天津市九十六中学2023-2024学年高三年级上册开学考试数学试题

高三检测数学学科试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.

第I卷（共45分）

一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每题5分共45分）

1.已知集合LJt,则图I”—（）

A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2）

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,再由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为2={刘必—2》20}={%k》2或％<0},

所以/I5={0,2}.

故选：C.

2.命题“e[―1,3],—3x+2<0”的否定为（）

2

A.3x0e[-1,3],XQ-3x0+2>0B.e[-1,3],x-3x+2>0

C.Vxe[—1,3],x~—3x+2>0D.3x0e[—1,3],x：—3x0+2>0

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为*°e[T3],x；-3%+2»0.

故选：A

3.下列函数中，定义域是R且为增函数的是

A.y=eTxB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.

【详解】对于A,y=eT=[L],是R上的减函数，不合题意；

对于B,y=/是定义域是R且为增函数，符合题意；

对于C,y=lnx,定义域是(0,+8),不合题意；

对于。，y=|x|,定义域是K,但在尺上不是单调函数，不合题，故选B.

【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.

4.若a,beR,则“(a-A)/<0”是“°<6”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式(a—6)。2<0,可得a—6<0,可得a<6,即充分性成立；

反之：由Q<6,可得。一6<0,又因为/20,所以(〃一/))/4。,所以必要性不成立，

所以(a-b)/<0是。<占的充分不必要条件.

故选：A.

|2-1

5.函数/(x)=J-%-------L的大致图象为()

-->

o\XX

ZX

1K71

【答案】D

【解析】

【分析】先根据奇偶性排除A选项，再根据函数值正负排除C选项,最后根据无穷大的极限排除即可判断.

卜一”的定义域为(一”,0)U(0,+oo),

【详解】因为/(x)=

X

——4),

又/(-x)=

-x-x

所以/(x)为奇函数，其图像关于原点对称，A选项错误;

-一",所以当x>0时，y(x)=k2Tl〉0,C选项错误;

因为/(x)=

X

又当X>1时，/(x)=fcM=2Lzl=x_l

XXX

由复合函数的单调性可知，/(X)在(1,+8)上单调递增，故B选项错误;

而D选项满足上述性质，故D正确.

故选：D.

6.已知a=log2e,6=ln2,c=log^^-,则°,b,c的大小关系为

23

A.a>b>cB,b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意结合对数函数的性质可知：

a=log,e>1,b=\nl=—^--e(0,1),c=log1-=log23>log,e,

'log2e53-

据此可得：c>a>b.

本题选择D选项.

点睛：对于指数幕的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幕的底数或指数

不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幕的大小比较时,

若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指

数的指数幕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

7.若函数/(x)=gx2—2%—31nx,则函数/(x)的单调递减区间为().

A.(0,1),(3,+8)B.(0,2),(3,+8)

c.(0,3)D.(1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数的定义域，由/''(xho,求函数/(x)的单调递减区间.

【详解】/(x)=1x2-2x-31nx,函数定义域为(0,+力)，

f'(x)=x-2--=x2-2x~3,

XX

令/，(x)<0,解得0<x<3,

则函数/(x)的单调递减区间为(0,3).

故选：C.

8.下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是()

A.乃是无理数B.BxoeN,使2%为偶数

C.对任意xeR,者B有/+2x+l>0D,所有菱形的四条边都相等

【答案】D

【解析】

【分析】

利用全称命题的定义及命题的真假即可判断结论，

【详解】解：对于A,是特称命题；

对于B,是特称命题，是假命题；

对于C,是全称命题，而x?+2x+1=(x+1)z20,所以是假命题；

对于D,是全称命题，是真命题，

故选：D

9.函数/(x)=/+x—3的零点落在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在性定理判断即可.

【详解】因为/(o)=—3<0,/(1)=-1<0,42)=7>0,/(3)=27>0,/(4)=65>0,

/⑴•/⑵<0，

所以函数/(x)的零点落在区间。,2)上.

故选：B.

第n卷(共105分)

二、填空题(每小题5分，(共30分)

x-l(x>0)

10.函数/(x)=<0(x=0),则的值是

x+l(x<0)—

【答案】I

【解析】

【分析】先求得了,再代入求解.

【详解】因为!>0,所以/

2

因为—g<0,所以/

故答案为：；

11.函数/(x)='2—的定义域为.

【答案】［-V2,0)u(0,V2］

【解析】

【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围.

|2-x2>0

【详解】由题意1解得—〈收且X/0,所以定义域为［一行,0)u(0,、历］.

xw0

故答案为：［-V2,0)U(0,A/2］.

12.曲线/(%)=6匕1111在点(1,0)处的切线方程为

［答案］j=e(x-l)

【解析】

【分析】对函数/(X)求导，可求出了'(I),又点(1,0)在曲线/(X)上，结合导数的几何意义，可求出切线方

程.

【详解】由题意，/(l)=e1-lnl=0,

因为〃x)=\+eFnx,所以广⑴=1+9.Ini=e,

故曲线〃x)=eFnx在点(1,0)处的切线方程为y=e(x—1).

故答案为：j=e(x-l).

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

13.化简(2log43+log83)(log32+log92)=

【答案】2

【解析】

VI

【分析】结合logmbn=—log*、换底公式化简计算即可

am

【详解】原式=(2xglog23+|log23)(log32+|log32)

43

lo3xlo22

=yg2-g3=-

故答案为：2.

14.函数y=x^l-^(0<x<2)的最大值是.

【答案】|

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性求最值即可.

【详解】二次函数了=41-在(0,1)上单调递增，(1,2)上单调递减，所以当x=l时取得最大值，最大

值为、.

