2023届河北省承德市双滦区实验中学高三年级上册期中数学试题

2023届河北省承德市双滦区实验中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1.已知全集。=R,集合A={x|-2„x44,xeZ}与8={x|x=2®,AeZ}的关系如图所示，则阴影部

分所表示的集合的元素共有

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【解析】由图可先求AC3,再根据4={》|-2„》44,X€2}求阴影部分的元素个数即可.

【详解】因为Ac8={1,2,4},所阴影部分表示的集合为{-2,-1,0,3},该集合共有4个元素.

故选：B

【点睛】本题主要考查了根据韦恩图求解分析集合关系的问题,属于基础题.

2.已知i为虚数单位，复数z满足zQ-ihi202。，则下列说法正确的是()

A.复数z的模为上B.复数z的共钝复数为-3

C.复数z的虚部为"iD.复数z在复平面内对应的点在第一象限

【答案】D

【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z,再逐项判断.

7.\5051(2+i)21.

【详解】因为Z(2-i)=i2M(i)=晨所以2=^=^^^^=^+^

Z的模为忖=/(|)—+(1=身故错误；

z的共朝复数为-z=；2T1，故错误;

z的虚部为(，故错误；

z在复平面内对应的点为所以在第一象限，故正确;

故选：D

3.已知直线平面。、夕，给出下列命题：

①若J_a,nVp,且〃7_L九，则a_L/?

②若m//a,n//[3,且加〃〃，则cr〃尸

③若_La,n//f3,且机_L〃，则aJL尸

④若J_a,n//p,且帆〃〃，则a〃/?

其中正确的命题是()

A.①③B.②④C.③④D.①

【答案】D

【分析】由面面垂直的判定定理判断①；由面面平行的条件判断②④；由面面垂直的条件判断③.

【详解】由面面垂直的判定定理可知①正确；

由面面平行的条件可知②错误，反例：若a(3=1,当〃?〃〃〃/,则加〃a,n///3.

由面面垂直的条件可知③错误，反例：若〃n//p//a,满足机_L〃，但尸〃a

由面面平行的条件可知④错误，当相，。，力〃〃可知”，因为〃〃尸，所以夕，£

故选：D

4.三个数ln0.3,7°\03的大小关系是

A.卜0.3>严>0.37B.7°23>*ln0.3>0.37

C.0,37>703>ln0.3D.703>0.37>ln0.3

【答案】D

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助于中间量0』，即可得到结论，得出答案.

(详解】由题意可知In0.3(ln1=0,703)7°=l,0<0.37<0.3°=1,

所以严>0.3,>In0.3,故选D.

【点睛】本题主要考查了指数式、对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的

性质，合理借助中间量比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.如图在梯形ABCO中，BC=2AD,DE=EC,设8A="，BC=b，则8E=()

1r1f„15,

A.—a+—bB.—a+一。

2436

2r2[n1-

C.一〃+一力D.—a+—b

3324

【答案】D

【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为3c=2AO,DE=EC,

所以BE=g(B£>+BC)=g(BA+AQ+8C)=；(BA+g8C+BC)=ga4+aC,

又8A=a，BC=b，

13.

所以8E=；a+9.

24

故选：D.

【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.

6.已知数列也｝是公差不为零的等差数列，也“｝为等比数列，且4=e=1,<=4，设

c„=a„+bn,则数列｛%｝的前10项和为()

A.1078B.1068C.566D.556

【答案】A

【分析】设｛4｝公差为d(d#0),也｝公比为q,由4=自=1,a2=b2,%=a结合通项公式建立方

程组解出d,q,即可分组利用求和公式求出结果

【详解】设｛叫公差为"("*0),但｝公比为q,

22

由题,q=4=1,。2=%。4=力3,贝ijq+d=o14nl+d=q,a］+3d=atq=>l+3rf=q,

联立可解得d=l,4=2,所以4=1+(〃-1)」=〃，b„=\-2"-'=2n-',

；•｛，"｝的前1。项和为q+%++a10+bt+b2++%=(1+10)x10^---(-----^=1078>

21—2

故选：A

7.函数〃x)=lnx+；x2-ax(x>0)在g,3上有且仅有一个极值点，则实数”的取值范围是()

(5101「510A(5101101

A.B.C.D.2,—

(23J123J123JL3J

【答案】B

【分析】求导得/(x)=1+x-a(x>0)，由题意得y=f(x)在上只有一个变号零点，参变分

离得。=：+x=g(力，利用函数g(x)的单调性得a的取值范围.

