四川省资阳市乐至中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试题

乐至中学高2025届第三期入学考试

数学试题

本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。第1卷-2页，第n卷3-4页，共4页。考

生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（共60分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每个小题只有

一个选项符合题目要求。

1.若复数z满足zi=2+i,则复数z在复平面上对应的点在

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.下列说法一定正确的是（）

A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中

的情况

B.一个骰子掷一次得到2的概率是%贝I」掷6次一定会出现一次2

C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元

D.随机事件发生的概率与试验次数无关

3.已知一组数据7,8,8,10,11,12,14,16,则这组数据的75%分位数是（）

A.13B.12C.14D.15

4.集合A={2,3},集合B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数，构成一个两位数,

则这个两位数是偶数的概率为（）

W9J_

A.HB.12C.HD.2

5.函数兀x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期为

A.-B.-C.7iD.

42

2兀

6.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹，故称龙洗，为古代皇宫盥洗

用具，其盆可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm,盆口

直径36cm,盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深6cm时，，则盆

内水的体积为（）

A.655^cm3B.666^cw3

C.677%cMD.6887rcw?

7.已知点A点-2,11）,B（4,2,3）,C（6—1,4）则4ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

8.如图，在三棱锥P-ABC中，/XABC和△ABP均为正三角

形，A8=4,二面角P-A8-C的大小为60。,则异面直线PB与AC

所成角的余弦值是（）

1111

A.--B.-C.--D.-

8844

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得。分。

9.已知复数z=（2+i）i,则（）

A.z=1+2iB.|z|=A

C.z在复平面内对应的点在第二象限D.z+1为纯虚数

10.在矩形ABCD中，已知七尸分别是BC,切上的点，且满足BE=EC,CF

=2胆，则（）

AE=AB+-ADAF=AB+-AD

A.2B.3

1?

AF=-AC+-ADAC=-AE+-AF

C.33D.55

11.在他C中，内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,已知

sin（B-A）+sin（8+A）=3sin2A,且c=V7,C=],则。的可能取值为（）

A.1B.浮C.V2D.孚

12.在棱长为1的正方体ABCO-AgCQ中，M为线段A/上的动点，下列说法

正确的是（）

A.NAMR的最大值为9（）B.AM的最小值为

V2+V2

C.三棱锥V-OCG的体积为定值D.DC,1D,M

第II卷（非选择题）

三'填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案直接填

在答题卷相应的横线上.

13.已知a=（4,2）,b=（6,y）,且Q/E，则y=.

14.在一些餐饮店中经常见到用于计时的沙漏，从沙漏的下半部分可抽象出一

个高为底面圆半径为1的圆锥，则该圆锥的侧面积为.

15.甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为1，两

34

人都成功破译的概率____________.「

16.如图，在边长为6的正方形相鸟鸟中，分别为“彳三三

《生的中点，现将4^4民居。分别沿A民3C,C4折

起使点4逐出重合，重合后记为点「，得到三棱锥P-A8C,P1Tj

则三棱锥P-MC的外接球表面积为.

四.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

已知tana--,ae(0,—).

22

(1)求cosa；(2)若cos(a+£)="^,6=(0,77),求/3的值.

18.(本小题满分12分)

在矩形力中，点尸为8C的三等分点(靠近点C),点E在CO边上，4ABE为

等边三角形，^.ABBE+2BEAE=6-

(1)求两；

(2)求cos＜力反力尸〉的值.

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸一ABCO中，PC_L底面ABC。，在直角梯形ABC。中,

ABLAD,BC//AD,AO=2AB=23C,E是尸£>中点.

求证：(1)CE〃平面PAB；

(2)平面PCO_L平面ACE.

20.(本小题满分12分)

400名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方

法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,

30],[30,40],……，[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:

(1)在频率分布直方图中，求分

数小于70的频率；

(2)已知样本中分数小于40的

学生有5人，试估计总体中分数

在区间[40,50)内人数；

(3)已知样本中有一半男生的分

数不小于70,且样本中分数不小

于70的男女生人数相等.试估

计总体中男生和女生人数的比例.

21.(本题满分12分)

已知函数/(x)=2cosx(.6sinx-cosx)+a的最大值为2.

(1)求实数。的值和函数式幻的对称中心；

(2)将_/u)图象上所有点向右平移正个单位，再将图象上所有点的横坐

2

标缩短为原来的5倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，若g(x)-〃7=2在

龙一工二］上有两个不同的解，求实数机的取值范围.