故答案为：y.

15.已知/(x+2)是偶函数，且/⑴在2］上单调递减，/(0)=0,则/(2-3x)>0的解集是.

【答案】j,+℃j

【解析】

【分析】

根据题意，由/(X+2)是偶函数推得“X)的图象关于直线x=2对称，进而分析可得了⑺在[2,+8)上单调

递增，结合函数的特殊值分析，利用单调性，将不等式进行转化，列出等价的不等式，求解即可.

【详解】因为/(x+2)是偶函数，

所以/(x+2)的图象关于》轴对称,

所以“X)的图象关于直线x=2对称，

因为/(x)在(-8,2]上单调递减，

所以/⑸在[2,+00)上单调递增.

由/(0)=0,可得/(4)=0,

所以由/(2-3x)>0可得，2-3x>4或2-3x<0,

解得xe1一叫一]3[]-00].

所以/(2—3x)>°的解集是GO,—Ju1]#00].

故答案为：1-0OL§]U[]，+CO].

【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数图象及性质以及函数的单调性，考查了数形结合思想和化归与转

化思想，属于中档题.

三、解答题(共5题，共75分)

一2x-7'

16.已知全集。=R,集合/={x|—3<x<2},B=\x-----<U,C={x|«-1<x<2a+1}.

x-1

(i)求zn(令B)；

(2)若C0ZuB,求实数。的取值范围.

【答案】(1){%|-3<x<1}；(2)a<-2^-2<a<—

2

【解析】

【分析】(1)分别求出集合8与电3,然后将令8和集合A取交集即可；

(2)先求出/U5,再由CqZuB，可分C=0和CN0两种情况讨论，可求出a的取值范围.

2x—71x—6(x—6)(x—1)«0

【详解】(1)由题意，------41=­r<0o4，解得1<X«6,

x-1x-11x-lwO

即集合5={x[1<XV6},则令3={x|x<1或X>6},

又/={%|-3<%<2}，所以4c应町={%|-3<x<1}；

(2)A^JB={x\-3<x<6},

若C=0,则Q-1>2a+1，解得a<-2;

a—142cl+1

若。/0,则《a—1〉—3，解得—2<。《—.

2

2。+1<6

故。的取值范围是a<—2或—2<a4—.

2

【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法，考查了集合间的包含关系，考查

了学生的运算求解能力,属于中档题.

43

17.已知角。的终边经过点尸(1,-1)

(1)求sina的值；

sin--atan(6Z一;r)一

(2)求(2JJ的值.

sin(a+7i)cos(3%-a)

35

【答案】(1)-=；(2)

54

【解析】

【分析】(1)由正弦函数定义计算;

(2)由诱导公式，商数关系变形化简，由余弦函数定义计算代入可得.

43

【详解】(1)因为点尸(父―))

3

所以|。尸|=1,sin«=--.

sin--atan(df-Tr)]

(2)(2)_cosaxtana_sma=——

sin(a+%)cos(3〃-a)-sina(-cosa)sinacosaC0S

、45

由三角函数定义知cosa=一,故所求式子的值为一.

54

18.若函数/(x)=2—6后X+(。+8)的定义域为R，求实数左的取值范围.

【答案】[0』.

【解析】

【分析】由/(X)的定义域为R,转化为不等式依2-6船+计8N0,xeR恒成立，利用判别式法求解.

【详解】-f(x)的定义域为R,

不等式kx2-6fcv+H8>0的解集为R.

①人=0时，820恒成立，满足题意；

>>0

②厚0时，贝叫

A=36左~一4左(左+8)<0

解得0〈心1.

综上，实数上的取值范围为[0,1].

19.已知函数f(x)=-x3+x2+x+a,,g(x)=2a-x3(xeR,aER)

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)求函数/(x)的极值；

(3)若任意xe[0,l],不等式g(x)2/(x)恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)单调增区间为单调减区间为(―叫―；),(1,+8)；

(2)极小值为1之，极大值为4+1；

/f

(3)[2,+oo)

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：(1)先求出AM的定义域，然后求J，」，再分别令.八寸>。/、11<上去求单调区

间；(2)根据(1)的单调性可求函数/⑶的极值，(3)由题意知Vxe[0,l],4恒

成立，整理得然后构造函数力(》)=/+%，求其最大值即可.

试题解析：(1)f(X)=—X，+x~+X+。，定乂域为R-/(x)=—3x~+2x+1,

令/'(x)=—3xl+2x+1=0,令项=—

令/'(x)>0,得一;<x<l,

f'(x)<0,得或x)l.

所以函数〃x)的单调增区间为单调减区间为(―叫―；),(1,+S)

(2)由(1)可知，当工=-；时，函数/⑴取得极小值，函数的极小值为/(-；)=4-，

当X=1时，函数/(X)取得极大值，函数的极大值为/(1)=。+1

(3)若Vxe［O,l］,不等式g(x)N/(x)恒成立，即对于任意无«0』,不等式.2/+X恒成立，

设/z(x)=x2+x,xe［O,l］,则〃(x)=2x+l

二〃(》)=2》+1>0恒成立，

・•/(x)=尤2+X在区间［0,1］上单调递增，="⑴=2

.,.。22,二。的取值范围是［2,+8)

考点：利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围.

20.已知函数/(x)=lnx-ox(aeR).

(1)若X=1是"幻的极值点，求。的值；

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)若函数/(x)在［132］上有且仅有2个零点，求.的取值范围.

【答案】(1)1(2)答案见解析

-2

Leej

【解析】

【分析】(1)由题意，求导得/'(x),然后根据/'(1)=0,即可得到结果；

(2)