2023-2024学年广东省广州市高二年级上册期末数学模拟试题 (四)(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线方程2x-y+m=0的一个方向向量)可以是()

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)

【正确答案】D

【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.

【详解】解：依题意，仅,T)为直线的一个法向量，...方向向量为(1,2),

故选：D

2.双曲线的一个焦点与抛物线/=24夕的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60。，则该

双曲线的标准方程为()

A.Z_S=iB.^-21=1

54185418

【正确答案】C

【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到。，b关系，求解即可.

【详解】解：抛物线-=24y的焦点：(0,6),可得c=6,且双曲线的焦点坐标在了轴上，

因为双曲线的渐近线的倾斜角为60。，

所以:=百，即“2=3〃，

0

^c2=a2+b2=36,所以/=27,/=9，

所求双曲线方程为：=1.

279

故选：C.

3.平面。的一个法向量；1(2,0,1),点/(-1,2,1)在a内，则点2,3)到平面a的距离为

()

A.2近B.逑C.班D.亚

2510

【正确答案】C

【分析】由点到平面距离的向量法计算.

【详解】尸4=(-2。-2),

XT3M

cos<n,PA>=

1品=10

所以点尸(1,2,3)到平面a的距离为d=潮cos<:凛卜28噜二述.

故选：C.

4.设x,蚱R,向量”=6=(0,1),°=(2,-4,2)且4_|_6，b〃c，则|。+6]=()

A.2亚B.V10C.3D.4

【正确答案】C

【分析】根据b'llc^解得x,y,然后由空间向量的模公式求解.

【详解】因为向量』;(1,乃1)，:二(2,-4,2)且由「，—得》+了+1=0,由

得卜七解得y=-2,x=l,所以向量£(1,1,1),6-(1,-2,1),

2—4

所以GA(2,-1,2),

所以|a+6|=立+(Ty+22=3

故选：C

5.已知等比数列｛《,｝的各项均为正数，且%&4a7=18,WlJlog,a,+log3a2++log3a10=

()

A.10B.12C.l+log35D.2+log35

【正确答案】A

【分析】计算得出牝4="利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果.

【详解】a5a6+a4a7=2asa6=18,所以，a5a6=9,

55

故logs%+log?%++log3al0=log3(a,a2al0)=log3(a5a6)=log39=10.

故选：A.

6.动点A在圆/+j?=i上移动时，它与定点8(3,0)连线的中点的轨迹方程是()

A.x2++3x+2=0B.x2+y2―3x+2=0

C.x2+y2+3y+2=0D.x2+/-3^+2=0

【正确答案】B

【分析1设连线的中点为尸(x,y),再表示出动点A的坐标，代入圆/+『=1化简即可

【详解】设连线的中点为P(x,y)，则因为动点/(X"”)与定点3(3,0)连线的中点为P(x,y),

故

猫+3

X

2-ixA-2x-3

\，，又A在圆/+/=]上，故(2x_3r+(2y)2=l,

元m=2y

[\一

即4x?-12x+9+4y2=1,4x?-12x+8+4y2=0即x2+y2-3x+2=0

故选B

本题主要考查了轨迹方程的一般方法，属于基础题型.

7.如图已知矩形48a),48=1,8C=JL沿对角线/C将/8C折起，当二面角B-NC-。

的余弦值为时，则8与。之间距离为()

【正确答案】C

【分析】过B和。分别作8E_LNC,DF1AC,根据向量垂直的性质，利用向量数量积进

行转化求解即可.

【详解】解：过8和。分别作DF1AC,

在矩形ABCD,AB=1,BC=B：.AC=2,

^ABc=S^DC，：.^ABBC=^ACBE

BE=DF=—,

2

则/E=C1尸=’,即£F=2-1=1,

2

平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为,

3

.1

cos<EB,FD

BD=BE+EF+FD，

=(BE+EF+FD)2=BE^+EF'+FD+2BEEF+2FDBE+2EFFD=^+1+^-2\EB[\FD\CQS<EB

75、06,1、51I

,FD>=——2x——x——x(—)=—-4—=3，

222322

则问=5

即a与。之间距离为6，

故选：C.

