山东省日照市2023届高三一模考试数学 含解析

2020级高三模拟考试

数学试题

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

A=[x\x<2]B=[x\x2-2x-3<0),

1.已知集合—令，1I则AD8=()

A.[-1,2)B.(2,3]C.(-1,3]D.(-00,3]

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合8,再依据并集的定义求并集.

【详解】B={X|X2-2X-3<O}={X|-1<%<3},又4=卜,<2},

所以A8=(YO,3]

故选：D

2.己知复数z=2土史，i为虚数单位，则忖=()

1—1

A.272B.2GC.2亚D.2瓜

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数除法运算求得z,然后求得|z|.

【详解】z=(2+6i)(l+i)j2+6i)(l+i)=(i+3,)(i+.)=_2+4i;

(1-1八1+1J2

|z|=14+16=2^5.

故选：C

3.在平面直角坐标系xQy中，角。的大小如图所示，贝hang=()

342

A.-B.-C.1D.一

233

【答案】D

【解析】

【分析】根据正切值的定义可以先算出tan(6+：］,然后由两角和的正切公式求出tan夕

过户作PQ_Lx轴,垂足为Q,根据正切值的定义：tan(6»+/］=g^=5，则tanj(9+：］=5=粤外二

V4；\OQ\14j1-tan。

2

解得tan6=—.

3

故选：D

4.红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，

营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，

中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面

的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为/?,则球冠的面积

S=2成/?.如图1,已知该灯笼的高为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯

笼中间球面部分所需布料的面积为()

以正六边形ABCQE尸中心。为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB、QE交y轴于G、H,

则C(2,0),*—2,0),4(一1,—@,川1,一月,6位,一句,网—1,6),。(1,6),H(0询,

设尸(x,y),PA=^-I-x,-V3-yj,PB=(l-%,-V3-yj,PA-PBx2+y2+2\fiy+2,由正六边

形对称性，不妨只研究y轴左半部分，

(1)当尸在EH上时，则xe[-1,0],y=6则尸4尸8=/+1]«12；

(2)当P在AG上时，则xw[-1,0],y=-8，则PA.P8=x2—l<0；

(3)当P在EF上时，则/比：丁=e(》+2),XG[-2,-1],则

P4PB=4X2+18X+26=4(X+2]+—<12；

I4)4

(4)当P在AF上时，则/“：y=-V3(X+2),XG则

(3V1

PA-PB=4x2+6x+2x+-——<6.

I4)4

综上，所求最大值为12.

故选：B.

6.已知x>0,y>(),设命题。：2'+2''>4-命题9：xy>1,则。是夕的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】取特值，x=g,y=2,满足2、+2>'24,不满足孙21；运用基本不等式得

孙,即x+yN2,由指数函数的单调性得2，+>'22?=4,运用基本不等式和充分必要条件

的定义判断可得选项.

11Q

【详解】解：当x=§,y=2时，21+22〉4满足2"+2>'24，但孙=gx2=§<l,不满足xyNl,

所以，不是0的充分条件；

当xyNl,x>0,y>0时，1〈孙〈(等)，即x+yN2,当且仅当x=y时取等号，所以

(2'+2vY

2A+y>22=4«即2'，2>'24，又442*-2'4-----,当且仅当》=丁时取等号，

——-I2J

解得2'+2〉24,所以。是夕的必要条件，

因此，，是夕的必要不充分条件.

故选：B

7.已知数列｛q｝的前〃项和为S,,且满足4=1,«„a„+1=2S„,设勿=墨，若存在正整数

p，q(p<q)，使得4，3,々成等差数列，则()

A.p=\B.p=2C.p=3D.p-4

【答案】B

【解析】

【分析】根据数列的递推公式得出“=号=/，然后根据等差数列的性质进项求解即可得出结果.

【详解】数列｛《,｝满足4=1,aHan+i=2Sn,

当〃=1时，4a2=2S[=2q,解得：a2=2；

当2时,2a„=2(S„-Sn_,)=a„(an+l-an_,),

因为。“彳0,所以见+|-。,1=2,所以数列｛a,,｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以““=1+(〃-1)=〃，2=争="，

若存在正整数p,q(2<q),使得4，bp,4成等差数列，

则的=优+%所以零①

因为数列｛篮｝是单调递减数列，

当〃=1时，由5=1+/,解得：4二1,舍去；

当24，<q时，则[之勺！，仁1—女=2^；

33"-'3P3。

当3Vp时,l>p~}>2p,q>0,所以女<1+里，①式不成立，

33K3P芳y33"

41a

所以，=2,则有§=§+/,解得：q=3,

故选：B.