【详解】因为/(x)=lnx+《x2一如(“0),所以f(x)=_L+x—,

函数+在1,3上有且仅有一个极值点，

，y=/'(x)在:，3f\x)=-+x-a=Q,得4=4+x.

.2Jxx

设g(x)=g+x在g,l单调递减，在［1,3］上单调递增，.•.g(x)min=g(l)=2,

又g(H，g(3)=与，得当>岑，y=/'(x)在；,3上只有一个变号零点.

经检验，x=¥不合题意，

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知区间上有极值点，求参数的范围问题.可以从两个方面去思考：

(1)根据区间上极值点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件,

进而求出参数满足的条件；

(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数

本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调

性、极值等，层层推理得解.

8.已知函数=下列关于〃x)的性质，推断正确的有()

①函数的定义域为R

②函数是偶函数

③函数/(X)与/(x—2)的值域相同

④“X)在(0,1)上递增

⑤“X)在［1,2］上有最大值;

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据函数的解析式对各个选项依次判断即可.

【详解】丁+2工0恒成立，故①对；

,f(-x)=-^^=-f(x)为奇函数，故②错；

令x—2=t,，f(x—2)=F()J(f)与/(X)的值域相同,故③对；

⑺=7'令y=L"=x+2,由复合函数单调性知：“X)在(0,1)上递增，故④对；

X十一UX

X

xe［l'2】J(x)=Tl"=¥'当x=上取得，故⑤错；

x+—2.X--

xNx

故选：B

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题

B.若命题P:VxeR,〃力<0或,则"：叫wR,0</(^)<1

C.命题“函数〃x)=F干是奇函数”是真命题

D.“4+1是无理数”是Z是无理数”的充要条件

【答案】ABD

【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断A、B选项；由函数的奇偶性的定义判断C选项；由

充要条件的定义判断D选项.

【详解】解：对于A,命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题，所以A正确：

对于B,若命题p:VxwRJ(x)<0或则—故B正确；

对于C,函数/(x)=三土生的定义域为{xeR|xW-2},故f(x)既不是奇函数也不是偶函数，所

x+2

以c错误；

对于D,充分性：若。+1是无理数，则。是无理数，充分性成立；

必要性：若。是无理数，则。+1是无理数，必要性成立.

故"q+1是无理数''是Z是无理数”的充要条件，所以D正确.

故选：ABD.

10.已知向量°=(2,1),。=(一3,1),则()

A.(a+b\laB.向量d在向量8上的投影向量是-叵“

C.|<7+2/?|=5D.与向量〃方向相同的单位向量是

【答案】ACD

【分析】根据向量数量积的坐标运算可判断A；利用向量数量积的几何意义可判断B；利用向量模

a

的坐标表示可判断C；根据向量”方向相同的单位向量e=n可判断D.

【详解】由向量。=(2,1)力=(一3,1)

口+b=(-1,2),所以(a+/?)•〃=-lx2+lx2=0,所以(a+b)_La,故A正确;

abb2x(-3)+lxl

向量a在向量b上的投影向量为麻。b=-2b>故B错误;

a+4=(2,l)+(-6,2)=(T,3),所以卜+26卜J(-4?+3?=5,故C正确;

与向量4方向相同的单位向量e=j=

故选：ACD

11.下列命题正确的是()

A.使关于x的方程/+(42-1卜+“-2=0的一根比1大且另一根比1小，则。的取值范围是-2<a<l

B.炉-履+左_1<0在0,2)上恒成立，则实数%的取值范围是&23.

C.关于X的不等式妙_。>0的解集是(1,田)，则关于X的不等式亍言>0的解集是{x|x<T或

x>2}

D.若不等式以2+法+c>0的解集为{3尤<_2或x>4},则而cYO

【答案】ABC

【分析】A：令〃司=丁+(6-1卜+“-2,则/⑴<0即可求得”的范围；

B：令gx)=Y—丘+%-1,则即可求得火的范围；

［g(2)W0

C：根据题意求出a和匕的关系，化简竺?>0即可求出解集；

x-2

D:根据二次方程根与系数的关系求出4、仄C间的关系，即可判断4历的符号.

【详解】A：要使关于X的方程9+,2_］卜+。-2=0的一根比1大且另一根比1小，

4/(x)=x2+(a2-l)x4-6r-2,则有/(1)<0,B|Jl2+(a2-l)+a-2<0,

解得-2vavl,故A正确；

B：・・・/_点+j<()在(1,2)上恒成立，

令g(x)=炉-履+J,则卜%即解得&23,故B正确；

C：•关于x的不等式的国军集是(l,+oo),工〃=方>0,

则关于X的不等式竺邛〉0等价于(ar+A)(x—2)>0,即a(x+l)(x-2)>0,

解得x<T或x>2,故C正确；

D：若不等式#+bx+c>0的解集为*陵<-2或x>4},

则a>0,且ax2+bx+c=a(^x-4^x+2)=ax2-2ax-8a,:.b=-2a,c=-8a,

又a>0,r.a〃c=16/>0,故D错误.

