2023-2024学年河北省邯郸市鸡泽重点中学高三（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省邯郸市鸡泽重点中学高三（上）第一次月

考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={X|QVx<Q+1},B={%|3+2%—/>0},且4nB=4则实数Q的取值

范围为（）

A.（—3,0）B.[-3,0]C.[—1,2]D.[-2,1]

2.复数曷在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知aE（0,7i）,且3cos2a+7cosa=0,则sina的值为（)

ATB.\C.1D*

333

4.已知函数/（x）=xbix+Q在点（1J（1））处的切线经过原点，则实数a（）

A.1B.0C.—D.—1

e

5.已知函数/（X）=aex一）工在区间（1,2）上单调递增，则a的最小值为（）

A.e2B.eC.e-1D.e-2

6.若直线y=%+b与曲线y=3—，4%-％2有公共点,则b的取值范围是（）

A.[1-2y/~2t1+2y/~2]B.[1一6,3]

C.[-1,1+2>T2]D.[1-2yT2f3]

7.函数/（x）=夸箸的大致图像是（）

B.

8.已知/(x)是定义域为(-8,+8)的奇函数，满足f(l-x)=/(I+X),若/'(1)=2,则/'(1)+

/(2)+/(3)+-+/(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.如图，正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为1,则下列四

个命题正确的是()

A.直线BC与平面所成的角等于:

B.点C到面4BGO1的距离为殍

C.两条异面直线5C和BQ所成的角为:

D.三棱柱445-BBiQ外接球半径为殍

10.若函数/(x)=[一一9+3)x+2a+3]e*在x=1处取得极小值，则实数a的取值可以为

()

A.2B.1C.0D.-1

11.下列说法正确的是()

A.命题“VxGR,x2>-1"的否定是GR,X2<一1"

B.命题“mxG(-3,+oo),x2<9"的否定是“Vxe(-3,+oo),%2>9”

C.>y2”是“x>y”的必要而不充分条件

D.am<0”是“关于x的方程/-2x+m=0有一正一负实数根”的充要条件

12.若过点(2,0)有两条直线与圆/+y2_2x+2y+?n+1=0相切，则实数m的可能取值

是()

A.-3B.3C.0D.i

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量有，B夹角为45。，且|五|=1,|2五一倒=CU，则|3|=.

14.在正四棱台ABC。—4B1GD1中，AB=2,4当=1,=C，则该棱台的体积为

15.已知函数/'(x)=2sin@x+$(3>0),若在区间(0,兀)上有两个不同的x使得/(x)+

y/-2=0>则3的取值范围是.

16.已知乙,尸2分别为椭圆C：号+Al(a>b>0)的两个焦点，右顶点为4。为Aa的中

点，且居。14尸2,直线尸1。与C交于M,N两点，且A4MN的周长为28,则椭圆C的短轴长为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在锐角△力BC中，a、b、c分别为角4、B、C所对的边，且Ca=2csinA

(1)确定角C的大小；

(2)若c=C，且AABC的面积为日X求a+b的值.

18.(本小题12.0分)

设等差数列｛%｝的公差为小前n项和为方,等比数列｛&｝的公比为q,已知瓦=%,b2=2,

q=d,Si。=100.

(1)求数列｛6｝,｛b｝的通项公式；

(2)当d>l时，记金=最，求数列｛0｝的前n项和加

19.(本小题12.0分)

在四棱锥P-48CD中，PDJ_底面4BC。，CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/~l.

(1)证明：BD1PA；

(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.

p

20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=Inx+ax(aGR).

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)设g(x)=f(x)+/+2,若g(x)至少有两个不同的零点，求a的最大值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=x—alnx{aeR)

(1)讨论函数/'(x)的单调性；

(2)若不等式;"(X)20恒成立，求a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

的右焦点为尸一条渐近线方程为，

己知双曲线C：^1-4=l(a>0/>0)(2,0),X-3y=0.

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为A、B,过户的直线，交C的右支于M,N两点，连结MB交直线x=|

于点Q,求证：力、Q、N三点共线.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为集合8={x|3+2x—x2>0}={x|-l<x<3},AC\B=A,

所以力cB,

所以解得一1WaW2.

故选：C.

由已知可得aUB,然后结合集合包含关系即可求解.

本题考查集合的运算和表示方法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

2.【答案】c

…51-i(l-<)(2-3i)-l-5i15.

［解UI1解：v2+31=(2+3i)(2-3<)=13=~13~Y31)

复数目:在复平面内对应的点的坐标为(-；-卷)，位于第三象限.

