2023-2024学年乐山市井研中学高一数学上学期10月考试卷附答案解析

2023-2024学年乐山市井研中学高一数学上学期10月考试卷

2023.10

（试题总分150分；考试时间120分钟）

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题（每题5分，共40分）

I.设A是集合[2,3,4,5,6｝的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（）

A.11B.12C.10D.13

2.命题"▼〃€"'/（〃）**且/（〃）〈〃的否定形式是（）

A.^f（n）＞nBV"eN*J⑺eN*或/（〃）＞〃

C%且/（%）＞%口.血。eN*,/（〃o）任N*或

m/o,」上）=产-?：+小＜1

3.“l3人，是“函数是定义在R上的减函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数/（x+1）的定义域为卜2』，则函数小"一》-2+"、”的定义域为（）

A.口，4]B,[。，3]c.[L2）U（2,4]口.口，2）52,3]

5.已知函数/（X）是一次函数，且/[/（X）TX]=5恒成立，则〃2）=（）

A.1B.3C.7D.9

4x1、,

-----1-------24

6.若关于区的不等式。x-2对任意、＞2恒成立，则正实数。的取值集合为（）

A.（-1,4]B.（0,4）C.（0,4]D.（1,4]

7.已知函数/（工）=4分+4%-1,入w（Tl）J（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）

3।3

a＜——-\＜a＜—

A.4B.a＜-\c.4D.a＜-\

8.若定义在R上的函数/（X）满足：/'（X|+X2）=/（XJ+/（X2）-2018,且x＞0时，有/（'）＞2018,当

和％目-2019,2019]时，/（x）的最大值、最小值分别为KN,则〃+N的值为（）

A.2018B.2019C.4036D.4038

二、多选题（每题5分，共20分）

fx2—2x—8＞0

9.已知关于x的不等式组〔2/+（2无+7）x+7上＜°仅有一个整数解，则k的值可能为（）

A.-5B.YC.兀D.5

1

10.函数对于任意实数x，yeR满足〃x+y)+〃x-y)=2/(x)/a),则下列关于函数奇偶性说法错误的是

()

A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数

C.是非奇非偶函数D.可能是奇函数也可能是偶函数

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子''的称号，用其名字命名的“高斯函

数，，为：设xeR,用国表示不超过x的最大整数，则夕=【灯称为高斯函数，例如：[T-5]=-2,[0]=0

/(x)=--—

已知函数.lx-11+l,则关于函数g(x)=[/(x)]的叙述中正确的是()

A.8(幻是偶函数B.g(x)的最小值是1

C.g(x)的值域是也I2D.g(x)是单调函数

12.设正数"力满足。+6=1,则有()

ab<-a3+b3<-4+祚8+亚金+£，

A.4B.4c.°I"D."1"+24

三、填空题(每题5分，共20分)

,[3x-l"

p\A=<x----<0>>(I2_

13.已知命题Ix-1J,命题一”=-尸-蛆JU人若命题^是P的必要不充分条件，则机

的取值范围是；

14.若关于x的不等式-i+(a+2)x-2">°恰有1个正整数解，则。的取值范围是

"x)J/+l(x40)

15.已知[-2x(x>0),若/(〃明=10,则”

16.设函数“X)的定义域为R,满足/(x+D=2/(x),且当xe(O,l]时，〃x)=x(l-x).若对任意

xe(-8,何，都有〃力4§,则m的取值范围是.

四、解答题(共70分)

17.己知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0},B={x|x2+(a-1)x+a2=0},C={x|x2+2ax-2a=0},其中至

少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围.

18.已知命题p：M4x42,x<a2+\,命题q：31<x<2,一次函数V=x+a的图象在*轴下方.

(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题P为真命题，命题的否定也为真命题，求实数"的取值范围.

19.(1)已知。，b,c均为正实数，求证：&+〃+括+c'+旧+a2201+6+c).

