2023-2024学年延安市高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年延安市高二数学上学期期中考试卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.己知直线4与直线4：3x-&y+i°=°垂直，则直线4的倾斜角为（）.

A.30。B.60°c.120。D.150。

2.已知直线1的一个方向向量为（T2D,平面a的一个法向量为（相，3）,若/_La,则〃?+〃=（）

A.-3B.3C.6D.9

3.已知入射光线经过点M（°J）被x轴反射，反射光线经过点N（2」），则反射光线所在直线的方程为（）

Ax+y+l=0B%—y+i=0c工+y—1=0D%—y—1=0

工22卜=2cos6

4.设x,"R,则“彳+丫1，，是“资1<,[y=sind,，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段上，点P在线段AN上，且

13

MN=-ON,AP=-AN〜八八八

24,用向量。4。民℃表示°尸，则8=（）

O

为B

-OA+-OB+-OC-OA+-OB+-OC-OA+-OB+-OC-OA+-OB+-OC

A.444B.333c.433D.344

6.2019年1月3日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界

第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱.如图所示，地球尸和月球°都绕地月系质

心。做圆周运动，尸°=3OQ=Z设地球质量为月球质量为加，地月距离为R,万有引力常数

GMm2

——=mco=Mco2r

为G,月球绕。做圆周运动的角速度为且此,贝IJ(

1

G[M+m)G(M+m)

NC

3

r-y=­x

两条平行直线6x-4Ay+5=°与"2的距离是（

巫姮5万

A.13B.26c.13D.26

8.若直线区+丫+2-2左=°与曲线+有两个不同的交点，则实数%的取值范围是（）

A,i"+8）B.ECg与卜3/"I

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）

9.已知直线’的方程为3尤一2y+6=0,则（）

A.直线/在x轴上的截距为2B.直线/在，轴上的截距为3

C.直线/的倾斜角为锐角D.过原点。且与/垂直的直线方程为2x+3y=°

10.己知圆。：苫2+丁=1和圆C：（》-2）2+（丫-2）2=4相交于人、8两点，下列说法正确的为（）

A.两圆有两条公切线B.直线48的方程为以+分+5=°

C.线段AB的长为2D.点E在圆0上，点下在圆C上，则怛制的最大值为20+3

11.已知方程/+9+2尤-机=°,下列叙述正确的是（）

A.方程表示的是圆B.方程表示的圆的圆心在x轴上

C.方程表示的圆的圆心在y轴上D.当〃7=0时，方程表示以（TR）为圆心，半径为1的圆

12.已知正方体AB。。一MCQ的棱长为1,动点p满足AP=xAB+yAD+zA4,,x,y,ze[0,l],则下列说

法正确的是（）

Dy,--------------71c,

2

_1_3

A.x=l'1=了z=]时，BD^CP

B.对任意x，y,存在z,使得平面尸BD//平面ABC

13y/3

x+y—z=-...

C.若2,则满足条件的动点尸组成图形的面积为4

11

犬+y+z=——

D.若'2,则三棱锥P-A4c体积为36

第II卷(非选择题共90分)

三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.直线仃=履一k+1过定点为

14.圆心在y轴上，经过点(3/)且与x轴相切的圆的方程是

15.过点尸(一2，°)引圆尤?+丁-八=0的切线，则该切线长为

X2y2,

-7~1=1(。＞。＞0)D口DZ7_2

16.已知Fl(—c,0),F2(c,0)为椭圆。一厅的两个焦点，P为椭圆上一点，且3,%=。，则

此椭圆离心率的取值范围是

四、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.ABC的三个顶点4-5,0),5(1,-3),CQ2),边AC,3C的中点分别是E,F.

(1)求E尸所在的直线方程；

(2)求边AB的高所在的直线方程.

18.已知过点人(°，2)且斜率为左的直线/与圆C：x2+y2=l交于/、N两点.

(1)求Z的取值范围；

(2)若O»ON=0.5,其中°为坐标原点，求〔MM.

19.已知直线4：,=2》+3,]:y=x+2相交于点c.

(1)求点C的坐标；

(2)求以点C为圆心，且与直线3x+4y+4=0相切的圆的方程；

(3)若直线x+y+'=°与(2)中的圆C交于A、3两点，求ABC面积的最大值及实数f的值.