故选：C.

直接利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.

本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由3cos2a+7cosa=。得3(2cos2a-1)+7cosa=0,即6cos2a+Jcosa-3=0>

所以(2cosa+3)(3cosa-1)=0,又aC(0,兀)，则cosaC(—1,1),

所以cosa=

所以sina=，1-cos2a=

故选：D.

先用余弦的二倍角公式解出cosa,再用平方关系即可求出s讥a.

本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：函数f(x)=xlnx+a,

/'(x)=Inx+1,・•・//(l)=1,

切线方程为y=x-1+a,故0=0-1+a,解a=1.

故选：A.

先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解

本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对函数/(x)求导可得，f'(x)=aex-p

依题意，aex-^>0在(1,2)上恒成立，

即a2*在(L2)上恒成立，

、n_1口1，/、—(ex+xex)/(%+1)

设9。)=~>xe(1,2)，则9(%)=(丫、2=一(八2

八'xex''(xex)(xex)

易知当％6(1,2)时，丁。)<0,

则函数9(%)在(1,2)上单调递减，

则a>g(x)max=5(1)=；=e-1.

故选：c.

对函数f(x)求导，根据题意可得a2+在(1,2)上恒成立，设g(x)=*/6(l,2),利用导数求出

函数g(x)的最大值即可得解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属

于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(1<t

…//

即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，如图/、/

依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心।।//,।»

(2,3)到直线y=x+b距离等于2,即号料=2解得b=1+/一

2，^或b=1-2V-2，

因为是下半圆故可知b=1+2VN(舍)，故b=1-2尸-

当直线过(0,3)时,解得b=3,

故1-2。。W3，

故选：D.

本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为。一2产+(y-3)2=4(l<y<3),

即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围.

考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力.本题是线与圆的位置关系中求参

数的一类常见题型.

7.【答案】A

【解析】解：函数的定义域为R,/•(_吟=匕/㈣出=£卬丝=〃%),

则函数f(x)为偶函数，排除选项8、C；

由/(0)=0，啮=0,/(1)=券高>0,则排除选项D.

故选：A.

由函数的奇偶性排除选项8、C,由/(0)=/6)=0,/⑴>0排除选项。，进而得到答案.

本题考查根据函数解析式确定函数图象，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关

键.

根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数/(x)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶

性进行转化求解即可.

【解答】

解：•••/(X)是定义域为(-00,+8)的奇函数，且/(I-X)=f(l+X),

•1•f(0)=0，/(I-X)=f(l+x)=-/(X-1).

则f(x+2)=-/(%),则/(x+4)=-/(x+2)=/(%),

即函数/(x)是以4为周期的周期函数，

⑴=2,

•••/(2)=-/(0)=0)/(3)=-/⑴=-2,

/(4)=/(0)=0,

则f(1)+/(2)+r(3)+f(4)=24-0-2+0=0,

则/(l)+/(2)+f(3)+“・+f(50)

=12[/(1)+/(2)+/⑶+/(4)]+f(49)+f(50)

=/(I)+/(2)=2+0=2,

故选：C.

9.【答案】ABD

【解析】解：正方体4BCD-&B1GD1的棱长为1,

对于选项4：直线8C与平面4BC1D1所成的角为NCBG=；,故选项4正确.

对于选项以点。到面4BGD1的距离为&C长度的一半，即/1=殍，故选项8正确.

对于选项C：两条异面直线。iC和SC1所成的角为全故选项C错误.

对于选项。：三棱柱A4D,—B&C,外接球半径「=JJ+12+12二口,故选项。正确.

~2~2

故选：ABD.

直接利用线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法的应用求出结

果.

本题考查的知识要点：线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外界求的半径的求法，

主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

10.【答案】CD

【解析】解：已知/(》)=[%2-(a+3)x+2a+3]e",函数定义域为R,

可得/'(x)=I%?—(a+l)x+a]ex=(x—l)(x—a)ex,

因为函数/(x)在x=1处取得极小值，

所以函数/(X)在x=1的左侧单调递减，右侧单调递增，

可得a<1,

则选项A和选项B错误，选项C和选项D正确.

故选：CD.

由题意，对函数f(x)进行求导，根据极小值的定义进行求解即可.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力.

