

v乙ACB=90°,

:.Z.ACB=Z.DFB,

・・・4C〃DE,

vMN//AB,即CE〃AD,

・・・四边形4DEC是平行四边形,

・・・CE=AD；

(2)解：四边形BECD是菱形，理由如下:

•・・。为43中点，

AD—BD,

•・・CE=AD,

・•・BD=CE,

vBD//CE,

四边形BECD是平行四边形，

vZ.ACB=90°,。为AB中点，

•••CD—BD,

四边形BECD是菱形.

【解析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

(2)求出四边形8ECD是平行四边形，求出CD=8。，根据菱形的判定推出即可.

本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运

用定理进行推理的能力.

22.【答案】解：(1)根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：

4(0,204),8(4,4),C(7,3)

设二次函数解析式为y=a(%-4)2+4,aHO

将点(0,给代入可得：16Q+4=等

解得:a=-i,

••・抛物线解析式为：y=—g(x-4)2+4；

将C(7,3)点坐标代入抛物线解析式得：

1

A--(7-4)2+4=3

.•.左边=右边

即C点在抛物线上，

••・此球一定能投中；

(2)能拦截成功.

理由：将x=1代入y=-g(x-4>+4得y=3,

•••3<3.1

•••他能拦截成功.

【解析】【分析】

(1)观察函数图象可知：抛物线经过点(0,普)，顶点坐标是(4,4),篮圈中心的坐标是(7,3).设抛物线

V

的解析式是y=a(x-4)2+4,根据抛物线上点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，

再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；

(2)将％=1代入丫=一^(%-4)2+4得)/=3进而得出答案.本题考查了二次函数的应用、待定系

数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)观察函数图象找出

点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)代入久=1求出y值.

23.【答案】312

【解析】解：(1)由题意得：a0=3,a2=12；

故答案为：3,12；

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