20.己知圆心为C的圆经过A。」)，3(2，-2)两点，且圆心c在直线/"7+1=°上.

(1)求圆C的标准方程；

⑵设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程.

3

21.如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA,底面ABCD,点E为棱PD的中点，AB=1,

⑴求证：PB〃平面ACE；

(2)求平面ACE与平面PAB夹角的余弦值；

(3)若F为棱PC的中点，则棱PA上是否存在一点G,使得PC,平面EFG.若存在，求线段AG的长；若

不存在，请说明理由.

22.己知椭圆/十铲一I">"〉"的四个顶点围成的菱形的面积为4—,椭圆的一个焦点为(L°).

(1)求椭圆的方程；

k,,k——._3

(2)若M,N为椭圆上的两个动点，直线ON,QV的斜率分别为《,与，当‘2一4时，△MON的面

积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.

1.D

【分析】根据直线间互相垂直直接可得斜率与倾斜角.

I।,=上

【详解】由4乜，得,

冗、=---==tan150°

43,故直线/的倾斜角为150。.

故选：D.

2.B

【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解.

mn3

［详解］因为“a,所以=解得相=-3,〃=6,

所以机+〃=-3+6=3.

故选：B

3.D

【分析】求出M(0，l)关于x轴的对称点，由两点式方程可求.

4

【详解】可得关于X轴的对称点为（°'一1）,则（°'一1）在反射光线上，

y+1_x-0

又反射光线经过点N（2，l）,所以反射光线所在直线的方程为1工一二即x-y-l=°.

故选：D.

4.C

【分析】利用椭圆的有关性质、三角函数的定义和三角函数的同角公式，结合充分、必要条件的定义计算

化简，即可得到结果.

%22,

---Fy=1

【详解】若4'，其轨迹为一个椭圆，则一24*42,-I4y41,

X%=2cos8

一147741—=cos0,y=sin0

得2,令2,得尸sind

所以充分性成立;

•X=2cos8丫2

y=sin。⑹CR),得cose*in*y,有侬2。+如。=1+)?=1

由

所以必要性成立.

=2cos6

—+y2=l\CER)

所以“4”是,,[y=sm°”的充分必要条件.

故选：C.

5.A

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

OM=-(OB+OC],ON=-OM=-x-(0B+0C}=-(0B+0c\

【详解】由题意可知2',332、>3V)

AN=ON-OA=-(OB+OC\-OA,AP=-AN=-X-(OB+OC\--OA,

VV7

3>4434所以

O1Olli

0P=0A+AP=0A+-x-(0B+0C\——OA=-OA+-OB+-OC

43、>4444,\

故选：A

6.B

【分析】根据题干中的等式结合R=6+4可求得0、4、G,可得出合适的选项.

GMm2»2GmGM

p_„,---5—=1V£DT\=MCDKK=--_—q=-z~7

【详解】对于AB选项，+由R2-可得（oR2,~口-R：

G（M+m）1G（M+m）

所以，一"R-,所以，VR3,A错B对；

G(M+〃?).苏R'

CD=

对于c选项，由R3可得M+mC错;

5

Gm

-GM2L=2L

对于D选项，由“(O2R2,2

①2R2可得mM,

ZL=2L

mM

mR

得力

所以,R="+/"M+,D错.

故选：B.

7.D

3

y=­x/八

【分析】先将直线方程"2化为：6x-44y=0,再利用两平行线间的距离公式求解.

3

y=­x'.八

【详解】直线方程2化为：6尤-4y=0,

3

右/u6y=—x

所以两条平行直线6x-4y+5=0与2的距离是：

,55V13

d=--------------=-------

胪+(可26

故选：D

【点睛】本题主要考查两平行线间的距离的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8.A

【分析】由题可知曲线"：(>：1了+1=*，是圆心为C(U),半径r=2,在直线尤=1及右侧的半圆，作出

直线区+y+2-2%=0与半圆C:(尤-If+(y-=4(x21),利用数形结合即得.

【详解】方程履+>+2-2左=°是恒过定点P(2,-2),斜率为此的直线,

曲线也-(yT)'+l=尤,即(x-l)2+(y-l)2=4(xNl),是圆心为C(l,l),半径厂=2,在直线％=1及右侧的

半圆，半圆弧端点A(LT),8(1,3),

在同一坐标系内作出直线区+"2-2左=0与半圆C:(x-l)2+(y_l)2=4(xNl),如图,

当直线履+丫+2—2左=0与半圆C相切时,

6

1^~31,276.,246.

