2022-2023学年河北省唐山市高二期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省唐山市高二期末考试数学试题

一、单选题

1.已知集合片={乂€凶一1<》<5},«={xj-2<x<4},则AOB=（）

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{x|-l<x<4}D.{x|-2<x<5}

【答案】A

【分析】先得到A={0,l,2,3,4},从而求出交集.

【详解】集合A={X€N|-1<X<5}={0,1,2,3,4},集合8={目-2<乂<4},

所以A3={0,1,2,3}.

故选:A.

2.若/（x）=sinx,则lim，⑵）一，°）=（）

A.0B.gC.1D.2

【答案】D

【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.

【详解】由题意可知，r（x）=cosx,r（o）=i

同/⑵）“⑼=2lim〃°+"（0）=2f（o）=2.

t2t

故选：D.

3.已知p：a>b>0q：-y<p-,则〃是乡的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据a>b>0与/的互相推出情况判断出属于何种条件.

【详解】当a>8>0时，a2>b2>0,所以所以充分性满足，

-II

当滔时，取-2,6=1,此时a>b>0不满足，所以必要性不满足,

所以。是4的充分不必要条件,

故选：A.

4.已知函数/(x)为R上的奇函数，当x<0时，/(x)=x+2,则〃0)+〃3)等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【分析】根据/⑶=-/(-3)以及"0)=0可求出结果.

【详解】因为函数“X)为R上的奇函数，当x<0时，/(x)=x+2,

所以〃3)=-/(-3)=-(—3+2)=l.

而“0)=0,"(oH/GM.

故选：C.

5.五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站

成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有()

A.240种B.192种C.144种D.48种

【答案】B

【分析】农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识

进行求解.

【详解】2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二

三，第五六，第六七，有4利升

第二步：相邻女生排在一起有A；种；

第三步：4名男生排在剩下的位置有A：种.

因此2名女生相邻且农场主站在中间共有4A；A：=192种站法.

故选：B.

6.甲、乙两个箱子里各装有6个大小形状都相同的球，其中甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中

有3个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出1个球放人乙箱中，再从乙箱中随机取出1个球，则从

乙箱中取出的球是红球的概率为()

1011-14「I

A.—B.—C.—D.—

2121212

【答案】B

【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解.

【详解】设事件A表示从甲箱中随机取出一个红球，事件&表示从甲箱中随机取出一个白球，事件B

表示从乙箱中随机取出一个红球，

则p(A)=|,尸⑶A)=$尸(4)="(用4)4

所以P(B)=尸(4)尸(3|4)+尸(4)尸(3|4)=|、方++；却.

故选：B.

7.已知函数了。”诏器，设a=/(log302)/=〃log303),c=/(0.2°3),则()

A.a<c<hB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.

【详解】因为f(X)的定义域为｛X|XHO｝,且/(-X)=(7)；[7广£^=/(幻,

所以/5)为偶函数，fM=f(]x\),

又当x>0时，/3)=一■一单调递减，

X+X

03

由log30.2<log?0,3<log,g=-1以及o<O.2,<1,

03ft3

可得|1%0.2|>|log30.3|>|0.2|,/(|log30.2|)</(|log30.3|)<f(|0.2|),

即a<匕<c.

故选:D.

8.已知等差数列｛q｝和等差数列｛2｝的前”项和分别为S“和且*詈，则使得f为整数

的正整数〃的个数为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】利用等差数列的前〃项和公式，计算沪•得到?=3+2，再根据条件即可得到答案.

Ti„-ib„"+1

【详解】因为等差数列｛%｝和等差数列也,｝的前"项和分别为S“和T,,所以

s2,i=；m+“2"J(2〃_i)=4,

GTg(仇+仇,1).(2〃一1)b,

Sn3H+81aS.n.3(2n-1)+813/1+39o36

又h=-TT，所以片=h二,1—二丁丁」3+F，

Tn〃+3bnT2n_x(2/2-1)4-3,7+1724-1

因此要*为整数，当且仅当芈是正整数，X«eN-,则”+1是36的大于1的约数，又36的非1

bnn+\

的正约数有2,3,4,6,9,12,18,36,共8个,

则〃的值有1,2,3,5,8,11,17,35,共8个,

所以使得?为整数的正整数〃的个数为8.

b.

故选：C.

二、多选题

9.已知随机变量XN(3,<T2),且尸(1<X<3)=027,则下列说法中正确的是()

A.尸(3<X<5)=027

B.尸(3<X<5)=023

C.P(-2<X<1)<P(1<X<3)

D.P(-2<X<1)>P(3<X<5)

【答案】AC

【分析】根据正态分布的对称性逐一判断即可.