22

8.耳6是椭圆E:=+4=l(a>b>0)的左、右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在X轴上，

aD

满足/"MN=NF?MN=60”,若3MF：+5M心入,则椭圆E的离心率为()

A.-B.-C.1D.-

9638

【正确答案】D

【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定1A优|与的关系，再利

用椭圆定义结合余弦定理求解作答.

【详解】由3〃£+5〃6=彳疝得，以3用足、5成为一组邻边的平行四边形的以点〃为

起点的对角线对应的向量与加共线，

由N6MN=N^MN=60。知，MN平分■4F\MF],

因此这个平行四边形是菱形，有3|/片|=5|仍|,

又IMI+|g|=2%于是得|5|=：5。,|峥|=3^。，

令椭圆E的半焦距为c,在△耳Mg中，/耳岫=120’,

2

由余弦定理得：|片乙|=|MF^+\MF2『-21||MF21cosZFtMF2,

即4c2=（?a）2+（,〃），+，

则有e2=:=竺，解得e=1,所以椭圆E的离心率为。.

a26488

故选：D

二、多选题

9.已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S“，q<0,品=工3,则下列结论正确的有（）

A.｛%｝是递减数列B.«12>0

C.520<0D.S“最小时，〃=10

【正确答案】BD

【分析】根据等差数列的性质首项4<0可得：公差d>0且对=-6。>0即可判断等差数列

｛%｝是递增数列，进而求解.

【详解】因为等差数列｛。,,｝的前〃项和为，，且S,=S”，

所以S|3_*=4+%+《0+%+42+《3=3也0+卬）=0,贝|J有=-alQ,

因为q<0,所以公差d>0,且即=-6。>0,所以等差数列｛%｝是递增数列，故选项A错

误；

6fI2>aH>0,故选项B正确；

因为520=2°0.詈。=.驷产）.=0,故选项C错误；

由即=-q0>0可知：等差数列｛%｝的前10项均为负值，所以S,最小时，〃=10,故选项D

正确，

故选.BD

10.过点「（2,1）作圆O：/+/=i的切线，切点分别为48,则下列说法正确的是（）

A.

B.四边形尸403的外接圆方程为f+「=2x+y

C.直线48方程为歹=-2工+1

O

D.三角形尸，8的面积为］

【正确答案】BCD

【分析】求出|。尸|,由勾股定理求解归力|,即可判断选项A；

利用P0为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B；利用“8L0P,求出直线48

的斜率，即可判断选项C；求出直线尸。和Z8的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，

即可判断选项D.

【详解】对于A,由题意可得：|0耳=亚二=6，由勾股定理可得，1PH=亚豆二己=2,

故选项A错误；

对于B,由题意知，P8_L08,则P。为所求圆的直径，所以线段尸。的中点为(1,；),半径

为孚，则所求圆的方程为(x-l)2+(y-；)2=；,化为一般方程为一+/=2X+了，故选项B

正确；

对于C,由题意，其中一个切点的坐标为(0,1),不妨设为点8,则/8LOP,又勺p=g,

所以38=-2,所以直线48的方程为V=-2x+l,故选项C正确；

对于D,因为45LOP,且直线OP的方程为了二3X，直线48的方程为y=-2x+l,联立

2

y=-2x+1x=—

521

方程组1,解得，所以两条直线的交点坐标为。(1,?，则

y=­x1

2

|如JH)2=半,H=^(|-2)2+(1-l)2=^.

故△尸8。的面积为叵X生叵=&,所以尸48的面积为§,故选项D正确,

25555

故选.BCD

11.已知ae(O,?i),曲线Ux?sina+炉cosa=1,下列说法正确的有()

JT

A.当时，曲线C表示一个圆

4

JT

B.当£=彳时，曲线C表示两条平行的直线

2

C.当兀J时，曲线c表示焦点在X轴的双曲线

D.当a€（O,：J时，曲线C表示焦点在y轴的椭圆

【正确答案】ABC

【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可.

【详解】对于A,当a=：时，曲线fsina+y2cosa=l表示圆/+;/=0，所以A正确:

JT

对于B,当。=:时，曲线C表示两条平行的直线x=±l,所以B正确.