22

8.己知椭圆C：*+£=l（a>人>0）的左、右焦点为匕，F2,点A（—2,2）为椭圆C内一点，点

22

。3。）在双曲线E：?-3=1上，若椭圆上存在一点。，使得|/科+|隼|=8,则〃的取值范围是

（）

A.（V5+l,5]B,[3,5]C.a+1,2石]D.W6I

【答案】A

【解析】

【分析】先求出椭圆左焦点大坐标为（-2,0）,由题得||24|一忙用|=|8-2"区|44|=2,解不等式得到

44

3<。<5,再解不等式―^<1即得解.

a4-a

22

【详解】点Q（a,h）在双曲线E：亍一亍=1上，所以/_〃=4.

所以椭圆左焦点6坐标为（-2,0）.

因|刻+|尸耳|=8,所以|即+2“一归耳|=8,」|即一|尸耳||=|8_勿国用|=2,

所以3WaW5.

因为"一〃=4,所以/=〃一4.

/、4444

点A（—2,2）椭圆C内一点，所以一+厂<1,二一—j——<1>

所以-124?+16>0,,a>石+1或a<君一1.

综上：非+1<a<5-

故选：A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求的.全部选对得5分.选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.已知,，耳分别为随机事件A8的对立事件，P（A）>0,P（B）>0,则下列结论正确的是（）

A.P（A）+P伍）=1

B.P（A|B）+P（A\B）=l

C.若A5互斥,则P（AB）=P（A）P（B）

D.若AB独立，则P（A|3）=P（A）

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可.

【详解】选项A中：由对立事件定义可知P（A）+P（Z）=1,选项A正确；

、小岳OO/4IM,n/7lMP（AB）+P（AB）P（B）,..岳

选项B中：尸+=-----P（B）-------~~PCB）=,选项B正确；

选项C中:A,B互斥,P（AB）=O,P（4）＞0,P（B）＞0,P（AB）HP（A）P（8）,故选项C错误;

p（AD\

选项D中：A,B独立,则P（A5）=P（4）P（8）,则尸（A怛）=怖蜡=P（A）,故选项D正确.

故选：ABD.

10.己知正方体458—AMGA过对角线作平面。交棱A4于点E，交棱CG于点F,则

A.平面a分正方体所得两部分的体积相等

B.四边形3尸AE一定是菱形

C.四边形3五2石的面积有最大值也有最小值

D,平面a与平面DBB｛始终垂直

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正方体的对称性即可判断A正确；由平行平面的性质和BE,2E的大小可判断B错误；结

合异面直线距离说明四边形BFQE的面积最小值和最大值取法，判断C正确；只有当政上平面

时，才有平面平面8片。，判断D错误.

【详解】对于A：由正方体的对称性可知，平面。分正方体所得两部分的体积相等，故A正确；

对于B：因为平面AB44//CC12。，平面平面=

平面BFD}E平面CCQQ=R/，.•.BE//D}F.

同理可证：RE//8F,故四边形是平行四边形，当E不是A4的中点时，此时四边

形不是菱形，故B错误；

对于C：由B得四边形BFQE一定是平行四边形，所以四边形的面积等于三角形面积的

两倍，而8口为定值，所以当£到直线8。距离最大时，三角形8RE面积取最大值，因为E为棱A4

中点时，E到直线8。距离恰为异面直线M、8,距离，即为最小值，此时三角形8。£面积取最小

值，即四边形的面积取最小值.因此当E与A重合或片重合时，三角形面积取最大值，即四

边形的面积即取最大值，故C正确；

对于D：因为平面ACG4，平面BgO,又平面ACG4CT平面3~0万=政，所以只有当£尸1平

面8与。时，才有平面BEDg,平面8g。，故D错误.

故选：AC

II.设函数/(尤)的定义域为R,且/(x)—1是奇函数，当0«xW2时，/(x)=V4x-x2+l；当

x>2时,/(X)=/T+L当［变化时,函数g(x)=/(x)-依-1的所有零点从小到大记为

xt,x2,,xn,贝I/(%)+/(&)++/(玉)的值可以为()

A.3B.5C.7D.9

【答案】ABC

【解析】

【分析】将方程“X)—"一1=0的根转化为/(x)与直线y="+i的交点，并可知"X)与丁=去+1

均关于(0』)对称，作出/(X)的图像，通过数形结合的方式可确定人不同取值时交点的个数，结合对称

性可求得结果.