【详解】由XN(3Q2),则〃=3,由宁=3,

所以尸(3<X<5)=尸(l<X<3)=0.27,故A正确，B错误；

由〃=3,所以尸(X<3)=0.5,P(X41)=P(X<3)-尸(1<X<3)=023,

所以尸(1<X<3)=O.27>O.23=P(X41)>P(—2<X<1),故C正确；

由上可知，P(-2<X<1)<P(1<X<3)=P(3<X<5),故D错误.

故选：AC.

10.已知函数“X)的定义域为A,若对任意xeA,存在正数使得成立，则称函数

是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是()

八幻=六B./3)=忘7

C.八幻=.二：三20./(力=|乂+产H

【答案】BCD

【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.

【详解】对于A,/(x)=罟=一"©+7=_]+,由于/_力。，所以〃X)N—1,所以

4-x4-x4-x4-x

|/(x)|e[0,+a>),故不存在正数M,使得成立.

对于B,令“=1一斐,则=所以f(x)e[0』,故存在正数1,使得|f(x)国成立.

对于C,令“=f-2x+2=(x-l)2+l,则〃x)=，，易得〃知.所以0<〃x)4：=5,即〃x)e(0,5],

故存在正数5,使得|/(x)归5成立.

对于D,令，=则fw[0,2],凶=4一，，则f(x)=T2+f+4=_,_gj+?«e[0,2D，易得

2</(x)<^,所以|〃x)|e2?,故存在正数?，使得|f(x)归日成立.

故选：BCD.

5929

11.^2(l-x)+(l-x)=a0+al(x+l)+a2(x+l)+-+a9(x+l),则下列说法中正确的有()

A.即=576

B.%+q+/+…+%=3

C.ax=-2464

D.q+2al+3%+♦,,+9%=19

【答案】ABC

【分析】利用换元法令t=x+l,将方程转化为关于，的多项式，然后利用赋值法进行求解即可.

【详解】令，=x+l,则X=1—1,2(2—05+(2—09=%+。]，+//++%产，

令7=0,可得2(2-0)5+(2-0)9=%,即%=576,故A正确;

59

令7=1,可得《>+”[++a9=2(2—I)+(2—I)=3,故B正确；

由题可知q=2C；24(-1))+Ci28(-1)'=-160-2304=-2464,故C正确；

由2(2-t)s+(2-t)9=4+卬+…+a/,对等式两边同时求导可得：

~10(2—/)4—9(2—z)8=q+2a2f++9a/，

令r=l,可得q+2%+…+9%=-10(2-1)4-9(2-1)8=-19,故D错误.

故选：ABC.

12.若0<为<毛<1,则下列结论中正确的是()

A.Jfj-Xj>ln^-

x,

x,

B.书“<x2e

C.工>>球

占

【答案】ABD

【分析】分别构造函数/(x)=x—lnr,O<x<l,g(x)=-,O<x<1,/J(X)=—,0<x<1,利用导

XX

数讨论其单调性，由单调性比较可判断ABC；构造函数必(力=8-*+1回0<》<1,利用二次导数讨

论单调性，然后由单调性可判断D.

【详解】令〃x)=x—lnr,()<x<l,则/(x)=l_g<0在xe(O,l)上恒成立，

所以/(X)在(0,1)上单调递减，又0<X<々<1，所以/(%)>/(々)，即七一1时>32-向2，

所以玉一％2>ln土，故A正确；

X?

设g(x)=f,O<X<1,贝11/(力=^^<0在工€(0」)上恒成立，

XX

所以g(x)在(。，1)上单调递减，又。<玉<毛<1，

所以g(x[)>g(^)，BP—>—,所以书与<々©*，故B正确；

玉X?

令〃(用=也,0<》<1,贝1」〃'("=^^>0在X€(0,1)上恒成立，

XX

所以〃(X)在(0,1)上单调递增，又0<为<&<1,

所以/?(X1)</Z(W),即叫■<.,即上13<同11%2，即Inxjclnx；1,所以x『〈甘，故C错误；

%2

令“(x)=e「*+hu,0<x<l,则/(x)=-e'T+，=T~,令O(耳=_疣-+1,

xx

所以夕'(x)=(x-l)ei<0在xe(0,l)上恒成立,所以夕(x)在(0,1)上单调递减,所以夕(力>9⑴=0,

所以“'(x)>0在x«0,l)上恒成立,所以"(x)在(0,1)上单调递增，又0<西气<1,

1-X211

所以"(4)<〃(/),即e』4-liir,<e+lnx2,e^-e^<ln^-,

x]

所以l—e*f<e*，Tn&,故D正确.

芭

故选：ABD.

【点睛】此类问题主要方法：先同构函数，再由导数导数讨论其单调性，然后利用单调性比较可得.

三、填空题

13.命题“VxN2,X?22”的否定是.

【答案】3x>2,X2<2

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：因为命题“VxN2,V22”为全称量词命题，

所以该命题的否定为“玉N2,/<2”.