2

(2)已知X,九z是互不相等的正数，且x+，+z=l,求证：lx八y人z).

20.已知二次函数/(x)=x2+2ax+2.

(1)若14x45时，不等式〃x)>3"恒成立，求实数。的取值范围.

⑵解关于x的不等式(a+l)x2+x>〃x)(其中"R).

21.若函数N=/(x)对任意x，yeR,恒有/(x+y)=/(x)+/(y).

(1)指出y=〃x)的奇偶性，并给予证明；

(2)如果为>。时，，(劝<0,判断"X)的单调性；

⑶在(2)的条件下，若对任意实数x,恒有，(3)+/(一厂+“-2)>0.成立，求k的取值范围.

.⑴=(x+l)(x+a)

22.已知函数,一一为偶函数.

(1)求实数a的值；

(2)判断/(X)的单调性，并用定义法证明你的判断：

⑶设g(x)=h+5-2左，若对任意的王e[1,0],总存在[0,1],使得〃xjvg(xj成立，求实数k的取

值范围.

1.A

【分析】用排除法求解.

【详解】含有2个元素的子集个数为屐=15,其中两个数相邻的有5个，

所以所求子集个数为16-5=11.

故选：A.

2.D

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“笛7€“，/(〃卜.且)(〃)4〃的否定形式是

eN*,/(〃o)任N•或/("(,)>%

故选D.

考点：命题的否定

3.B

【解析】本题首先可以根据函数/(x)是定义在R上的减函数得出“‘标’可，然后根据的

3

真子集即可得出结果.

、\(3m-1)x+4mx<\

〃x)=9

【详解】因为函数L3户21是定义在R上的减函数,

3m—1<0

<-m<0r]j

所以尿-1)+4旌f,解得〃'七'3

上「是(°』的真子集,

因为

40曰〃加产-

所以“I3八，是“函数L〃氏X21是定义在&上的减函数”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判断，可借助集合的方式进行判断，考查分段函数的单调性,

分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都递减，且要注意分界点处函数值的处理，是中档题.

4.C

【解析】利用抽象函数定义域的求解原则求出函数/(X)的定义域，根据题意可得出关于x的不等式组，

由此可解得函数g(')的定义域.

【详解】对于函数/(x+1)，-24x41,则-14X+142,所以，函数“X)的定义域为曰2]

1J-l<x-2<2

对于函数“"一'一2+“、?)，有1.2工0,解得14x44且x*2.

因此，函数式“=三+"”一2)的定义域为口，2川(2,4]

故选：C.

5.D

【分析】先利用换元法和代入法求出“X),再令x=2即可求出答案.

【详解】因为函数〃x)是一次函数，且/[〃力一甸=5恒成立，

令/(x)-4x=f,则/(x)=4x+f,

所以%)=4t+f=5,解得f=l,

所以/(x)=4x+l,/(2)=2x4+l=9,

故选：D

6.C

4

4(X-2)18

H4----

【分析】由题意可得a------x-2…”对任意x>2恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二

次不等式的解法，可得“的取值集合.

4(x-2)1.8

---------------------1--------------4——

【详解】由题意可得ax-2…。对任意x>2恒成立，

4(x-2)।12.(x-2)1-4

由。>0,x〉2,可得ax-2'"Vax-2，,

^2=，x=2+®4-^.An,

当且仅当ax-2即2时，取得等号，则a〃，解得0<a,4

故选：C.

7.B

【解析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围.

［详解］/*)=4ad+4x-l<0,gp4ar2<-4x+l

当x=°时，不等式恒成立，aeR.

.(41)

当X工0时,X?>。，则I*，人in

令”卜(--1)。(1,+8),则广4+/=(-2)2-4.4,+8)

即4。<-4,解得a<-l

故选：B

8.C

【分析】利用赋值法，可得到/&)+/(-*)=4036,继而再根据抽象函数的表达式证明函数的单调性，

利用函数单调性的性质即可得到结论.