【详解】〃％)—1为奇函数，\/(%)图像关于点(。,1)对称,

由“X)-辰一1=0得：f(x)=kx+\,则方程的根即为/(x)与直线丁=丘+1的交点,

作出了(X)图像如图所示,

并安用1谆)

5

产左31+1

匕、4H4X+1

浮乎产田+1

i2：4

，

^^y=k6x+\

'-3

①当人之工」，即攵22时，如图中y=/x+l所示时，“X)与直线y=Ax+l有5个交点

2—0

/(X)与丁=麻+1均关于(0,1)对称，，/(%)+/(%)+--+/($)=5/(0)=5；

②当程即1必＜2时，如图中产&X+1所示时，“X)与直线丁=履+1有7个交点

玉，，•.、X-f,

F(%)与y=\+i均关于(0,1)对称，；J(=)+/(w)+…+〃电)=7/(0)=7；

2_1Q_11

③当行＜左＜丁5,即区＜左＜1时，如图中y=&x+i所示时，/(x)与直线丁=履+1有5个交点

，(x)与y='+l均关于(0,1)对称，.•./(3)+/(9)+…+〃毛)=5,(0)=5；

9__11

④当〃=屋方=］时，如图中y=&x+l所示时，/(x)与直线丁=履+1有3个交点%,马,工3,

/(x)与丁=辰+1均关于(0,1)对称，，/(%)+/(%2)+/(工3)=3/(。)=3；

⑤当左＜U，即左＜；时，如图中y=和丁=%6%+1所示时，/(x)与直线丁=奴+1有且仅有

一个交点(0,1),.•./(%)=1.

综上所述：/(玉)+/(々)+…+/(天)取值的集合为｛1,3,5,7).

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数对称性、函数图像求解方程根的个数问题；解题关键是能够将

方程根的个数问题转化为两个函数图像的交点个数问题，进而通过数形结合的方式确定交点个数.

e"e*

12.已知——=——=L01,(l—c)e'=(l—d)e"=0.99,则()

a+ib+\VV7

A.a+h>0B.c+d>0

C.a+d>0D.b+c>0

【答案】AD

【解析】

【分析】A.先构造函数/(x),通过函数的单调性确定。力的大致范围，再构造

/i(x)=In/(x)-ln/(-x),通过函数〃(x)的单调性确定d与一。的大小关系，进而得到A选项.

B.先构造函数g(x),通过函数的单调性确定c,d的大致范围，再构造

〃(x)=Ing(x)—Ing(-x),通过函数〃(x)的单调性确定d与-c的大小关系，进而可知B选项错误.

C.通过/(x)=Uj，得至Ug(-a)>g(d)，进而可得一。与d大小关系，进而可知C选项错误.

D.与C选项同样的方法即可判断.

ahx

【详解】A.------=------=1.01>0.**tz>-l,Z?>-l令/(%)=----(x>-1)

Q+1b+1V71+x'7

则小):善

所以/(x)在(-1,0)单调递减，在(0,+8)上单调递增,

且/(0)=0,故a>0,—1<人<0.

令〃(x)=In/(x)—In/(―%)=2x-ln(x+l)+In(—x+l),xe(—1,1)

I_i2

则”(x)=2--------+--------=2---------<0,

')x+l-x+11-x17

所以〃(x)在(一1,1)上单调递减，且//(0)=0

1,0)AIn/(/?)-In/(-/?)>0.・./(0)>/(—A)：.f(a)>f(-h)

:.a>-b即。+力>()故选项A正确

B.(l-c)er=(l-J)e(/=0.99>0:.c<\,d<\令g(x)=(1—x)"(x<1)

则g'(x)=-旄\所以g(x)在(y,0)单调递增,在(0,1)上单调递减,

且g(0)=l,故0<c<l,d<0.

令=Ing(x)-Ing(—x)=2x-ln(x+l)+ln(—x+1)=/Z(X),XG(—1,1)

所以加(x)在(—1,1)上单调递减，且加(0)=0

ce(O,l).-.ln^(c)-ln^(-c)>0,g(c)>g(-c)，g(d)>g(-c)

d<—c即c+dvO故选项B错误

C・•••/3=懵飞(-力肃=咨>0.99,ae(T0)

r.g(-a)>g(d)又8(》)在(y,0)单调递增/.-a>d:.a+d<0

故选项C错误

D.由C可知，g(q)>g(c),J«0,l)又g(x)在(0,1)单调递减：.-b>c

故选项D正确

故选：AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在(1—x)5的展开式中的系数为.

