2023-2024学年山西省高平市高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山西省高平市高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.设iz=4-3i,则复数z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【正确答案】A

【分析】由题意结合复数的除法运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得.2=上2=(4-34=£9=凸―

ii2-1

故选：A.

2.复数Z=i3-1(i是虚数单位)的共葩复数』在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】B

【分析】根据复数单位的性质进行运算，求得复数z,以及〉根据复数的几何意义即可得

答案.

【详解】由题意得z=i3-l=_l-i,.i=7+i，其对应点(-11)位于第二象限，

故选：B

3.若平面向量Z与石的夹角为60。，a=(2,0),同=1,则p+2可等于().

A.73B.273C.4D.12

【正确答案】B

【分析】利用7=同转化即可

【详解】解析：因为£=(2,0),所以值1=2,又因为向量Z与5的夹角为60。，1*1=1,

所以G石=|司Wcos6()o=2xlx；=l,所以归+2可=扬+4》石+4铲=-4+4+4=2道.

故选：B

4.若/(1,，"),8(〃?+1,3),。(1-私7)三点共线，则机=()

A.-5B.5C.0或-5D.0或5

【正确答案】D

【分析】由题意可得9//就，再利用向量共线求解即可.

【详解】因为益=（利,3-机）屈=（-2机,4）,

若4（1,〃?）,8（加+1,3）,。（1-"1,7）三点共线，则~ABIIBC，

所以4加=-2m（3-m）,

解得加=0或5.

故选：D.

5.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、8两点分别测得树尖的

仰角为30。、45°,且A、8两点之间的距离为60m,则树的高度为（）

A.卜0+306)01B.卜0+156)mC.(15+30石)mD.(15+15^/3)m

【正确答案】A

【分析】利用正弦定理可得PB,进而即得.

【详解】在NP/B=3Q°,4尸8=45°-30。=15°,/8=60,

又sin15。=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°

五也e、V6-V2

=X-------------------X—=--------------------

22224

PBAB

由正弦定理得:

sin30°sin15°

ix60

PB=3~~产=30(76+V2),

V6-V2

4

二树的高度为PBsm45°=30x(V6+五)x[=(30+30<3；(m).

故选:A.

6.已知ABC的三个内角48,C所对的边分别为a,4c.若

sin2A+csinA=sin/lsinB+/>sinC>则该三角形的形状一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

【正确答案】C

【分析】利用正弦定理的边角转化，将已知变形asin/+qc=bsinZ+6c,化简从而得出a=b

【详解】因为sin?A+csinA=sinAsinB+bsinC，

由正弦定理，三=2R(2R为。8c外接圆的直径)，

sin4sin8sinC

—a.▲ab.A[c

可得---smA+----c=----sinJ+p----,

2R2R2R2R

所以a(sinA+c)=b(sinA+c).

又因为sin4+c>0,所以。=6.即小3c为等腰三角形.

故选：C

7.。是平面上一定点，4、B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

AB

OP-OA+A、雨,Ae[O,+a>),则P的轨迹一定通过“BC的)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【正确答案】B

【分析】根据必•+£是以A为始点,向量空与£为邻边的菱形的对角线对应的

\AB\\AC\\AB\MC|

向量，可知P点轨迹，据此可求解.

【详解】•.•丽-刀=万，._•_."="A泻R+A誓C

I叫MC|

人ABAC

令,=AM，

\AB\\AC\

ADAT

则而是以A为始点，向量岩与冬为邻边的菱形的对角线对应的向量,

I481IAC|

即心在/历IC的平分线上，

•/AP=XAM>而共线，

故点P的轨迹一定通过△ZBC的内心，

故选：B

8.已知向量1与向量5均为单位向量，且它们的夹角为6（1,则向量Z在向量右上的投影

向量为（）

|-3-1-3-

A.——aB.—bC.——bD.—a

2222

【正确答案】B

【分析】由已知条件求出75,再由投影向量公式计算即可求出答案.

——―[]—•—•—•2113

【详解】V(a-/?)/?=Ixlx—=—,/.ab-b=—,则。・b=—,

2222

a53

一

故向量£在向量3上的投影向量为同cos^^将第=力

B-2-

力

故选：B.

二、多选题

9.已知复数z=（l+2i『（i是虚数单位），下列正确的是（）

A.复数z的实部为-4B.复数z的共扰复数为-3-布

C.|z|=|l+2i|2D.复数|z+6|的模为5

【正确答案】BCD

【分析】由复数的乘法运算、共轨复数的概念及复数的模长依次计算即可.

【详解】z=（l+2i『=-3+4i,故实部为-3,故A错误：复数z=-3+4i,故共辗复数为

-3-4/,故B正确：

=J9+16=5,|1+2i『=（W+4）=5，|z|=|1+2i|',故C正确；z+6=3+4i,故复数|z+6]

=J9+16=5，故D正确.