故答案为：3x>2,X2<2

14.某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和

销售量y(件)之间的一组数据如表所示：

售价X88.599.510

销售量y1615131110

根据表中数据得到丫关于x的回归直线方程是y=—3.2x+a，当售价为11.5元时，预测销售量为

件.

【答案】5

【分析】根据回归方程过样本中心点(元了)，求得a，然后可得预测值.

8+8.5+9+9.5+1016+15+13+11+10

【详解】由题意可知］==9,y=--------z--------=，

55

故回归直线过点(9,13),所以13=-3.2x9+a，解得a=41.8.

所以》关于x的回归直线方程是y=—3.2x+41.8，

当x=11.5时，^=-3.2x11.5+41.8=5,

即售价为11.5元时，预测销售量为5件.

故答案为：5

15.若直线丫=履+人与曲线“力=泼+/-2相切于点则6=.

【答案】-7

【分析】利用切点在曲线上和在切线上，以及切点处的导数等于切线斜率可解.

【详解】将尸(1,1)代入/(好="3+/_2,得。=2,

所以f(x)=+x2-2,f(x)=6x2+2x,可得左=/(1)=8

又尸(1,1)在直线>=去+6上，所以k+2=1,解得b=-7.

故答案为：-7.

16.一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内

每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为

X,则E（X）=

21

【答案】v

O

【分析】根据X的可能取值是1,2,3,4,5,求得其相应的概率，再利用期望公式求解.

【详解】解：X的可能取值是1,2,3,4,5,

贝l]P(X=l)=3,P(X=2)=—x-=—,P(X=3)=—x-x-=—,P(X=4)=—x-x-x-=l,

/>(X=5)=—x-x-x-=l,

'7109876

3771121

所以E(X)=lx—+2x——+3x——+4x—+5x—=——.

V7103040868

21

故答案为：—

o

四、解答题

17.某工厂生产某产品的成本x（万元）与销售额）（万元）的几组对应数据如下表所示:

成本X（万元）1020304050

销售额y（万元）4070110130150

（1）根据以往经验可知，成本x（万元）与销售额y（万元）之间具有线性相关关系，求销售额y关

于成本x的经验回归方程；

⑵根据（1）中经验回归方程，预测当销售额为200万元时，成本为多少万元？（结果保留一位小数）

参考公式：回归直线§=队+》的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为8--------,a=y-'bx,

X%；-rix2

i=I

其中工亍为样本的平均值.参考数据：%=17800,=5500.

i=li=\

【答案】（l）y=2.8x+I6

(2)65.7万元

【分析】（1）先求出样本中心点的坐标，利用公式求出6=2.8,再求出“的值即可;

(2)令y=2.8x+16=200，求得x的值即可.

【详解】(1)X=1x(10+20+30+40+50)=30,y=1x(40+70+110+130+150)=100,

-178(X)-5x30x100…w

所以〃=------------；—=2.8,67=100—2.8x30=16,

5500-5x302

所以回归方程为y=2.8x+16

(2)由(1)知y=2.8x+16，令y=2.8x+16=200，得x=65.7(万元)，

即预测当销售额为200万元时，成本大约为65.7万元.

18.设函数尸加+3用川.

⑴若关于x的不等式y>0的解集为卜卜1。<3},求)亚4的解集；

14

(2)若x=l时，y=2,a>0,b>0,求上+；的最小值.

ab

【答案】⑴{1}

(2)9

【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出从而解不等式求出解集;

（2）先得到。+6=1,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】（1）由题知⑪2+（6-2）X+3=0的两个根分别是T,3,

a+2-h+3=0

则9a+36-6+3=0'解得

b=4.

故y=0¥?+(/?-2)x+3=-x2+2x+3>4,

x2-2x+l<0,解得x=l.

所求解集为{1}.

(2)x=l时，y=2,即♦+人+1=2,所以有。+人=1,

1414

那么1+厂(〃+/?)

ab

=1+4+-+—>5+2^4=9,

ab

b_4a

3

当且仅当a〃，即“时，取等号.

a+Z?=1b=-

3

14

故［+各的最小值为9.

19.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且5“=2a”-2.

⑴求｛叫的通项公式;

3〃一1

⑵若数列也｝满足a=丁求数列也｝的前"项和7”.

【答案】（1）为=2"；

377+5

⑵£=5-

2"

【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“"22,%=5“-5”/求解作答.

（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和作答.

【详解】（1）在数列｛4｝中，S“=2%-2,当“22时，S“T=2《I-2,两式相减得%=2%-2a,i，

即4=2/_[,而q=S[=2q-2,有q=2,

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，/=2.2〃7=2〃，

所以｛4｝的通项公式是勺=2”.