对于C,当时，曲线C:一卜吊㈤一浊3凶=1表示焦点在x轴的双曲线，所以c

正确.

对于D,当时，0<sina<cosa<l,曲线C表示焦点在x轴的椭圆，所以D不正

确.

故选：ABC.

12.如图，棱长为1的正方体/8CD-44GR中，"为线段/月上的动点（含端点），则下

列结论正确的是（）

A.平面5cM，平面月明仞

B.三棱锥8-MB。体积最大值为。

6

c.当旭为N4中点时，直线四。与直线CM所成的角的余弦值为正

3

TT

D.直线。历与4。所成的角不可能是£

4

【正确答案】ABC

【分析】利用面面垂直的判定知A正确：

利用腺一gc=七一幽必，可知三棱锥5-M4C体积最大时，SBB、M最大,由此可计算确定B正

确；

以。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可知c正确；

在C中的空间直角坐标系中，假设得到"(1",1-2),假设所成角

可以为利用异面直线所成角的向量求法构造方程可求得2的值，知D错误.

4

【详解】对于A,BCLAB,BC上BBi,ABCBB、=B,48,8与u平面4眼，

3C_L平面44也，又6Cu平面8CM,平面8cMl.平面，A正确;

对于B,腺.M&C==]SBB]M,8c=.

M为Z片上动点，，当M与A重合时，S*M取得最大值为；N8•=；,

■■■(r«-wL=14=rB正确；

对于C,以。为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，

当M为/片中点时，又用C(0,l,l),0(0,0,1),

,cos<B、D,CM>=

，当M为/月中点时，直线与。与直线CM所成的角的余弦值为正，C正确;

3

对于D,如C中所建立的空间直角坐标系，设AM=XAB,(Q<X<\y

又Z(l,0,l),.,・典二(0,1,-1),AM=(O,^,z-l),.-.(0,^,2-1)=(0,2,-2),

则y=4,z=l-2,/.M(1,2,1-2),

.•.CA/=(1,Z-1,-A),又同方二(-1,0,1),

,,•,、•••，,

比,以

卜]一川_

cos<CM,AXD>\=

\CM\-\Afi\^1+(2-1)2+Z2X^

兀卜1一4近

若直线6与4。所成的角为7,则川(5+—返。，

解得：4=2土百，又4e[0,l],

二当2=2-石，即//二(2-6)/5：时，直线CM与4。所成的角为5,D错误.

故选：ABC.

易错点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，对于CD选项中的异面直线所成角,

可利用异面直线所成角的向量求法确定结论是否成立，易错点是忽略异面直线所成角的范

围，造成余弦值求解错误.

三、填空题

13.已知数列｛《,｝的前"项和S“=〃2,则数列]—!—1的前2022项和为

1-J

2022

【正确答案】说

【分析】由a,=S,-Si求得%=2"-1,再由裂项相消法即可求出.

【详解】因为S〃=〃2,当〃=1时，a]=S]=\,

当〃22时，Q”=S〃—S〃_]=—1)=2/?—1,满足。i=l,

所以%=2〃-1,

、11_1____

所以。,4+](2/7-1)(2/7+1)212/7-12〃+15

所以数列一^|的前2022项和为

a

lA+iJ

If,1111111)2022

2(3355740434045J4045

2022

故答案为.碗

14.设点A的坐标为（1,而），点P在抛物线/=8x上移动，P到直线x=-2的距离为d,

则d+IF的最小值为

【正确答案】4

根据抛物线的定义可知，当4P,b三点共线时，d+|P/|取得最小值，由此求得这个最小值.

【详解】抛物线的焦点为（2,0）,根据抛物线的定义可知，PF=d,所以当4P,77三点共线

时，"+|尸/|取得最小值，最小值为»尸|=g?=4.

故4

本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

2

15.设P是椭圆"：土+/=1上的任一点，£尸为圆N:x2+/-y=o的任一条直径，则

PE-PF的最大值为.

【正确答案】49

4

【分析】设点尸（x,y）,则x?=2—2/且计算得出PE•尸尸=一。+』+：,利用

二次函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】圆=（的圆心为半径长为，

设点P（x/）,贝良2=2-2/且-14y41,

PE=PN+NE，PF=PN+NF=PN-NE.