故选：ABC.

「-Ji

12.函数〃%)=28W428俎+1的定义域为［刊，值域为-&，学，则的值可能是()

【答案】BC

【分析】定义域为k0，值域为-&，掾［，/a）为周期函数，可选择一个周期内图像进行分析即

可.

【详解】

根据周期性分析，不失一般性不妨可为［乙,/］的子集，此时

5717r.57rli兀7t.2兀八....）,,

.•.+4人一（24+七,；.4人一44二.分析答案知：BC

72；74；87:2；4724：373

故选：BC

三、填空题

13.在AABC中，a,〃，c,分别是内角A,B,C的对边，且8为锐角，若包空=当，sinB=也，

sinB2b4

SAABC=迎,则b的值为.

4

【答案】714

【解析】利用正弦定理将角化边，可得等量关系；再利用面积公式，再得兄。的另一个等量关系,

据此求得“，c由sinB求得cos8,利用余弦定理即可求得从

【详解】由当=1f，可得:=，故a=［c，①

sinB2bb2b2

由SzABC=』acsinB=且sinB=■^得Lqc=5,②

2442

联立①，②得a=5,且c=2.

再3

由sin且B为锐角知cos8=一，

44

3

由余弦定理知6=25+4—2x5x2X［=14,b=g

故答案为：＞/14.

【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及利用正弦定理实现边角互化，属综合基础题.

14.2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现

代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日辱长变

化量相同，冬至日暑最长，夏至日皆最短，周而复始.已知冬至的日号长为13.5尺，清明的日辱长

为6.5尺，则夏至的日唇长为_____尺.

【答案】L5##；3

2

【分析】将24个节气的日展长的各数据可看作等差数列{q},通过通项公式相关计算得到公差，从

而求出夏至的日唇长.

【详解】因为相邻两个节气的日号长变化量相同，所以24个节气的日号长的各数据可构成等差数列

{%},记冬至的日唇长为4=13.5,清明的日展长为％=&5,所以公差〃=萼乎=线半=一1,

所以夏至的日号长为《3=4+124=13.5-12=1.5.

15.设函数/(x)=lnx+^,AwR.若对任何占>占>0,"石)丁仁)<1,恒成立，求&的取值范

XX］一尤2

围______.

【答案】14,+oo##k蛇14

【分析】先把原不等式转化为"xjf</(9)-天恒成立，构造函数g(x)=〃x)-x,利用g'(x)40

恒成立，求出k的取值范围.

【详解】因为对任何%々>o，"W)<1，

\~X2

所以对任何芭>0,〃与)一玉</仇)一々，

所以g(x)=/(x)-x在(0,+8)上为减函数.

k

^(x)=/(x)-x=Inx+--x,XG(0,+OO),

ik

所以g'(x)W0恒成立，即、—了―国。对x«0,竹))恒成立，

所以人之一/十工二—1一；)+:,

所以人;.

4

即左的取值范围是;,+s).

故答案为：

【点睛】恒(能)成立问题求参数的取值范围：

①参变分离，转化为不含参数的最值问题；

②不能参变分离，直接对参数讨论，研究f(x)的单调性及最值；

③特别地，个别情况下/(x)〉g(x)恒成立，可转换为/(矶而小⑴诙(二者在同一处取得最值).

16.如图，正方体43CD-A8CA的棱长为I，线段用马上有两个动点E,F,S.EF咚,则下列

结论中正确的结论序号是.①ACL3E；②EF〃平面ABCD；③异面直线AE,BF

所成的角为定值；④直线A3与平面3斤'所成的角为定值；⑤以A8EF为顶点的四面体的体积不随

EF位置的变化而变化.

【答案】①②④⑤

【分析】连接交AC于0,由正方体的性质结合线面垂直的判定与性质可判断①；由正方体的性

质结合线面平行的判定可判断②；作出异面直线所成的角即可判断③；由线面角的概念可判断④；

由三棱锥体积公式可判断⑤；即可得解.