【答案】10

【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项，赋值即可求出.

【详解】(1—x)5的展开式通项为(+1=G(—力"令x=2,所以f的系数为C；(—1)2=10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础

题.

14.己知函数/(x)=2sin®x+°)仿>0,网<£］的最小正周期为)，其图象关于直线x=F对称，

【答案】6

【解析】

【分析】根据函数最小正周期得到啰=2,利用对称轴得到*,然后代入计算即可求解.

【详解】因为函数/(力=2而(⑻+8)">0，|同<：|的最小正周期为万，

所以。=§=2,又因为直线x=2是函数的一条对称轴，所以2xg+e=E+g,keZ,解得:

T662

(p=kR+»,keZ,因为|同〈工，所以9=工，

626

则函数f(x)=2sin(2x+F),所以/(—)=2sin(2x—+—)=2cos—=73,

64466

故答案为：

15.对任意正实数。，记函数/(》)=旭^在［。,+8)上的最小值为"%,函数g(x)=sin5)在［0,a］上

的最大值为M“，若A/。则“的所有可能值.

或丽

【答案】g

【解析】

【分析】根据/(X)和g(x)函数图像，对a分类讨论求解即可.

【详解】“X)和g(x)的图像如图:

.。乃.，.an11

sin——,/.M-m=sm——=-a=­•

2223，

当〃之1时，加“=|lgN=lga,M”=L.・.M”一加〃=1一lga=/,4=VT5；

故答案为：—或JT3.

16.设棱锥ABC。的底面为正方形，且M4=MD,MA±AB,如果工AMD的面积为1,则能够

放入这个棱锥的最大球的半径为.

【答案】0-1##一1+夜

【解析】

【分析】设球。是与平面AM。，ABCD,M8C都相切的球，求出与三个面M4£>,ABCD,A/BC都相切的

球的半径为r=&-1,再证明0到平面MAB的距离大于球0的半径r,0到面MCD的距离也大于球

。的半径，，即得解.

【详解】如图，因为AB_LAD,ABLMA,AOcMA=AA£>,M4u平面MAD,所以，AB垂直于平面

MAD,由此知平面MAD垂直平面ABCD.

设E是的中点，F是BC的中点，则MELA。，所以，ME垂直平面ABC。，ME1.EF.

设球。是与平面M4。，ABCD,MBC都相切的球.

不失一般性，可设。在平面ME尸上.于是。为尸的内心.

设球。的半径为/•,则r=2MEF

EF+EM+MF

-7

设AD=EF=a,因为S^AMD=1,所以ME=—,MF

a

2V2-1

-2夜+2

2

且当a=—,即。=夜时，上式取等号，所以，当AZ>ME=、回时,

a

所以与三个面MADABCD,MBC都相切的球的半径为近—1.

作OG_LME于G,易证0G//平面MAB,G到平面MAB的距离就是0到平面MAB的距离.

过G作MH±MA于H,则GH是G到平面MAB的距离.

GHMG

〜，

MHG-MEA~AE~MA

AE=—

2

近1

,AEMGTV5

MAMA丽5

手＞收一1,

故O到平面M4B的距离大于球O的半径r,同样。到面MC£＞的距离也大于球。的半径厂，故球。在棱

锥M-ABC。内，并且不可能再大.

据此可得所求的最大球的半径为&-1.

故答案为：V2-1

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在数列｛%｝中，?与+?+…+a"=n2+n.

n+\

（1）求｛%｝的通项公式;

12n1

⑵证明:而+逋+…+----------<一

(〃+2"，4'

【答案】（1）%=2"（〃+1）

（2）证明见解析

【解析】

令〃=1可求得为的值，令〃》2,由3+4+2++4—=7?+〃可得

【分析】（1)

234〃+1

幺+空+&++-=/一〃，两式作差可得出4的表达式，再验证《的值是否满足22）的表

234n

达式，综合可得出数列｛为｝的通项公式;

n111>n

（2）计算得出7~丁=彳,利用裂项相消法求出数列〈,的前〃项和，即可

（〃+2）q2〃+1n+2>〃+2)4

证得结论成立.