I--z_k=_-p]_卜>--I-]

由&+公得相切时3,又％=-5,所以3,或一心-5,

2」

所以kv—13或左N5.

故选：A.

9.BCD

【分析】根据直线方程，分别令x=°，y=°即可判断AB,由直线斜率可判断C,求出原点0且与/垂直的

直线方程即可判断D.

【详解】在%—2>6=0中，令尸。，得x=-2,所以A不正确;

令x=0,得k3,所以B正确；

k=->0

因为直线1的斜率为2,所以直线1的倾斜角为锐角，故C正确；

因为与1垂直的直线方程可设为2尤+3>+根=°,又直线过原点，所以机=。，故D正确.

故选：BCD

10.AD

【分析】两圆相交，由两条外公切线，将两圆方程相减可求得交线方程，求公共弦长转化为求相交弦长,

数形结合可求得两圆上动点距离的最大值.

【详解】解：因为圆O：/+/=1和圆C：（无一2y+（y-2）2=4相交于A、B两点，

所以两圆有两条公切线，A正确；

圆0：/+/=1和圆（x_2y+（y_2y=4的方程相减得4x+4y_5=0,

故直线AB的方程为以+4卜5=0,；.B错误；

^_|0+0-5|_55/2

圆0：苫、'?*的圆心为°（0,0）,厂=],0（0,0）到直线AB的距离为V16+168,

河=2折彳=2F/芈]=半

所以线段AB的长为Y'3J4,...C错误；

2

圆C：（尤-2）+（y-2）2=4的圆心为C（2,2）,R=2则两圆圆心距因=20,

点E在圆°上E,点歹在圆C上，则附的最大值为1+2+20=20+3,D正确.故选：AD.

11.BD

【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断.

【详解】对于选项A：因为。=2,E=0,F=-m,

7

由方程表示圆的条件得刀2+序一4尸＞0,即2,-0--4(-切)＞0,解得加＞_1,

所以只有当机＞T时才表示圆，故A错误；

对于选项B、C：因为2,2

若方程表示圆，圆心坐标为°(一1'°),圆心在x轴上，故B正确，C错误；

r=-VD2+£2-4F=-M+02-4x0=1

对于选项D：当根=°时，半径22,故D正确；故选：BD.

12.AC

【分析】利用空间向量的线性表示及数量积运算可得3口,C尸=°可判断A,利用特值可判断B,根据空间

向量的共面定理结合条件可得动点尸的组成图形结合条件可判断C,由题可得尸在平面4口稣内，然后根据

正方体的性质可得平面44稣//平面C4C,进而可得平面444与平面ABC的距离，再根据锥体的体积

公式可判断D.

13

【详解】对于A,此时AP-M+Wm+lM,又即=胡+物=-AB+AD+A4),

1.333

CP=AP-AC=AB+-AD+-AA-AB-AD=-AA,——AD

44”4月4,

/\(33、3"32

所以BD.-CP=('-AB+AD+AA,]^\4-AA1.——4ADJ\=-4AA,1——4AD=0,

所以即，C尸即明，CP,故A正确；

对于B,若取了='=1,则尸在棱G。上，此时平面女见与平面〃4c相交，故B错误；

AP=xAB+yAD+(x+v--)A4j=2xAB0+2yAD0+(l-2x-2y)A4,)=ADa=AB0=—

对于C,如图，2'其中2,

72

则尸的轨迹为4,4同的正方体的截面，即为正六边形4线瓦/G,由题可知其边长为2,其面积为

出（拒丫373

---X----=-----

4卜2J4,故C正确;