_42)

22.(本题满分12分)

如图，在三棱锥中，平面平面BCD,AB=AD,。为8D的

中点.

(1)证明：0A1CD；

(2)若,0CD是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，DE=2EA,且二

面角的大小为45。，求三棱锥的体积.

2025届乐至中学数学入学考试参考答案

一、单选题

12345678

DDAACBCB

二、多选题

9101112

BCDACDADBCD

三、填空题

13.314.2"

1_

15.—16.54"

12

四、解答题

17.（本小题满分10分）

Vf：<I>联亚=Lae(O.£)和sin：a+cos：a=lncosa=.....................4分

cosa225

(2)cos(a♦〃)=~~>0,a♦6w(0.；1).a+夕w(0.g)

/.sin(a=Jl二cos“a♦/?)«•6分

▼10

...M3-卜噜考+噜呼邛，9分

10分

18.解：(1)•.•△ABE为等边=角形,A8BE+2BKAE=6.

1•|HE\COS1200+21HE\•JAE|COS600-=6.................................................3分

乂|/网二阳:卜目•・•・|同x,国x2：)+21M“八同x；=6,

那得|同=2#.6分

(2)一:如图所示平面iVfi坐标系e”

AH=T2V^♦()),BC-AH=~~x2>/3-3.

又点F为HC的：等分点<栉近点C),

；.F(26,2).

AF=(275.2)............................................

:.八小AR=2GX2G+2X()=I2.

；.网一行而”=4......................................................................................10分

...ABAF1275

•cos<AB,Ar>«；——r：----：=―=—■——.........................................................io介

,,卜用AF|273x42-12

19.(本小题满分12分)

民尸分别为尸口/^中点，；.^〃^。，EF=-AD,

2

又BCHAD,BC=-AD,;.EF//BC,EF=BC,

2

•••四边形BCEF为平行四边形，CE〃8P,

BFu平面R4B,(30平面外3,二。£：//平面力记.

(2)PC_L平面ABC。，

设AQ=2,则/W=8C=1,

QBC//AD,ABA.AD,..ABIBC,:.AC=O,CD=Q(AD-BC)2+AB。=0,

AC-+CD1=AD-,：.ACCD-,

PCCD=C,PC,C。u平面PC。，.•.AC1平面PC。，

4。<=平面47£：,，平面「8_1平面4。£'

20.(本小题满分12分)

(1)解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.(M)xl0=0.6

所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.

(2)解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)x10=0.9,

分数在区间［40,50)内的人数为100-100x0.9-5=5.

所以总体中分数在区间［40,50)内的人数估计为400x熹=20.

100

(3)解：由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)X10X100=60,

所以样本中分数不小于70的男生人数为60xg=30.

所以样本中的男生人数为30x2=60,女生人数为100-60=40,

男生和女生人数的比例为60:40=3:2.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.

21.(本小题满分12分)

解：⑴函数f(x)=J3sin2x—(cos2x+1)+。

=2sin(2r——)—1+a

A

•.•函数/)的最大值为2,：2—1+。=2,即。=1

万k京x

由2r—=k",k巨Z彳寻x=+,kqZ

6212

：危)的对称中心为("+］：,0),ZuZ注：没写ZwZ或坐

标形式，适当扣分

(2)将fix)图象上所有点向右平移三个单位得

-T

再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变得g(x)=2sin(4x—y)

:2sin(4x—工)-m二2在“上有两个不同的解转化为y=2sin(4.r——)

aj，1

与y=m+2在xe［■,')有两个不同的交点V—S4X--<—

:由图可知，当一2<m+2<—时有两个不同的交点

：。亡(-4,一Q—2)

22.（本小题满分12分）

（1）因为AB=AD,0为BD中点，所以AOLBD

因为平面ABD、平面BCD=80,平面ABDL平面BCD,A。u平面ABD,

因此A。平面BCD,

因为COu平面BCD,所以AOLCD

（2）（法一：几何法）作EF_LBD于F,作FMLBC于M,连FM

因为AOL平面BCD,所以AO，BD,AOLCD

所以EFLBD,EFLCD,8£>cC£）=£）,因此EFL平面BCD,BPEF1BC

因为FMLBC,FMIEF=1r，所以BC,平面EFM,即BC_LME

IT

则NEWr为二面角E-BC-D的平面角，ZEMF=-

因为BO=OD,OCD为正三角形，所以二BCD为直角三角形