2023-2024学年湖南省常德市安乡县九年级（上）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省常德市安乡县九年级（上）第一次质检数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.-3的绝对值是（）

A.3B.C.D.-3

2.下列等式是一元二次方程的为（）

①/—2%+1=0；

②2t2=t-4；

（3）px2—5%=6+x（px+1）；

@^2-x=3.

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

3.方程2--5x=8的二次项系数和常数项分别为（）

A.2M和8B.2x2和一8C.2和一8D.2和8

4.如图，直线匕〃，2，41=30。，42=85。，则43等于（）

A.45°

B.55°

C.65°

D.75°

5.下列函数中，是反比例函数的是（）

X

A.y=2x+1B,y=—C.y=二D.

JJx+1J5xy=2

6.下列命题正确的是（）

A.等腰三角形是轴对称图形B.直角三角形是中心对称图形

C.平行四边形的对角线互相垂直D.一组邻边相等的四边形是菱形

7.安乡子龙汽车站与常德市柳叶湖汽车站相距约63.1/on,则汽车由子龙汽车站行驶到柳叶湖汽车站所用时

间y（小时）与行驶速度》（千米/时）之间的函数图象大致是（）

8.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”.如果关

于刀的一元二次方程%2-2%=0与+2x+m+1=0为“友好方程”，则m的值为（）

A.-1B.-9C.1或一9D.一1或一9

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.计算：3XV12=•

10.用配方法解方程/-6x+l=0,则方程可配方为.

II.要使二次根式占有意义，则X应满足的条件是.

12.国家统计局发布的2022年，中国国内国民生产总值约为121万亿，用科学记数法表示为.

13.已知a是方程/-3x-1011=0的一个根，则代数式2a2-6a+1的值是.

14.若k的取值范围如图所示，则在反比例函数y=的图象的每一个分支上，

-J_।_।——।~~

y随乂的增大而.—2—10I2

15.对于实数#替#换#-#换#替#,b,我们定义一种新的运算#,规定：a#b=a2-b,若关于％的方程（X-

l）#（3k）=0的一个实数根为4,则k=.

16.如图，点B是反比例函数y=>0）上一点，矩形0aBe的周长是16,正方形BCGH和正方形0CDF的

面积之和为56,则反比例函数的解析式是.

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题5.0分）

计算：（—1）2。23_|_3c（-今-2+（兀_3.14）°+<27.

18.（本小题5.0分）

（

解不等式组:X-1>3

1%V21-2x

19.（本小题6.0分）

先化简，再求值：告一告，其中％=-2.

20.（本小题6.0分）

解方程：（x+3）2=4（x-27.

21.（本小题7.0分）

随着平板电脑的普及，有关部门在全国范围对12〜35岁的人群使用过平板电脑的情况进行了简单的随机抽

样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图.

请根据图中的信息，解决下列问题.

（1）求条形统计图中a的值:

（2）据报道，目前我国12-35岁使用过平板电脑的人数约为4亿，请估计其中12〜23岁的人数.

22.（本小题7.0分）

如图：力。是△力BC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有EF=4C,FC=CD.求证：BEVAC.

23.（本小题8.0分）

如图，一次函数y=mx+n（mK0）的图象与反比例函数y=*（k#0）的图象交于第二、四象限的点4（-2,a）

和点8（8一1）,过4点作支轴的垂线，垂足为点C,ZiAOC的面积为4.

(1)分别求出a和b的值;

(2)结合图象直接写出7nx+n>(中x的取值范围.

24.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程/-2kx+k2+k-l=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数k的取值范围；

(2)设方程两个实数根分别为X1，%2"且满足(%1+尤2)2—,%2=5，求k的值.

25.(本小题10.0分)

直播购物逐渐走进了人们的生活•，某电商在某4Pp上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售.如果按

每件10元销售，每天可卖出200件.通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减

少20件,将每件小商品的售价定为x(元)，每天销售量y(件).

(1)求y(件)与x(元)之间的函数表达式；

(2)若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的

利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？

26.(本小题10.0分)

如图，平面直角坐标系xOy中，。。/1BC的边OC在x轴上，对角线AC,OB交于点M,反比例函数y=>0)

的图象经过点4(3,5)和点M.

(1)求k的值和点M的坐标；

(2)若坐标轴上有一点P,满足AOCP的面积是。。4BC的面积的2倍，求点P的坐标.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【解答】

解：-3的绝对值是3.