4

8

对于D,如图，AP=xAB+yAD+zAA<=2xAB«+2yAD«+2zAA,其中1A421TA0。1=恒闻=5

因为2x+2y+2z=l,即P在平面A。。■内，由正方体的性质可知,

所以2稣//BQ,又。。稣<z平面RBC,8|，u平面所以。（///平面〃B|C,

同理可证4纥〃平面Age,又DM。A,B0=Ba；故平面4AA〃平面。固C?,

由正方体的性质可知CG，平面ABC2,AG，BQU平面A4CR,

故c"AG，cc,又AC14%AGCC,=c,且两相交线在平面内，故旦2,平面AC。，

又AC】u平面4GCA,

所以同理AG_LBC,又B。4。=4，旦。，4。u平面2片。，

所以A£平面£）]与。，则A£_L平面4£）0线，又A£=V§,DXBX=CDX=BXC=>/2

'立X（⑸2a』']d=B

设加到平面〃4c的距离为d,则4秋3X2X,可得3,同理可得A到平面444的距

■6-@一旦@

离为6,故平面441与平面"3。的距离为36-2,

1273731

所以三棱锥P-24c体积sc-342一4,所以D错误.

故选：AC.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用空间向量的关系得到动点的轨迹，进而结合正方体的有关知识进行分析处

理即得.

13.（U）

【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点.

【详解】直线/可化为点斜式k1=4—1）,

所以直线力=履一左+1过定点°」）.

9

故答案为：°」）.

14+y2-lOj=0

【分析】先设出圆的标准方程，再利用条件建立方程求出参数即可求出结果.

【详解】由题意，设圆的方程为/+（，+0）2=42,因为圆经过点（3』），

所以把点（3』）代入圆的方程，得33+（1+"）2=/，整理得2a=70,

所以圆的方程为Y+（>-5）2=（-5）2,即/+/-10y=0,

故答案为：Y+y2_i0y=0.

15.2括

【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，由此可得圆心到点尸的距离，根据切线长为必不可求得

结果.

【详解】由圆的方程知其圆心为仅内），半径7=2；

，圆心到点尸的距离4=4,切线长为‘笛一心=716-4=273.

故答案为：26.

一.叵

石F

16.L」

【解析】设尸（X，1），由数量积的坐标表示得出?不珠=*-c2+y2=/,再由点p在椭圆上得出

2/〃，，（3c2-a2）a2

y=b——-xx.....——■2］

。，联立两个方程得出。,再由L'」化简得出2c4a<3c,结合离心率

的公式即可求解.

［详解］设P（羽丁），贝|。片.%=（_0_%，_'）,（0_羽_'）=尤2_02+,2=。29

将。代入①式解得

(3c2—a2}a2

丫22]0<-----——WQ

922929

又X£|_U,。」，即02:.2c<a<3c

10

c「豆行

.'.e=—G——,—

a32

如叵

故答案为：L」

【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.

]7(1)2x+4y+l=0(2)2x—y+2=0

【分析】(1)根据已知条件，结合斜率公式求出直线斯的斜率，再利用点斜式公式即可写出直线方程.

(2)根据已知条件，结合斜率公式，即可写出直线方程.

【详解】(1)解：4F0),B(l,-3)；C(0,2),边AC,8c的中点分别是E,F,

；•所所在的直线方程为--22,即2x+4y+l=0.

(2)解：设边的高线为4，

,0-(-3)1

kk1M

..ih-AB=-(~-5-]2,.,.与=2,

又高线人过c点,

•••高线乙的方程为'=2》+2,

所以边AB的高线所在的直线方程为V=2尤+2,即2x-y+2=0.

18.⑴E")(后+可；⑵

【解析】(1)可知直线/的方程为、=丘+2,利用圆心到直线/的距离小于半径可得出关于左的不等式,

解出即可；

⑵由网=网-叫，然后利用平面向量数量积可求出网.

【详解】(1)易知直线/的方程为丁=丘+2,即区7+2=0,

由于直线/与圆c：/+y2=i交于河、N两点，则圆心到直线/的距离为

解得&<-6或左>石

11

(2)由于原点。为圆C的圆心，且圆C的半径长为1,则门"卜"M=l,

:.^IN\=\pN-OM\=^(ON-OM^=ON2-2OMON+OM2=Vl2-2x0.5+l2即河=]

【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，涉及平面向

量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题.

19.(1)(T」)；⑵(x+iy+(yT)=1；⑶：=1或r=T.

【分析】(1)联立直线方程，解方程可得交点C；

(2)运用直线和圆相切的条件d=J由圆的标准方程可得所求圆的方程；

(3)运用三角形的面积公式，结合正弦函数的值域，可得最大值，再由点到直线的距离公式，可得t的值.