【详解】由题意得，

对于任意的公，々6R,都有/(为+*2)=/(3)+/(々)_2。18,

.•.令%=*2=°,得/(°)=2°18,

再令玉+*2=0,将/(°)=2018代入可得/(芭)+/&2)=4036,

口|］得/(*)+/(-%)=4036,

不妨设玉<“2,贝!］工2-占>。，-再)=/(々)+/(-再)-2018,

.-./(%2)+/(-^)-2018>2018

又•••/(f)=4036-/(再),

5

二可得/(”2)>/(西)，

即函数/(X)在R上递增，

故当国,与4-2019,2019］时，M="X)M=〃2019),心/⑴而一八必⑼，

又由/&)+/(-%)=4036可得:/(2019)+/(-2019)=4036；

•.•M+N的值为4036,

故选：C.

9.ABD

【分析】根据一元二次不等式可求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式

的解的交集，即可确定第二个不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解.

【详解】解不等式X2-2X-8>0,得X>4或X<-2

__7

解方程2/+(2左+7)x+7左=0,得司一”，％T

kJ-k<--_k<x<_L

(1)当>5,即-<一万时，不等式2—+(2左+7)x+7左<0的解为：一<、<一3

「；2X-8>0(k_7A

此时不等式组［2/+(2左+7)X+7上<0的解集为I'2j(依题意，贝卜54-4<-4,即4<445；

,7,77

k〈二-k>一二2./n;,n\,*77n----<X<—k

(2)当2,即2时，不等式2ox+(2k+7)x+7Ar<°的解为：2,要使不等式组

x2—2x-8>0

2x2+(2k+7)x+7k<0的解集中只有一个整数，

则需满足：-3〈-左45,即-5“<3；

所以k的取值范围为1,3)11(45］

故选：ABD.

10.ABC

【分析】对抽象等式中进行赋值，即x=y=°代入表达式，得到/(°)=°或/(°)=i,再令x=o,，不

动，即可获得/(-»)与“历之间的关系，从而获得函数的奇偶性.

【详解1令x=N=°则有/(°)+/(0)=2/(0)/(0),

则2/(0)=2/(0)/(0),

当/(。)=0时，再令x=0

则有f(y)+f(-y)=2/(0W)=o

6

所以〃-»)=-/(y),

所以夕=/'(x)是奇函数.

当/(O)X0,则/(o)=1.

再令工=0

则有/3)+/(-力=2/(0)/3),

所以/(一小八”

所以y寸a)是偶函数.

故选：ABC.

11.C

【分析】对于A,通过计算g(D和g(-D的值进行判断即可，对于B,举例判断，对于C,通过计算求解

即可，对于D,举例判断

g(-l)=1-=:=0g(l)=7—T—=[2]=2

【详解】对于A,因为[l-l-ll+ijL3J,111T1+U，所以g(-l)*g(l),所以

g(x)不是偶函数，所以A错误,

22

=0<1

g(-D=,,7

对于B,因为[37+1」L3J所以名。)的最小值不是1,所以B错误，

刎=［向石|=因=2

g(x)=i~

对于C,当、=1时,当1<XW2时，卜-1|+1」当x>2时,

2

g(X)=।~TT-.=0g(x)=g(x)=|~~-7—=0

UX-1I+1J,当04x<l时,当x<0时，LIX-1I+1J,所以g(x)

的值域是{0，1，2},所以C正确,

对于D,由C选项可知，当1<%<2时，g(x)=l,当x>2时，g(x)=0,当°«x<i时，g(x)=l,当

x<0时，g(x)=0,所以g(x)不是单调函数，所以D错误,

故选：C

12.ACD

【分析】对于A,由基本不等式推论可判断选项；对于B,利用分解因式结合A分析可判断选项；对于

Ca利用基本不等式可判断选项；对于D,

7

a2+b2_+।(a+23,_4।9

6

b+1a+2b+1a+2b+\a+2,利用基本不等式可判断选项.

a=h=—

【详解】对于A,由基本不等式推论有44,当且仅当2取等号.故A正确.

a3+b3=(a+6)+b2-ab)=(a+b)“-3ab=1-3ab

对于B,由A分析可知

ab<—=>-ab>-1a3+1^=\-?>ab>-a=b=-

44,贝lj4,当且仅当2取等号.故B正确.