73〃-13n-l

（2）由（1）知"=----=^—,

an,

.子2583〃—1

则n]=万+于+m+…+三=

T曰1T2583>n—43〃-1

于足/行+井梦+…++^7F，

两式相减1得/口3+3级3+/外+3一3/牙7-1-尹=|+<+-于3〃一r1=55-齐3/2+5，

1--

2

所以（=5-竽・

20.随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们

生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络

安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行

问卷调查，统计结果如下表所示：

男女合计

了解150240

不了解90

合计

（1）根据所提供的数据，完成2x2列联表，并依据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为对“网

络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？

（2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随

机抽取3人，记X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

参考公式：r=其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

参考数据:

a0.100.050.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

【答案】（1）列联表见解析，有关

9

（2）分布列见解析，-

O

【分析】（1）完成列联表，利用公式求解即可得出结论.

（2）利用超几何分布求解对应概率，得出分布列，即可得出结果.

【详解】（1）根据题意，得到2x2列联表为:

男女合计

了解15090240

不了解7090160

合计220180400

零假设为名：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联.

根据列联表中数据，可以求得:

400x(150x90-90x70)2

Z2=——«13.636>7.879=x,

220x180x160x2400005

根据小概率值a=。005的独立性检验，我们推断/不成立,

即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.

（2）从男生中抽取：8X-1^_=5（人），

150+90

90

从女生中抽取：8x———=3（人）.

150+90

X的所有可能取值为o,1,2,3,

唳=0）=0=9,3=1）=笑=旦

P（X=2）=普琮,尸（X=3）=||*,

c8>0C8JO

X的分布列为:

X0123

515151

P

28285656

所以E（X）=0x京+1X挣2x5+3xjq.

2oZoJOJOo

21.高二年级上学期共进行5次月考，每次月考成绩互不影响.记语文和英语为文科科目，记数学和

物理为理科科目，其余科目暂不参与评估.每次月考中，文科科目与理科科目总数不少于3门成绩优

秀，将获得“优学达人”称号，某学生在高二上学期的月考中，从文科科目和理科科目中各随机抽取5

次成绩，其中4次文科科目和3次理科科目成绩优秀.

（1）从文理科各抽取的5次成绩中，分别随机抽取2次文科科目和2次理科科目成绩，求至少有3次

成绩优秀的概率；

（2）经过该学生寒假期间的自主学习，每次月考文科科目和理科科目每门成绩优秀的概率分别为Pi,

。2,且目+22=彳，化咚幺），高二下学期共进行5次月考,设该学生在这5次月考中获得“优学

达人”称号的次数为X,求X的数学期望的取值范围.

33

【答案】⑴前

F4621863-

⑵1255500

【分析】（1）分三种情况：1次文科科目和2次理科科目成绩优秀，2次文科科目和1次理科科目成

绩优秀，2次文科科目和2次理科科目成绩优秀，分别求出各种情况的概率，再利互斥事件有一个

发生的概率公式即可求出结果；

（2）先求出自主学习后该同学每次月考获得“优学达人”的概率，并求出其范围，根据条件知学生获

得“优学达人”称号的次数X~3（5,尸），再利用二项分布的均值公式即可求出结果.

【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有:

CCC3

①1次文科科目和2次理科科目成绩优秀的概率为6=

C&-25'

②2次文科科目和1次理科科目成绩优秀的概率为P2=5

③2次文科科目和2次理科科目成绩优秀的概率为6=潟=—,

C5c5J。

故所求的概率为p=23+《9+29=总33.

25255050

（2）由已知可得，自主学习后该同学每次月考获得“优学达人'’的概率为

P=C；R（1—PJCP；+c；p；.CP?（i—P2）+GP：・c满

=2pg（&+0）-3（P|P2）2=3网々-3（P|〃2『，

343339

因为PI+P2=5,旦，1之不〃2之三,所以不一〃1之三,即Pi46'

乙JJ4J1Vz

所以*Pl*,所以0也=0根_〃）=_（口_:）+卷，

由z「一

所以"必€[2而7，石14「

iA23「2714-

一+二在工？不上单调递减，

h2）4L5025」

4621863

所以公

625'2500

因为该学生获得“优学达人”称号的次数X~3（5,尸）,

4621863

所以E（X）=5Pw

4621863

即的数学期望的取值范围是

XT^s'loo

22.设函数f(x)=_re、-2ae*,g(x)--2-ax,aeR.

⑴求〃x）在xe[0,一）上的单调区间;

（2）若在）,轴右侧，函数“X）图象恒不在函数g（x）的图象下方，求实数。的取值范围;

(3)证明：当“eN*时，1+:+：++-<ln(2n+l).

23n

【答案】(1)答案见解析

⑵把1

(3)证明见解析

【分析】⑴求得/'(x)=(x+l-2a)e，，分1-2。20和1一加<0,两种情况讨论，结合导数