【小问1详解】

解：因为幺+收+冬++=tv+n,①

234n+1

则当〃=1时，^-=2,即q=4,

当〃22时，幺+&+幺++—=/—〃，②

234n

①一②得一、=2〃，所以=2〃(〃+1),

〃+1

4=4也满足%=2〃("+1),故对任意的〃eN*，%=2〃(〃+1).

【小问2详解】

nn11(11、

(〃+2)a“2”(〃+1)(〃+2)2(鹿+1)(〃+2)2(〃+1〃+2,

1111<1111111

3q4a2(〃+2”„2(2334〃+1n+2)

1111、11

~2(2~~n+2)~4~2(n+2)'

neN*,.\—~~->0,

2(〃+2)，

111

J一而可(“即结论成立•

A+C

18.已知一ABC中，a,b,c是角4,B,C所对的边，asin-----=bsinA,且a=l.

2

（2）若AC=8C,在ABC的边48,AC上分别取。，E两点，使VA0£沿线段OE折叠到平面BCE

后，顶点A正好落在边8C（设为点P）上，求AO的最小值.

【答案】（1）-

3

(2)2A/3-3

【解析】

44-C

【分析】（1）由正弦定理边角互化得sinAsin-----=sin8sinA,又A+C=TT—5,可得

2

cos-=sin结合二倍角公式可求得结果；

2

（2）由题意可知一ABC为等边三角形，设4）=加，则80=1—=由余弦定理得

BP'=设8P=x,04x〈l,所以m=2-x+------3,利用基本不等式可求

2-x

得答案.

【小问1详解】

A+rA+C

因为asin-----=AsinA,所以由正弦定理边角互化得sinAsin-----=sinBsinA,

22

因为Ae（O,兀）,sinAwO,A+C=7t-8,所以sin（四一g）=sin8,g|Jcos—=sinB,所以

1222

cos—B=2csi-n—Bcos—B,

222

因为Be(O,;t),所以gw(0,=],cosgK0,所以sinO=，，

2\2)222

所以0=二,即gJ.

263

【小问2详解】

TT

因为AC=8C,B=—,所以ABC为等边三角形，即AC=8C=AB=1,

3

设A£)=m,则83=1—m,PO=加，

2

DD2IRD?_pr)BP2+(l-m)2-m2=,，整理得

所以在△3PD中，由余弦定理得cos8=^-BPBD

2-2BP(l-m)2

BP2=

...八...—x+1(2—x)~—3(2—x)+33

设BoPn=x,。<x<1,c所r以m=-------=----L-----------------=2-x+------3,

2—x2—x2—x

由于故l42-x42,

所以/〃=2-x+二一—3>2>/3-3,当且仅当2-x=H-=6时等号成立，此时x=2-0，

2-x2-x

所以A。的最小值为2百一3.

19.如图，已知圆锥P—A8C,AB是底面圆。的直径，且长为4,C是圆O上异于A,8的一点,

PA=26.设二面角P—AC-8与二面角P—3C—A的大小分别为a与力.

11

(1)求-------2-----------------2的值;

tan-atan"(3

（2）若tan£=0tana，求二面角A-PC—3的余弦值.

【答案】（1）y

（2）一叵

33

【解析】

c11

【分析】（1）作出名〃，从而求得——+—可的值.

tan-atan-/7

（2）建立空间直角坐标系，利用平面PAC和平面P8C的法向量，计算出二面角A—PC—3的余弦

值.

【小问1详解】

连结PO.

因为点P为圆锥的顶点，所以P01平面ABC.

分别取AC,BC的中点〃，N,

连接PM，OM,PN,ON,则在圆。中，OM±AC.

由尸01平面ABC,得POLAC.

又POOM=O,故AC_L平面PMO,

所以AC_LPM.

所以NPA/0=a.

同理，ZPNO=J3.

于是高+熹=（黑）+（器）=（篇=/^^弓

【点睛】方法点睛：

几何法求解二面角，要根据二面角的定义来求解；向量法求解二面角，关键是求得二面角的两个半平面

的法向量，并且要注意二面角是锐角还是钝角.

20.已知抛物线C：f=2py(p>o)的焦点为为C上的动点，EQ垂直于动直线y=(<0),垂

足为Q,当△EQE为等边三角形时，其面积为4G.