4z+54

对于C,bb丁b

5b5bAaoo.r.

=—+y+8>Z———+8=8+W5

ab,当且仅当d=56，即

b=2石-4,a=5-2>/5时取等号.故C正确.

a~2b2_(I-%)?(jJ_(/>+l-2)2,(a+27」上6

---------+—+=I"

对于D,b+1。+2b+\Q+2b+1Q+2b+1Q+2

；49।4R+2)।9(/,+l)

(b+1+4+2-------+-613-6

b+1a+24b+1a+2

4(a+2)99+1)、

1

>—13+2.—6=—

-4b+1Q+24

7

32

当且仅当4("+?)=9(b+1)b一，a

，即55时取等号.故D正确.

故选：ACD

13.S，2]

P：y4={x|—<X<1}

【分析】求得命题3又由命题q是p的必要不充分条件,所以A是8的真子集,

.心>。

得出不等式组"a)*°，即可求解，得到答案.

p:A=<x号0=3*<D,口=4：8=1x\-x2-mx+3>0

【详解】由题意,命题1命题vI1.又由命题“是

P的必要不充分条件，所以A是8的真子集,

8

/(；)=-(；)2-：机+3>°

设/(x)=-x2-蛆+3,则满足[/⑴=_i+3*0,解得加42,

经验证当加=2适合题意，

所以〃，的取值范围是(一吃21.

【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集

合A,再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14(«,1)U(3,4]

【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对。进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出〃的

取值范围

【详解】不等式一“+("+2)*-2">0等价于f_("+2)'+2"<0.令'2一(“+2)"+2"二°,解得工=2或

x=a

当。>2时，不等式厂一(。+2)”+24<°的解集为(2,4),要想恰有1个正整数解，则3<服4；

当。=2时，不等式x2-S+2)x+2a<°无解，所以。=2不符合题意；

当a<2时、不等式S+2)x+2a<0的解集为(。,2),贝|e<1.

综上，。的取值范围是(-8，1)U(3,4]

故答案为：(~0°,DU(3,4]

3

15.2

【分析】分a>°和。4°两种情况建立方程求解.

【详解】当。>0时,/'伍)=-2。〈0,

_33

\/(/(.))=/(-2a)=4^+1=10,解得"5或”一5(舍去)；

当“40时，/(〃)=/+1>0,

\/(/W)=/(a2+l)=-2p+l)=10,此时方程无解，

3

a=—

综上，2.

3

故答案为：2.

【点睛】本题考查已知分段函数的函数值求自变量，属于基础题.

9

/51

（一8,二］

16.4

【分析】根据给定条件，可得〃x)=2/G-1),分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算

作答.

【详解】因〃x+l)=2/(x),则/(x)=2/(x-l),又当xe(O,l］时，/(*)--(》-)+-e［0,-］^

当xe(1,2］时，|y+共吟，

―/«=-4X,

当xe(l,2］时，由8,解得4或4,

当xe(T,O］时，x+le(O,l］,小)=，川)=-枭N)=+3+1畤，

/(%)<-<-

显然，当'WO时，88,如图，

对任意Md8,何，都有必有机

(—8,一］

所以m的取值范围是4.

(-^0,-］

故答案为：4

<_2

17.aN-1或a2.

【分析】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a

的取值范围.