所以PEPF=（PN+NE、（PN-NE）=PN-NE"=N--i+x--

=2-2y2+-y2-^+2=-^+J+｝，

所以，当了=-《时，〃取得最大值，即（葭M=7.

2''max4

0

故答案为

4

方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基

本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

16.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，

用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，

据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费

400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利

润为元(取1.2"=7.5,1.2立=9)

【正确答案】40000

【分析】设一月月底小王手中有现款为q=11000元，〃月月底小王手中有现款为”+1月

月底小王手中有现款为。用，根据题意可知％=1.2。“-1000,整理得出

《川-5000=1.2(a„-5000),所以数列｛/-5000)是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，

求得出=50000元，减去成本得到结果.

【详解】设一月月底小王手中有现款为4=(1+20%)X10000-1000=11000元，

〃月月底小王手中有现款为a„,〃+1月月底小王手中有现款为a„+1,

则a„+l=1.2%-1000,即。田-5000=1.2(%-5000),

所以数列｛4-5000｝是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，

a]2-5000=6000xl.2",即4=6000x1.2"+5000=50000元.

年利润为50000-10000=40000元.

故40000.

该题考查的是有关数列应用的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，属于简单题目.

四、解答题

17.在/8C中，角Z,B,C的对边分别为a,b,c,且6cosH+ga=c.

2

(1)求8的大小；

(2)若c=&a+b=2,求/8C的面积.

【正确答案】(l)g:(2)走.

64

【分析】(1)由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得且sin/=sin/cos8,求得

2

cosB=®，即可求解；

2

(2)由余弦定理可得+3=3°,结合a+b=2,求得。=6=1,利用三角形的面积公

式，即可求解.

【详解】(1)ScosA+—a=c,

2

n

由正弦定理可得sin5cos力+Jsin4=sinC,

2

XsinC=sin(/+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以且sin4=sincos5，

2

因为4w(0,1)，则sin4>0,所以cos3=@,

2

因为8w(0人),所以8=

o

(2)因为8=5，C=

o

由余弦定理可得cosB=+3力=当，整理得.2一万+3=3“，

2ax宕2

又cr+b=2,解得a=6=1,

以S.Ke一℃sinB——x1xyfix-=.

般2224

本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题

目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的

关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

18.已知数列｛氏｝满足q=l,a,+i=2a“+l,”eN*.

(1)证明数歹式%+1｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵令bn=n(a„+1),求数列也｝的前〃项和T,,.

【正确答案】(1)证明见解析，见=2"-1

(2)北=(〃-1>2e+2.

【分析】(1)根据等比数列的定义证明数歹！|{6,+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，进

而求解得答案；

(2)根据错位相减法求和即可.

【详解】(1)解：数列｛/｝满足q=l,%M=2a“+l,〃eN*.

Q.+l=2(q+l),

数列｛q+1｝是以％+1=2为首项，2为公比的等比数列，

a„+l=2-2n-'=2",即%=2"-1；

(2)解：Qb„=n(a„+\)=n-2",

.\7；=1-2+2-22+3-23++n-2",

27；=1-22+2-23+3-24++小2向，

:.-T=2+22+2｝+L+2"-n-2"+,=2(2-1)-n-2"+,=2"+|-2-n-2,,+1,

"2-1

/.7；=(rt-l)-2,,+l+2.

19.如图，三棱柱N8C-44G的所有棱长都相等，4/5=N4NC=60。，点M为相C的

重心，的延长线交于点N,连接4".设加:广，AC=b\A,A^c.

⑴用a,b，c表示4M；

(2)证明：AXM1AB.

IX1x>

【正确答案】⑴=yb+c

(2)证明见解析

【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.

（2）通过计算4/*5:0来证得

【详解】（1）因为Z8C为正三角形，点〃为X5C的重心，所以N为8c的中点，

♦♦共11♦♦季0♦“一

所以4N=L/8+2/C,AM=-AN,

223

—次▼▼――汉▼▼仪）―叭，▼-11[X]xx

所以4"=4力+%/=4月+§4N=AxA-\--AB-\--AC=—«+-/?+c.