11.【答案】BD

【解析】解：对于4命题“VX6R,/>一J是全称命题，命题的否定是-3XER,x2<-r,

所以A错误；

对于8.命题'勺xG(-3,+8),尤2式9”是特称命题，命题的否定是“VxG(-3,+oo),%2>9”，

所以8正确；

对于C./>y2q|x|>|y|,|x|>|y|不能推出x>y,x>y也不能推出|x|>|y|,所以

是“x>y”的既不充分也不必要条件，所以C错误；

对于0,关于x的方程/—2x+6=0有一正一负根=广一4丁>0Q瓶<0,所以“7n<0”是

1m<0

“关于x的方程/一2x+zn=0有一正一负根”的充要条件，所以。正确，

故选：BD.

直接利用命题的否定判断选项A、B,利用充要条件判断选项C、。的真假即可.

本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，四个条件和四个命题的应用，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于基础题型.

12.【答案】CD

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，两点距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

利用已知条件推出点与圆的位置关系，列出不等式求解m的范围即可.

【解答】

解：圆/+y2-2x+2y+m+1=0即(x—I)2+(y+I)2=1—m,圆的圆心(1,-1),半径为：

V1-m<1.

过点(2,0)有两条直线与圆/+y2-2x+2y+m+1=0相切，

说明点在圆的外侧，可得：J(2-1尸+(0+解得小>一1.

则实数小的取值范围是(一1,1).

故选：CD.

13.【答案】3，五

【解析】【分析】

利用数量积的性质即可得出.

本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题.

【解答】

解：•.响量落B夹角为45。，且|方|=1,|2五一3|=CU.

J4a2+b2-4a-b=

化为4+\b\2-4\b|cos45°=10)

化为|B|2—-6=0.

•••|K|>0，

解得|B|=3C.

故答案为：3c.

14.【答案】Z£!

6

【解析】解：如图，设正四棱台4BCD的上下底

面中心分别为M,N,

过&作1AC,垂足点为H,由题意易知=HN=殍,

'又AN=C，

AH=AN-HN=三，又441=<2):.ArH=MN=?，

该四棱台的体积为3x(1+4+<TV4)x?=若.

故答案为：竽.

6

先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解.

本题考查台体的体积公式的应用，属基础题.

15.【答案】(|,3]

【解析】解：/(%)+>J~~2=0,

则sin(3%+力=一¥，

v0<x<7T,

A-<COX4--<CO7T+

•・・在区间(0,兀)上有两个不同的工使得/Q)+/1=0，

.7.13

Sin-7T=Sin-7T=———，

442

二由正弦函数的图象可知，±<3%+牌%,解得|<3W3,

故3的取值范围是6,3].

故答案为：(|,3].

根据已知条件，推得sin(3x+》=-苧，再结合x的取值范围，以及正弦函数的图象，即可求解.

本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于基础题.

16.【答案】7"

【解析】解：D为4尸2的中点，且F1DJ.4F2，

.-.\MF2\=\MA\,\NF2\=\NA\,

・・・|MF/+\MF2\=2a,\NF2\+|NFJ=2a,

・•・|MF/+\MF2\+\NF2\+INF/=4a,

.%\MA\+IMF/+\NA\+INF/=4a,

A\MA\+\MN\+\NA\=4a,

•・・△4MN的周长为28,

:.4a=28,・•・a=7,

由已知可得4(b,0),F1(0,—c),F2(0,C),

c

-+cc

-2X3c

b---WO---

-ob(-

2

7

・•・b2=3c2,4c2=a2=49,AC-

.­.b=x|=等，.,.短轴长为7，3.

故答案为：7A/~与.

由题意可得|“川+|"川+叫川=4(1,可求a,进而可得?、言=与•(一力=-1,可求b,进

2

而可求短轴长.

本题考查椭圆的几何性质，考查运算解能力，属中档题.

17.【答案】解：(1)・・,V_3a=2csinA

・•・正弦定理得一=2sinCsinA^

.・•力锐角，

：•sinA>0,

:.sinC=—，

又・・・c锐角，

71

c=W

(2)三角形4BC中，由余弦定理得c?=a2+62-2abcosC

BP7=a2+h2-ab,

又由△4BC的面积得S=^absinC="。匕?=

即ab=6,

・•・(a+h)2=a2+62+2ab=25

由于a+b为正，所以a+b=5.

【解析】(1)利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC,进而求得C.

(2)利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得。2+/的值，最后求得a+b的值.