(y=2x+3(x=-l

【详解】⑴把直线4：丫=2尤+3,4：y=x+2联立，1y=x+2,解得[y=l,

_|3x(-l)+4xl+4|_i

(2)圆心C(TJ),半径'-5,

所以圆c的方程为a+iy+(yT)2=i.

S.=-r-rsinZACB=-sinZACB

(3)因RC.22,

j_

显然当sinNACB=l,即NAC8=90。时，$*吹取到最大值万，

叵

此时，直角ABC的斜边A3上的高为2,

H+1+0=M

又圆心c到直线无+y+r=0的距离为0近,

/=正

由近2,解得f=l或f=_l.

(3丫/八225

99XH+(V+1)―

20.⑴(x+3r+(y+2)J25；⑵I2；4.

【分析】(1)设圆心C的坐标为(”㈤，可得4-"1=。，结合条件可得〃-36-3=0,进而求得圆心的坐

标，半径，即得；

(2)设'(物几)，进而可得尸(2羽2)0,然后代入圆C的方程，化简求得M点的轨迹方程.

12

【详解】（1）设圆心C的坐标为（.力），半径为r,

•.•圆心c在直线/：x-y+i=°上,

.・.。-b+l=O,

•.•圆C经过A(L1),3(2,一2)两点，

.\CA\=\CB\

即1了+(6-1)2=J—2)2+(6+2)2,

化简得：a-3b-3=0,又a-b+l=。，

所以a=-3,b=~2,

圆心C的坐标为(一3，-2)「=IAC|=J(l+3)2+(1+2)2=5

所以圆C的标准方程为：(尤+3)、(y+2)2=25；

(2)设加(“'，)，7P(知儿)，

：M为0P的中点，

x0+0

,-2=1%=2彳

、,_%+。1%=2y

,•，

,P(2x,2y)

TP在圆C上，

...(2x+3)2+(2y+2)2=25,即[3]+(y+i)2=~

(x+巧)+(y+iy弓

」.OP的中点M的轨迹方程为I2>4.

21.(1)见解析

如

⑵6

（3）棱以上不存在点G,使得尸C,平面跳6

【分析】（1）由题意可以A为原点，AB,仞,4尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求出平面

13

ACE的一个法向量为“，利用向量法证明即可；

（2）易得仞=（02°）是平面PAB的一个法向量，利用向量求出求解即可;

（3）EF与尸C不垂直，则PC不可能垂直平面EFG,进而即可求解

【详解】（1）因为底面ABCD是矩形，

所以

因为丛，平面ABC。，

又ABu平面ABC。，ADu平面ABC。,

所以B4_LAD,PA±AB,

以A为原点，.，的，”所在直线分别为龙，-z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),r>(0,2,0),P(0,0,2),£(0,l,l),F[1,l,l

所以AC=(l,2,O),AE=(O,l,l),P8=(l,O,_2)

设平面ACE的一个法向量为"(X%z),

"•AC=x+2y=°Jx=—2y

则l",AE=y+z=°,即=T,

令，=1,贝产=(一2,1,-1),

n,PB=-2+0+2=0,日PBa平面ACE,

所以PB〃平面ACE；

（2）由（1）可知PAAB=At尸AA8u平面上4s

所以AD,平面刈8,

所以AE）=（0,2,0）是平面PR的一个法向量，

设平面P钻与平面ACE的夹角为”

14

ADn2_A/6

cos6=cos(AD,〃

\AD\-\n\V6X2-6

\/6

所以平面上钻与平面ACE的夹角的余弦值为T；

叮=(4，。，。]乔",£FPC=-+0+0=-^0

(3)因为12人尸。一(1,2,-2),所以22,

所以所与尸C不垂直，

而EFu平面段G,所以PC不可能垂直平面跳G,

所以棱以上不存在点G,使得尸C,平面呼G

22

工+匕=1

22.(1)43.(2)是，定值G.

【解析】(1)由题设条件，列出方程组，结合〃=62+02,求得的值，即可求解.

(2)设加(%，%),当直线MN的斜率存在时，设方程为片人相，联立方程组，结合根与系

数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN的斜率不存在时，结合椭圆

的对称性和三角形的面积公式，即可求解.

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【详解】(1)由椭圆/b°