【详解】假设集合A、B、C都是空集，

对于A,元素是x,4=0,表示不存在x使得式子f+4"-4a+3=°成立，

31

.乂=16/-4(-4〃+3)<0,解得-

对于B,8=0,同理△=("1)2-4/<0,解得。§或者°<_［；

对于集合C,C=0,同理△=(2")一+8。<0,解得一2<a<0；

3,

——<a<-\

三者交集为2；

取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，

10

，a的取值范围是或a2.

a<--

综上，或2.

18.⑴T<"1⑵［1产）口{-1}

【分析】（1）由全称命题的否定与真假判断求解即可;

（2）由全称命题与特称命题的真假判断求解即可

【详解】（1）.••命题p的否定为真命题，

命题P的否定为：引4x42,x>a2+\,

/.a2+1<2,-1<a<1.

（2）若命题p为真命题，贝IJ/+1N2,即或

•••命题q的否定为真命题，

...“VI4x42,一次函数卜=工+”的图象在*轴及x轴上方，，为真命题.

.•/+。20,即。2T..•.实数a的取值范围为口，+8）5-1}.

19.（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）根据重要不等式，进行不等式的转换，可得答案；

（2）利用通分及基本不等式，可得答案.

【详解】（1）因为。2+从22时,当且仅当时等号成立，

所以li上a1+b°1\'>ia1++"2aob+ob2—(ci+b]2所以a2+b2>-----2---—,所以Ja：+6’2’庭狰.①

同理&②，V2③.

yla2+b2+-Jb2+c2+>lc2+a2>2a+氏+"=-Jlfa+h+c)

①+②+③，得V2,当且仅当时等号成立.

(2)因为x+N+z=l,x,九z是正实数，

口_1心1丫幻］=匕.土.山之亚.也.亚=8

所以lx人N人zJxyzxyz,

x=y=z=-fl_iVl_iYl_ik8

当且仅当13时等号成立.又x,y,z互不相等，所以I*八夕八z）

20.（1）。<20；Q）答案见解析.

2

Q<x+一

【分析】（1）当》［1，5］时将原不等式变形为X,根据基本不等式计算即可;

11

（2）不等式化为（x-2）（奴+1）>0,讨论。的取值，从而求出对应不等式的解集.

【详解】（1）不等式/（幻>3"即为：x2+2ax+2>3ax,

X2+22

.ca<-----=x+-

当xe[rl,5]时，不等式可变形为：xx,

=2y[2

当且仅当》=加时取等号，所以I,

所以实数a的取值范围是a<2应.

（2）不等式（4+1）/+2or+2,

等价于亦■4-（1—2a）x—2>0,gp（x-2）（ar+l）>0,

①当。=0时，不等式整理为1-2>0,解得工>2；

当。力0时，方程（*—2）3+1）=0的两根为为=一-毛=2,

1八C1

---<0<2x<—

②当。>0时，可得a,解不等式（、-2）（*+1）>0得Q或x>2；

③当2时，因为。,解不等式-2）（女+1）>0得。；

110

ci—————2

④当2时，因为。,不等式（”2）（以+1）>°的解集为0；

11r1

a<——<2.—<x<2

⑤当2时，因为。，解不等式（x-2）3+l）>0得a.

综上所述，不等式的解集为：

①当"=°时，不等式解集为⑵”）；

——<a<0

③当2时，不等式解集为

a=——„

④当2时，不等式解集为0；

<7V---—,2

⑤当2时，不等式解集为

12

U,Z

21.(1)奇函数，证明见解析；(2)“X)在R上单调递减，证明见解析；(3)18>

【分析】(1)利用赋值法求出八°)=°,根据函数奇偶性定义即可证明；

(2)根据函数单调性定义即判断函数的单调性；

(3)结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论

【详解】⑴为奇函数；

证明：^x=y^0,得/(o+o)=/(o)+/(o),解得：/(0)=o

令歹=-X,则/(¥-丫)=/(*)+/(-#=/(0)=0,=

所以函数夕=〃x)为奇函数；

(2)"X)在R上单调递