【详解】对于①，连接8。交AC于。，如图，

由正方体的性质可得AC1BD,BB,1平面ABCD,

所以B四，AC,所以AC,平面8。£>内，所以AC_L8E,故①正确；

对于②，由正方体的性质可得EF//8O,所以EF〃平面A3CZ),故②正确；

对于③，连接0E,如图，

由题意结合正方体的性质可得EF//BOREF=BO,

所以四边形8FEO为平行四边形，所以BF//EO,

所以NOE4或其补角即为异面直线AE,8厂所成的角，

由tanN0E4=总不为定值，可得异面直线4E,BF所成的角不为定值，故③错误；

对于④，直线A8与平面8砂所成的角即为直线A8与平面所成的角，为定值，

故④正确；

对于⑤，因为匕《印=匕3，

SBEF为定值，点4到平面BEF即平面BDD国的距离为定值，

所以以ABEF为顶点的四面体的体积不随EF位置的变化而变化，故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

【点睛】本题考查了正方体几何特征、异面直线的夹角、线面位置关系及几何体体积，考查了空间

思维能力，属于中档题.

四、解答题

17.已知哥函数/(x)=(祖一1)2产』*2在(0,+8)上单调递增，函数g(x)=2'_%.

(1)求m的值；

(2)当2］时，记,f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设命题命题若

命题。是。成立的必要条件，求实数k的取值范围.

【答案】(1)0;⑵04)41.

【分析】(1)由基函数的定义(拄-1尸=1,再结合单调性，利2-4帆+2<0即得解.

(2)求解/(x),g(x)的值域，得到集合A,B,转化命题?是4成立的必要条件为8=A,列出不

等关系，即得解.

【详解】(1)依题意得：(根-1y=1,=＞，"=()或zn=2,

当根=2时、/(x)=x/在(0,+8)上单调递减,

与题设矛盾，舍去,

，"7=0.

(2)由⑴得:f(x)=x2,

当xe[l,2)时，/(x)e[l,4),即A=[l,4),

当xe[l,2)时,g(x)e[2-k,4-k),即8=[2-k,4-k),

若命题。是4成立的必要条件，则

2-k>lk<\

则即

4-k<4420

解得：0<Zc<1.

【点睛】本题考查了函数性质与逻辑综合，考查了学生综合分析，逻辑推理，数形运算能力，属于

中档题.

18.在AA8C中，内角A,8,C的对边分别为。,b,c,且2(a+Z？)sin'cos".'=csinC—asinA.

(1)求角C的大小；

13

(2)若c=7,cos(A+C)=,求AABC的面积.

14

【答案】⑴c=M；⑵

【分析】(1)由正弦定理化简可得/+。2一°2=_4力，再由余弦定理，求得cosC=-；,即可求得C

的大小；

(2)由题设条件，求得cosB=E，sinB=3®,再由正弦定理可得%=3,利用面积公式，即可求

解.

【详解】(1)由2(a+0)sin^^cos^^

=csinC-asinA,

因为A+C=乃一B,可得(a+Z?)sin6=csinC-asinA,

222

又由正弦定理，得(4+%)。=/-/,^a+h-c=-ab,

由余弦定理，得cosC="―———=-■-,0<C<7T,C=—.

2ab23

(2)在A43c中，因为cos(A+C)=---,

14

所以cosB=—cos(A+C)=-y,可得sinB=Jl-cos?B=,

1414

cri上.十力4Er，口[CSinB.

又因为c=7,由正弦定理可得匕=—^r=3,

sinC

又由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,

14

AABC的面积S=—besinA=匕曲.

24

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的

题目时:要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,

着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

19.已知数列｛4｝满足4+%+。3++%=；(3"-1)，数列出｝满足&2+4=2%,且4=3也=9.

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

(2)设g=logM,+23,求数列匕｝的前"项和

【答案】(1)4,=3"',bn—2n—l(neN)；(2)

SI,IT=1,、/、

'、。计算可得的通项，由数列也｝

｛cc

满足2+2+2=2aM，所以b,,+2-b“M=b”+「b”,即也｝为等差数列，

再根据等差数列通项公式计算可得；

(2)由(1)知q,=〃-l+4",再利用分组求和法计算可得；

【详解】解：(1)设数列｛4｝的前〃项和为S“，则=

当〃=1时，4=1；

当〃22时，4==l(3"-l)-l(3n-'-l)=3“T.

当"=1时，显然符合通项%=3"1

所以4=3"T("eN)；

因为数列0“｝满足〃+2+a=2b“+i，所以及+2-々+1=2+|-",

即也｝为等差数列，

因为&=3也=9,所以公差1=与当=2,b、=l,

5—2

则％=2"-1(〃村)；

fr+l12nM

(2)由(1)c„=log3a„+2"=log33"-+2-=n-1+4",

所以数列｛%｝的前“项和：

20.已知函数/'（工）=丁+加+3工-9.