故选：BCD.

10.下列命题不正确的是（）.

A.棱台的上,下底面可以不相似，但侧棱长一定相等

B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

C.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

D.直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥

【正确答案】ABCD

【分析】直接根据棱台、棱柱、棱锥和圆锥的定义判断各选项即可.

【详解】对于A：棱台的上、下底似，但侧棱长不一定相等，故A错误；

对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱

锥的定义相矛盾，故B错误；

对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；

对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，故D错误；

故选：ABCD

11.已知向量联=(3,1),力=(1,3),则下列说法正确的是()

A.(a+6)l(a-6)B.a>各的夹角为60

C.£在加上的投影向量为(36-D.加在£上的投影向量为14。-

【正确答案】AC

【分析】对于A选项，伍+B)_L(Z-5)oR+4仅-5)=0即可求解；

a-b

对于B选项，利用向量夹角公式cos<£5>=函计算;

对于C、D选项，由投影向量的定义得，而在［上的投影向量为问cos<和

【详解】由4=(3,1),6=(1,3),可知卜|=W=6/6=3x14-1x3=6，

对于A选项，(Q+^).(Q-5)=a2-b2=同-+/|=U10=0,故故A正确;

八a》31

对于B选项，设。为£,刃的夹角，则8$。=丽=《二5,故B错误；对于C选项，£在

加上的投影向量为同8$"a=|否，故C正确；对于D选项，了在々上的投影向量为

限,夕京=N，故D错误•

故选：AC.

12.在“8C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且。=近，则下列选项正确的是

()

A.若B=—,1<^<>/2,则A/8C有两解

4

B.若3•，兀)/>五，则△/3C无解

C.若A/8C为锐角三角形，且3=2C,则sin4e2aL

D.若力+8=2C,则”+6的最大值为2五

【正确答案】ACD

【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；

根据三角形是锐角三角形，求角。的范围，即可判断C；

利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.

【详解】对于A,因为8=2,1<6〈收，所以csin8<b<c,则“8C有两解，A正确.

4

对于B,因为8€(曰,兀)力>应，所以"8C有且仅有一解，B错误.

0<K-3C<-

2

对于C,由<0<2C<]得/C<%则sine"；,*),

0<C<-

2

e且〃ca”.,asinC拒1\―十外

因为一―7=丁)，所以sin/=--------e—a.-a,C正确.

sinAsinCc142J

a_b_c_5/2_2-76

对于D.因为4+5=2C,所以。=三，又因为sin/一sin8-sinC一耳一行"

2

所以Q=A,b=B，则

33

-2c..276.□2c..276.f2^-V

a+b=-----sinAH--------sinB=------sinAH-------sm|——A-

333313)

^^-f-sin^+—cos^=26sin(4+四］,由0cze女，^―<A+—<—,

322I6J3666

所以当/+F=m，即/=9时，。+6取得最大值2近，D正确.

623

故选：ACD

三、填空题

13.在复数范围内，将多项式/-1分解成为一次因式的积，则/-1=.

【正确答案】(x-D(x+l)(x-D(x+i)

【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可.

【详解】由已知X”一1=(一)2-『=J2-1)(/+1)=(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).

故(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).

14.已知|町=1,防|=0,d与5的夹角为则。在5方向上的投影向量为.

4

1r

【正确答案】-b

2

【分析】由向量投影的定义即可求得则1在B方向上的投影向量.

【详解】2在5方向上的投影向量为I町cosE-刍二4无

故与

2

15.若“8C中，已知a=2ji,6=2,S：=△，则c=.

【正确答案】2或2近

【分析】由三角形面积公式可得角C,再由余弦定理即可得结果.

【详解】因为a=26，b=2,S“Bc=gabsinC=百,

即sinC=(，由于Ce(O,兀)，所以C=?或学，

当C=3时，c2=/+/_2“6cosC=12+4-2x2百x2x巫=4，即c=2；

62

当C=2时，c2=a2+b2-2abcosC=12+4-2x2/3x2>—=2$,即c=26，

6I2J

即c的值为2或2近，

故2或2#.

2兀

16.“8C的内角的对边分别为a,6,c.若/=彳，8c边角平分线/。=1,则边a的

最小值为.