故选：A.

【分析】

根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解.

本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数

时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零.

2.【答案】B

【解析】解：@x2-2x4-1=0,是一元二次方程；

②2t2=t-4,是一元二次方程；

（3）px2—5x=6+x（px+1）,是一元一次方程；

④爰一x=3,不是一元二次方程；

所以，上列等式是一元二次方程的为①②，

故选：B.

根据一元二次方程的定义：形如（^2+。％+©=0（＜1»,，为常数且。*0）的方程是一元二次方程，逐一判断

即可解答.

本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：2/-5x=8,

整理得：2/-5乂-8=0,

.••方程2--5x=8的二次项系数和常数项分别为2和-8,

故选：C.

根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c=0（a,b,c为常数且aH0）,即可解答.

本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：=30°,

•••zl=Z4=30°,2\/

42=85°,Z2=45,可

45=85°,

•••Z.3+Z4+Z5=180°,

43=180°-Z4-Z5=180°-30°-85°=65°,

故选：C.

根据平行线的性质和三角形内角和，可以求得Z3的度数.

本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5.【答案】C

【解析】解：A,y=2x+l,是一次函数，故此选项错误；

B,y=-l~,y是x+1的反比例函数，故此选项错误；

J%+1

C、y=4,是反比例函数，故此选项正确；

。、y=],是正比例函数，故此选项错误；

故选：C.

直接利用一次函数与反比例函数的定义分析得出答案.

此题主要考查了反比例函数与一次函数的定义，正确掌握定义是解题关键.

6.【答案】A

【解析】解：等腰三角形是轴对称图形，故A正确，符合题意；

直角三角形不一定是中心对称图形，故B不正确，不符合题意；

平行四边形的对角线互相平分，故C不正确，不符合题意；

一组邻边相等的平行四边形是菱形，故。不正确，不符合题意；

故选：A.

根据轴对称图形，中心对称图形的概念，平行四边形，菱形的判定逐项判断.

本题考查命题与定理，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的概念及平行四边形，菱形的判定.

7.【答案】B

【解析】解：由丫=乎且4>0,

得双曲线为第一象限的一支;

故选:B.

由丫=竽且4>0,得双曲线为第一象限的一支即可.

本题主要考查列函数关系式以及反比例函数的图象，解题关键是注意函数自变量的范围.

8.【答案】D

【解析】解：x2—2x=0.

x(x—2)=0,

Xj—0»%2=2,

把石=0代入久2+2x+m+1=0得：m=-1,

把犯=2代入/+2x+?n+1=0得：m=—9,

m的值为一1或一9,

故选：D.

先利用因式分解法求出/一2%=0的根，然后分别代入x2+2x+zn+l=0,求出m的值即可.

本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义.

9.【答案】6

【解析】解：V^x<12=V3x12

=<36

=6,

故答案为：6.

根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答.

本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.

10.【答案】3产=8

【解析】解：-6x+1=0,

x2—6x=-1,

则%2-6%+9=—1+9,即(x-3)2=8,

故答案为：(x-3)2=8.

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

11.【答案】x>4

【解析】解：由题意得：x-4>0,

解得：%>4,

故答案为：x>4.

根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案.

本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键.

12.【答案】1.21x1014

【解析】解：121万亿=121000000000000=1.21X1014,

故答案为:1.21x1014.

将一个数表示成ax10九的形式，其中n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求

得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

13.【答案】2023

【解析】解：•；a是方程/-3x-1011=0的一个根，

•••a2-3a-1011=0,

a2-3a=1011,

:.2a2—6a+1

=2(a2-3a)+1

=2x1011+1

=2022+1

=2023,

故答案为:2023.

先根据已知条件，求出代数式a?-3a的值，然后再把所求的代数式的前两项提取公因数2,再整体代入计

算即可.

本题主要考查了一元二次方程的解.解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义.

14.【答案】增大

【解析】解：由图得k<2,即k<5,

得k一5<0,

故反比例函数y=空的图象在二四象限，

故反比例函数y=9的图象的每一个分支上，y随x的增大而增大.

故答案为：增大.

由图得k<2,即k<5,得k—5<0,故反比例函数y=?的图象在二四象限，故反比例函数y=?的图

象的每一个分支上，y随x的增大而增大.

本题主要考查反比例函数的图象双曲线的增减性，解题关键是注意每一个分支上.