⑴若°=-1时，求函数“X）在点（2,〃2））处的切线方程；

⑵若函数/（x）在x=-3时取得极值，当X£［~4,-1］时，求函数“X）的最小值；

【答案】（1）11x7-21=0

⑵-8

【分析】（1）求出函数f（x）的导函数，计算/（2）,/'（2）,代入切线方程即可.

（2）求出函数/（x）的导函数，利用极值点处的导函数为0求出。的值，进而得到函数的单调区间,

从而求出函数的最小值.

【详解】（1）a=—1时，/（x）=Y—幺+3犬-9,7'（同=3/—2x+3,则/（2）=1,/'（2）=11

则切线方程为y—l=ll（x—2）,即llx-y-21=0.

故答案为：llx-y-21=0.

（2）/,（x）=3x2+2ax+3,

因为函数“X）在x=-3时取得极值，所以r⑶=30-6。=（）,解得4=5,

所以广（耳=3/+10x+3=（3x+l）（x+3）

令用x）>0,得x<—3或x>-g,

令r（x）<0,解得-3<x<-g

则函数/（x）在［T-3］上单调递增，在（-3,-1］上单调递减，所以函数/（X）的最小值是〃T）或

“T，

又因为〃-l）=-8J（T）=-5,所以/（x）1nhi=〃-1）=-8.

故答案为：—8.

21.已知四棱锥P-ABCC,底面ABC。是梯形，AD//BC,AB=BC=2,ZABC=60°,CD1AC,平

面平面ABC£»,且朋=AO,PB=2A/5,E为PD中点,AFLPC,垂足为R

(1)求证：B4_L平面ABC。；

(2)求异面直线4B与CE所成的角；

(3)求证：PDLEF.

【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3)证明见解析；

【分析】(1)由勾股定理逆定理得到24,A3,再由面面垂直的性质得到线面垂直.

(2)取4户中点K,连接EK,BK,可证CE//8K,则4B4为异面直线A8与CE所成角，

再利用锐角三角函数计算即可.

(3)首先可证。C,平面P4C,即可得到。CLAF,再由AFLPC,即可得到Ab,平面PC。,

从而得到P£>_LAf,再由AEJ_Pr),得到PZ)J_平面A£F,即可得证.

【详解】解：(1)证明：因为NC84=60°,BC=BA=2,

所以AC=2,

因为49//8C,

所以NO4C=ZfiC4=60。，

又因为/AC£>=90°,所以CO=26,45=4,

因为A4=A£>,所以以=4,

因为尸矛+4台？=尸82，所以P4_LAB,

因为平面以3_1_平面ABCD,

平面以Sc平面ABC£>=AB,平面以8,

所以PA_L平面A8CZ),

(2)取AP中点K,连接EK,BK,

因为E,K为AP,PD的中点，

所以EK/MD,EK=：A£>,所以EK=BC=2,

又因为5C//AQ,所以EK//BC,EK=BC,

所以四边形BCEK为平行四边形，所以CE//BK,

所以NM4为异面直线AB与CE所成角，

所以tan/KBA=——=1,所以ZKB4=45。，

所以异面直线A8与CE所成角为45。,

(3)证明：因为。C，AC,DCYPA,ACr>PA=A,AC,PAu平面尸AC

所以。CJ_平面PAC,

又因为AFu平面PAC,所以。C_LA尸，

又因为AF_LPC,DC^PC=C,DC,PCu平面尸8,,所以AF_L平面PC。，

因为P£>u平面PC。，所以PD_LAF,

因为24=AD,E为PO的中点，所以AE_LPD,

因为AMAE=A,A£AEu平面AEF,所以PD_L平面AEF,

因为平面AEF,所以尸DJ_£F.

22.已知函数/(x)=xlnx-/(x-l),kwR

(1)当k=l时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y=/(x)在区间(l,xo)上有1个零点，求实数k的取值范围；

(3)是否存在正整数3使得〃x)+x>0在xe(l,一)上恒成立？若存在，求出％的最大值；若不存

在，说明理由.

【答案】⑴见解析;(2)0，+8)；⑶见解析.

【详解】试题分析：(1)当&=1时，得到/(x),求得/‘(X),利用尸(幻>0和r(x)<0,即可求解

函数的单调区间；

(2)由/'(x)=lnx+l-Z,分女41和女>1两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数

的图象，即可求解实数z