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

10

18.【答案】解：(1)设的=a,由题意可得｛方；*2，"=°(

解得｛泻，或｛建

n

当｛:二;时，an=2n-1,bn=2t,nEN*；

当｛屋时，an=i(2n+79),bn=9.gfn6N*；

nr

(2)当d>l时，由(1)知而=2n-l,bn=2-,

=On=2n-l

n

bn2"T'

111

二7^=1+3X]+5X/+…+(2n-1)-

=1x3+3xa+5xa+—F(2n-3)x^7+(2n-1)x算,

11111

二/=2+之+M+…+-(2n-1)-

=3-2n+3

2n

2n+3nGN*.

【解析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及等差数列的求和公式，利用错位相减法是解

决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.

(1)根据题干条件，结合等差数列求和公式、等比数列的通项公式，联立方程组计算即可;

(2)当d>l时，由(1)知0=猾，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.

19.【答案】解：（1）证明：•••PD，底面/BCD,BDU面

ABCD,

・・・PD1BD,

取48中点E,连接DE,

AD=DC=CB=AB=2,

・•・4DAB=60°,又•；AE==AD=19

1

•••DE=1,:.DE=/AB,

・•.△4BD为直角三角形，且48为斜边,

•••BDLAD,

又PDC4D=D,PDu面PAD,ADu面PAD,

BD1面P4。，

又PAu面PAD,

•••BD1PA；

(2)由(1)知，PD,AD,BD两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，

BD=VAB2-AD2=C，

贝|JD(O,O,O),4(L0,0),8(0,y/~3,0),P(0,0,V-3),

.••丽=(0,0,-AT3),RA=(l,0,-<^),AB=(-l,<3,0)«

设平面P4B的一个法向量为元=(x,y,z),则区,丝二"-，则可取元=(，3,1,1)，

(n-AB=-x+=0

设PD与平面P4B所成的角为。，则s讥。=|cos<PD,n>\=|黑身=?，

\PD\\n\5

.­-PC与平面P4B所成的角的正弦值为一.

【解析】(1)易知PD1BD,取4B中点E,容易证明四边形BCDE为平行四边形，再根据长度关系

可得8。14。，进而得证；

(2)建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面P4B的法向量，利用向量的夹角公式即可

得解.

本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解

能力，属于中档题.

20.【答案】解:(I)/(x)的定义域是(0,+8),

1(x)=：+a=等，

当a>0时，/'(%)>0恒成立，故函数/(%)在(0,+8)上单调递增；

当”0时，令广⑺>0,解得令((x)<0,解得乂>一；，

故/(x)在(0,-》上单调递增，在(一；,+8)上单调递减.

(II)g(x)=/(%)+/+2=Inx4-x2+ax+2,

g(x)至少有两个不同的零点，则等价于方程Znx+产+a%+2=0至少有两个相异实数根,

由山+3+”+2=0,得—a=^+x+：

设产。)=等+%+：,则叫X)=‘普T，

令九(X)=x2-Inx-1,贝=2%-^=2"ji，

令九'(x)=0,可得*=好或％=一殍(舍)，

所以在(0,1)上，h'(x)<0,/i(x)单调递减，在(?,+8)上，h'(x)>0,h(x)单调递增,

所以函数九。)的最小值为八(殍)=(£2)2_in£2_i<o，

又无(1)=0,所以当xe(1,+8)时，h(x)>0,

又九©)=(；)2-ln1-l=(1)2>0,因此必存在唯一沏6©,容)，使得=0,

当工变化时，h(x),F'(x),F(x)的变化情况如下表：

X%01

(O,xo)(3,1)(1,4-0°)

/l(x)+0—0+

F'(x)+0—0+

F(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

当x=xo时，尸。)有极大值尸(珀,当x=l时，F(%)有极小值F⑴,

又尸(1)=3,尸弓)=、<尸(1),且当<->+8时,FQ)T+8,

所以F⑴<-a<尸(&),可得一F(&)<fl<一尸(1)时,

直线y=-a与函数y=F(%)的图象至少有两个公共点，

所以a的最大值为-3.

【解析】(I)求出函数/。)的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

(II)由函数的零点与方程的根的关系可得方程)工+/+。％+2=0至少有两个相异实数根，分离

参数可得一a=^+x+j设尸(x)=?+x+j利用导数求出F(x)的单调性与极值，从而可求

得a的最大值.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点问题，考查分类讨论思想与运算求解能

力，属于难题.

21.【答案】解：(1)/'(乃=1一?=?，...(1分)

当Q<。时，X>0,・••f'(%)>0恒成立，

・•・/(%)