15.【答案】3

【解析】解：由题意得，。一1)2-3/£=0,

其一个实数根为4,

(4-I)2-3k=0,

解得k=3,

故答案为：3.

先关键新的运算法则列出方程，然后根据方程的解的定义代入即可求出k的值.

本题考查了实数的运算，一元一次方程的解的定义，根据题意列出方程，熟练掌握方程的解的定义是解题

的关键.

16.【答案】y=^(x>0)

【解析】解:设点B的坐标为(a,b),

,•,点B是反比例函数y=g(x>0)上一点，

Aa>0,b>0,

・•・OA=a,OC=b,

•・•矩形。48c的周长是16,

:.2(a+b)=16,

即：a+b=8,

又•.,正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56,

・•・+力2=56,

由Q+6=8,得：(a+b)2=64,

即：a?++2ab=64,

将标+/=56代入上式，得：ab=4,

・•・k=ab=4,

・•・反比例函数的解析式为：y=^(%>0).

首先设点B的坐标为(a,b),依题意得a>0,b>0,OA=a,OC=b,然后根据矩形0ABe的周长是16得

a+b-8,根据正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56得a2+£>2=56,据此可求出ab=4,进而可

得反比例函数的解析式.

此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解题意，设出点B的坐标，并用点B的坐标分别表示出矩形

04BC的周长以及正方形和正方形OCDF的面积之和是解答此题的关键.

17.【答案】解：原式=一1-3「-4+1+3「

【解析】根据实数的运算法则计算即可.

本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数基的运算法则、负整数指数事的运算法则、绝对值的定义、有理

数的乘方、算术平方根的定义是解题的关键.

18.【答案】解：卜一：》¥)

解不等式①得：x>4,

解不等式②得：x<7,

.•・原不等式组的解集为：4<x<7.

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

x-1_1

19.【答案】解:原式:湍六

当％=-2时，原式==

一z十1

【解析】先通分，然后进行四则运算，最后将刀=-2代入计算即可.

解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算.

20.【答案】解：(x+3)2=4(x—2产，

两边开平方，得久+3=±2(x-2),

：.x+3=2(x—2)或x+3=—2(x—2).

•••x+3=2x—4或x+3=—2x+4.

x=7或x=

所以原方程的解为：X1=7,x2=l

【解析】利用直接开平方得两个关于x的一元一次方程，求解一元一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解决本题的关键.

21.【答案】解：（1）•••被调查的总人数为330+22%=1500（人）,

•••a=1500-450-420-330=300(人):

300+450

⑵1500x100%=50%,

4亿x50%=2亿.

答：估计其中12〜23岁的人数为2亿.

【解析】（1）由30-35岁人数及其所占百分比求出总人数，继而可得a的值；

（2）先求出12-23岁人数所占百分比，再乘以总人数即可得出答案.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解

决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大

小.

22.【答案】证明：•••ADLBC,

^ADC=4BDF=90°,

BF=AC,FD=CD,

Rt△BDF三Rt△ADC(HL),

・•・Z.C=乙BFD,

v乙DBF+乙BFD=90°,

二乙C+乙DBF=90。,

•・•ZC+乙DBF+乙BEC=180°

A/.BEC=90°,即BE14C.

【解析】由题中条件可得RtABDF三RtA/WC,得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论.

本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题.

23.【答案】解：轴，AAOC的面积为4,

1

•••拉1=4,

解得，k=—8或々=8,

・♦•反比例函数y=；（卜力0）的图象位于第二、四象限，

k=-8,

二反比例函数的解析式为y=-p

把点4（—2,a）和点8（瓦一1）代入y=-耨，。=-3=4,-1=

Aa=4,b=8.

(2)根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n>勺勺解集为x<-2或0<x<8.

【解析】(1)根据4y!。。的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系

式，代入可求出点4、B的坐标，求出a、b的值；

(2)根据图象直接写出mx+n>:的解集.

本题考查反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数和一次函数的交点问题，代入反比例函数解析式求

得交点坐标是解题的关键.

24.【答案】解：(1)•••方程有两个不相等的实数根，

•••4>0,即(2/C)2-4X1(/C2+k-1)>0,

解得k<l；

2

(2)由根与系数的关系可得与+x2=2k,xr-x2=k+k-1,

由题意可得(2/c)2-(fc2+k-l)=5,

解得k=一1或小

Vk<1,

**•k=-1.

【解析】(1)由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于4的不等式，则可求得A的取