(1)求C的方程；

22

(2)设。为原点，过点E的直线/与C相切，且与椭圆二+二=1交于两点，直线。Q与AB交

42

于点加，试问：是否存在/,使得=若存在，求，的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)x2=4y；

(2)f=-l.

【解析】

【分析】(D根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义进行求解；

(2)设则Q(x0,f),可得％。°=,，由导数的几何意义可得勺=4%,设A(5，x),

、4Jxo2

k

川私外)，中点旦］,由点差法可得OM=-—，从而可以求出J

122yz2%

【小问1详解】

/XEQF为等边三角形时，其面积为4百，

.".1x|EQ|2sin^=4^3,解得怛°|=4,

根据|EF|=|EQ|和抛物线的定义可知，。落在准线上，即y=/=-g

••.(7的方程为k=4"

【小问2详解】

假设存在，，使得|4W|=|BM，则M线为段A3的中点,

设Ex0,^-J（x0工0）,依题意得。（拓J）,则kOQ=F

由y=工可得y=二，所以切线/的斜率为勺=一/，

422

设A（x,，X）,3（/,%），线段的中点M（西；必

（22

王+里=1,,,,

由［4222，可得上立+上应•=（），

二+五=］42

I42

所以（%+々）（4一%2）+（乂+%）（%一%）=0

42

整理可得：-y,-3y,・y,七+y区,=-J1,即％//。“=_彳1，所以1彳/«.=_彳1，

u

x,-x2xx+x22222

可得生M=---＞又因为k°Q=k0M=L,

/尤0

,,1

所以当f=-l时，k0Q=J=--一，此时O,M,Q三点共线，满足〃为AB的中点，

X。

综上，存在/,使得点”为A3的中点恒成立，t=-\.

21.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜

法国队获得冠军.

FIFAWORLDCUP

Q/W

（i）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，

2

门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有］的可

能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期

望；

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下

开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如

此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第〃次传球之前球在甲脚下的概率为外，易知

Pi=1,P2=0•

①试证明：为等比数列；

②设第〃次传球之前球在乙脚下的概率为q,„比较“0与00的大小.

【答案】（1）分布列见解析；期望为1

3

（2）①证明见解析；②”[0<%0

【解析】

【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；

1\

工-!

方法二：判断X~B97结合二项分布的分布列和期望公式确定结论;

（2）①记第〃次传球之前球在甲脚下的概率为外,则当〃22时，第n-1次传球之前球在甲脚下的概率

为Pi，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明;

②由①求出色o4o，比较其大小即可.

【小问1详解】

方法一：X的所有可能取值为04,2,3,

在一次扑球中，扑到点球的概率尸='XLXLX3=?，

3339

所以p（x=o）=cr「变,p（x=i）=c；1q=%,

'）A9j729\）39V9J729

z1\28z1\

/_r1i

n--24-)=

P(X=2=C；9997

\7-729xk

所以X的分布列如下:

X0123

512192241

P

729729729729

1

E（X）=口X1+*X2+LX3=^

7297297297293

方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p=="

门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0」,2,3,易知X〜B（3,g

所以P(X=〃)=C；x-x-，女=0,1,2,3,

19,

故X的分布列为:

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E（X）=3x：=；.

【小问2详解】

①第”次传球之前球在甲脚下的概率为P”,

则当〃N2时，第n—1次传球之前球在甲脚下的概率为P,i，

第n-1次传球之前球不在甲脚下的概率为1-P,i，

则Pn=Pn-\X0+(1_)Xg=p,i+g,

即p—1If®一",又p「厂1屋2

所以｛p“一;｝是以I为首项，公比为-g的等比数列.

2(1Y-112(1V11

②由①可知p“=*--所以化0=*--

3312,33

一"\1「22(1丫11

所以4o=5(1_80)=5Z-T-->--

故〃10<%0•

22.己知函数/'(%)，g(x)=lnx+a(Q£R).

(1)若直线>=X是y=g(x)的切线，函数p(x)=1z/总存在玉<々，使得

F(^)+F(X2)=2,求玉+E(X2)的取值范围；

(2)设G(x)=〃x)—g(x),若|G(x)=b恰有三个不等实根，证明：a--<b<2a-2.

【答案】⑴(―,2)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先根据导数的几何意义算出。，然后分析出",占的范围，最后将玉+厂(%)化成只含有々

的表达式，构造函数进行求解；

(2)|G(x)=〃恰有三个不等实根，显然不能G(x)的极小值非负，讨论参数。的范围，当G(x