（2）设三棱柱的棱长为加，

xx

"***+<lXiXjXi>:（iXXXi1121

贝"4A7•AB=\—aH■—h+c-a=—a-1—a-h+c•ani4—nf——ntx-=0,

1U3J333322

所以4"_L48.

20.已知点尸（2,0）,HC.x2+y2-6x+4y+4=0

（1）若直线I过点P且被圆C截得的弦长为4近，求直线I的方程；

（2）设直线诉-歹+1=0与圆C交于48两点，过点P（2,0）的直线4垂直平分弦48,这样的

实数.是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】（l）3x+4y-6=0或x=2

（2）不存在，理由见解析

【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考

虑直线斜率不存在的情形；

（2）过点尸（2,0）的直线4垂直平分弦/反则圆心在直线右上，由此可得直线4的斜率，然

后由垂直求得叫由直线与圆相交求得。的范围，比较可得.

【详解】（1）•.•点尸（2,0）,直线/过点P,

二设直线/的斜率为左（左存在），则方程为y-0=A（x-2）.

又题C的圆心为（3,-2）,半径厂=3,

,l|3左+2-2对3

由弦长为4正，故弦心距d=l,由।/,匕1,解得％=-J

“2+14

3

所以直线方程为y=-：（x-2）,即3x+4y-6=0.

当/的斜率不存在时，/的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.

故/的方程为3x+4y-6=0或x=2.

（2）把直线“x-y+l=O,即y="x+l.代入圆C的方程，

消去y,整理得（/+1卜2+6（。-1）》+9=0.

由于直线ax-y+l=O交圆C于Z,8两点，

故△=36（4-1）2-36（/+1）>0,即一72a>0,解得a<0.

设符合条件的实数。存在，由于4垂直平分弦故圆心C（3,-2）必在4上.

所以4的斜率限=-2,而3所以”:.

Kpc2

由于;任（-8,0）,

故不存在实数a,使得过点P（2,0）的直线4垂直平分弦AB.

21.如图所示，等腰梯形Z88中，AB//CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E为8中点,

HE与BD交于点O,将△ZOE沿/£折起，使点。到达点尸的位置（内平面N8CE）.

（1）证明：平面尸。8_1_平面/8CE；

（2）若=试判断线段尸8上是否存在一点。（不含端点），使得直线PC与平面/E。

所成角的正弦值为巫，若存在，求出笔的值；若不存在，说明理由.

5。8

【正确答案】（1）证明见解析

（2）存在;§=1

【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明平面POB,然后结合已知可证;

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.

【详解】（1）连接8E,在等腰梯形/BCO中，AD=AB=BC=2,CD=4,E为CD中点,

，四边形ABED为菱形，

J.OBLAE,ODYAE,HPOBYAE,OPLAE,且。8nop=。,

08U平面POB,OPU平面PO8,.♦.4E'_L平面尸08,

又ZEU平面/BCE,平面尸O8_L平面Z8CE.

（2）由（1）可知四边形为菱形，.•.NO=DE=2,

在等腰梯形/BCD中/E=8C=2,.♦.△HE正三角形，

二0P=百，同理08=6，

,/PB=6

：.OP2+OB2^PB2,

：.OPLOB,

由（1）可知。尸_L/E,OBLAE,

以。为原点，OE,O8,OP分别为x轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系O-型,

则尸（0,0,万），A（-1,0,0）,5（0,73,0）,C（2,6O）,E（1,0,0）,

PB=（0,石,一研PC=（2五），力（2,0,0）,

--，、-•，、••，、■-，、一-，、

设PQ=；l尸8（0<；1<1）,AQ=AP+PQ=AP+APB=（1,&,万-R）,

设平面ZE。的一个法向量为（x,y,z）,

\^-A£=O[2X=0

:/0=0'即x+行为+田-6力=0

4.、A

取x=0,y—1,得2=-^~,/.n=（0,1,—~-）,

Z—1X—1

TT

设直线PC与平面4E。所成角为。，o,y,

化简得：4A2-42+1=0,解得2=一,

2

使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为半