【正确答案】2也

【分析】由SUBC=S”即+5“，8结合已知条件可得前=6+*再利用基本不等式可得A24,

由余弦定理得a2=h2+c2-2bccosA=b2+c2+hc>3bc>\2,当且仅当6=c,时取等

号，即当6=c时，。取得最小值,

【详解】因为/=y，是/8ZC的平分线,

77

所以

3

因为SdABC=S,ABD+S“CD，AD=1,

所以IbcsinNB/C=-b-?iDsinZ.CAD+-c-/lZ)sin/.BAD,

222

CTLi、i1727r\.7T17t

qI■以一Ocsin——=—nsin—+—csin—,

232323

所以bc=b+c,

所以bc=b+c之2版，Wbc>4,当且仅当6=C时取等号，

2兀

在中，A=—f由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc>3bc>12,

当且仅当b=c时取等号，即当b=c时，/取得最小值12,

所以。的最小值为2港，

故2百

四、解答题

17.已知复数z=（m2+痴-8）+（拓2+如-3｝侬€/?）在复平面内所对应的点为A.

（1）若复数Z-"7+2为纯虚数，求加的值；

（2）若点A在第三象限，求加的取值范围.

【正确答案】（l）m=2

⑵（fl）

【分析】（1）先化简Z-"7+2,再利用Z-机+2为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的

实部和虚部均小于0,解此不等式组即可求解

【详解】(1)由题意得2-，〃+2=(/+，〃-6)+W2+2加-3),

因为z-"?+2为纯虚数，

m2+m-6=0

所以，解得m=2.

m2+2m-3丰0

(2)复数z在平面内所对应的点为/(加2+2加-8,/+2m-3),

因为点A在第三象限,所以"I；：：；：：解得一3<〃1，

所以实数切的取值范围为(-3,1).

18.已知函数/(》)=加+加

(1)若/⑴=2,求上1+；4的最小值;

ab

(2)若/⑴=-1,求关于x的不等式/(x)+l>0的解集.

q

【正确答案】(I)]

(2)|x卜/敢<1

【分析】(1)利用代入法，结合基本不等式进行求解即可：

(2)利用代入法，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】(1)由"1)=2可得:a+b=2,

因为〃€(0,1),所以2-6«0,1)=>1<6<2,

141U1+4+却b”4〃

所以一+£=「x(a+b)

ao22ab

当且仅当片不时取等号,即当且仅当人*取得最小值为去

(2)由/⑴=T可得：a+b=-\,

则/(x)+l>0化为:

ax2-(a+l)x+l=((7x-l)(x-l)>0

因为0<“<l,所以L>1,

a

则解不等式可得x>1或X<1,

a

则不等式的解集为］XX>：或t<l

19.”叱的内角48.C的对边分别为j“区的面积为S'且S=*+6~2）.

（1）求角C；

acos8-bcosZ

⑵求的最大值.

-JT

【正确答案】（1）:；

4

Q）五.

【分析】（1）利用余弦定理及面积公式，可求出tanC的值，进而即得；

（2）由题可得丝%巨二%4=收疝（2/-当，再利用三角函数的性质即得.

c4

【详解】（1）=-（a2+b2-c2）=—absinC,

42

.万a2+b2-c2》

sinC=---------=cosC,

lab

tanC=1,

（2）由正弦定理得:

acosB-bcosA_sinAcos5-sin5cosA_sin(?l-B)_历.3开

~c-sinC~~至~-S，n-T

~T

・・,4E(0,学)，

4

_.3万,3乃3乃、

/.2A----G(------,—),

444

37r

/.sin(27l---)G[―1,1],

4

.acosB-bcosAg炬回,

〃cos8-6cos4Mr-

所以-------------的最Q大.值为啦.

C

20.在锐角力8c中，48,C的对边分别为a,b,c,且a=2csirvl.

⑴求C;

(2)若c=2,且ab=46，求a+6.

【正确答案】(1)C=J

6

⑵.+6=2+2百

【分析】(1)由边角互化得出C；

(2)由余弦定理结合必=46得出a+b.

【详解】(1)由a=2csiir4及正弦定理得siM=2sinCsiM.

因为sir》〉。，故sinC=L

2

1jr

所以在锐角ABC中，C=~.

6

(2)由余弦定理/+〃-2abcos£=4,

ab=4A/3,得/+62=16,

所以a+b=〃2+2H+万=2+26.

21.已知向量比=(sinx,->/3cosx),n=(sinx,sinx)，函数/(x)=(而+n)2.

(1)求/*)的单调递减区间；

(2)若+=<it,求Jisina+石cosa的值.

TTIT

【正确答案】(1)kit--,kit+-("eZ)

36

(2)—V3.

【分析】(I)根据向量的加法及数量积的坐标表示，利用同角三角函数函数的平方关系及二

倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解；

(2)根据已知条件及三角函数的诱导公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】(1)因为而=(sinx,-Vicosx),万=(sinx,sinx)

所以m+〃=(2sinx,sinx-VJcosx),

所以

/(x)=(〃7+〃y=4sin2x+sin2x+3cos2X-2A/3sinxcosx

=4-cos2x->/3sin2x=4-2sin2x+—

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