河北省保定市竞秀区2023年数学九年级上册期末考试试题含解析

河北省保定市竞秀区2023年数学九上期末考试试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，点。是等腰直角三角形ABC内一点，AB=AC,若将△480绕点4逆时针旋转到△4CE的位置，则N4E0

的度数为（）

C

fK

-----

A.25°B.30°C.40°D.45°

k

2.若反比例函数y伏。0）的图象过点（-2,1）,则这个函数的图象一定过点（）

A.（2,-1）B.（2,1）C.（-2,-1）D.（1,2）

3.如果零上2℃记作+2C,那么零下3℃记作（）

A.一3℃B.-2℃C.+3℃D.+2℃

4.判断一元二次方程2/=5x—3是否有实数解，计算4ac的值是（）

A.-1B.1C.-49D.49

5.已知关于x的一元二次方程x2+J』x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k>-3B.k2-3C.k》0D.k》l

6.已知抛物线），=：x2+i具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F（O,2）的距离与到x轴的距离相等.如图点M的

坐标为（3,6）,P是抛物线y=；f+l上一动点，则周长的最小值是（）

A.5B.9C.11D.1

7.如图，已知矩形。钻。的面积是200,它的对角线QB与双曲线y=?x>0）图象交于点O,且00:03=3:2,

则％值是（）

C.36D.72

8.如图，AABC中，ZABC=50°,ZACB=60°,点。是AABC的外心.则NBOC=()

C.140°D.125°

9.如图，在平面直角坐标系中，直线/的表达式是丁="+6（2七）,它与两坐标轴分别交于C、O两点，且NOCD

=60。，设点A的坐标为（m,0）,若以A为圆心，2为半径的。A与直线/相交于M、N两点，当MN=2近时，机的

值为（）

A.2y/3--yf6B.2V3-—C.2g2瓜或26+马8D.273-—^273+—

333333

4

10.如图，在AABC中，ADJ_BC交BC于点D,AD=BD,若AB=4及，tanC=-,贝！IBC=()

A.8B.8X/2C.7D.772

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如果函数y=（攵-3）_/-7+"+i是二次函数，那么k的值一定是

12.关于X的一元二次方程％2—2x+加=0的二根为X”%，且才一%+々=3%工2，则，"=.

13.在一个不透明的盒子中装有6个白球，x个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，摸

2

到白球的概率为屋则x=.

14.如图，点尸在函数的图象上，RLJ_x轴于点4,尸轴于点3,且AAP3的面积为4,则4等于.

15.我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭

生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”

题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好

碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）

如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意列方程为.

16.如图，在AABC中，D为AC边上一点，且NDBA=NC,若AD=2cm,AB=4cm,那么CD的长等于cm.

17.如图，04、08是。。的半径，CA.C方是。。的弦，ZACB=35°,OA=2,则图中阴影部分的面积为.（结

果保留R）

18.如图，AO是。的直径，弦3c与弦CD长度相同，已知NA=60。，则NDOC=.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在AABC中，AB=BC,D是AC中点，BE平分NABD交AC于点E,点O是AB上一点，。0

过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.

（1）判断直线AC与。O的位置关系，并说明理由；

（2）当BD=6,AB=10时，求。。的半径.

20.（6分）如图，属是ABC的角平分线，延长8E至点。，使得BC=CD.求证：7ABE:NCDE.

D

21.（6分）经过点A（4,1）的直线与反比例函数y=上的图象交于点A、C,AB，y轴，垂足为B,连接BC.

x

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若AABC的面积为6,求直线AC的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点P在双曲线位于第一象限的图象上，若NPAC=90。，则点P的坐标是

22.(8分)如图，一次函数y=Ax+6(«,b为常数，原0)的图象与反比例函数V=-一的图象交于A、B两点,且与x

x

轴交于点C,与y轴交于点。，A点的横坐标与3点的纵坐标都是3.

(1)求一次函数的表达式；

(2)求△408的面积；

12

⑶写出不等式Ax+b>-—的解集.

23.(8分)已知关于x的一元二次方程/+2]+〃?一1=0的两实数根分别为占,々.

(1)求m的取值范围;

(2)若%+工2+%X2+5=0,求方程的两个根.

24.(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N.连接BM,

DN.

(1)求证：四边形BMDN是菱形；

⑵若AB=4,AD=8,求MD的长.

(2)6COS2450-2tan30°»tan60°.

26.(10分)如图，在平面直角坐标系中，ZkABC的顶点坐标分别为A(-2,-4)、B(0,-4)、C(1,-2).

(0△A8C关于原点O对称的图形是由iG,不用画图，请直接写出△481G的顶点坐标：Ai,Bi

Ci；

(2)在图中画出△ABC关于原点。逆时针旋转90°后的图形△A2B2G,请直接写出△4&G的顶点坐标：A2

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【分析】由题意可以判断4ADE为等腰直角三角形，即可解决问题.

【详解】解：如图，由旋转变换的性质知：NEAD=NCAB,AE=AD；

•••△ABC为直角三角形，

.•.NCAB=90。，AADE为等腰直角三角形，

，NAED=45°,

故选：D.

【点睛】

该题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质.

2、A

k2

【解析】先把(-2,1)代入尸一求出k得到反比例函数解析式为y=—-,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征,

XX

通过计算各点的横纵坐标的积进行判断.

【详解】把(-2,1)代入y=勺得k=-2Xl=-2,

x

2

所以反比例函数解析式为y=--，

x

因为2X(-1)=-2,2X1=2,-2X(-1)=2,1X2=2,

2

所以点(2,-1)在反比例函数尸--的图象上.

x

故选A.

【点睛】

k

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=—(k为常数，k#0)的图象是双曲线，图象上的点(x,

x

y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

3、A

【分析】一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【详解】•.•“正”和“负”相对，.•.如果零上2"C记作+2℃,那么零下3℃记作一3℃.

故选A.

4、B

【解析】首先将一元二次方程化为一般式，然后直接计算判别式即可.

【详解】一元二次方程可化为：2V—5x+3=0

4ac=(-5)2-4x2x3=l

故答案为B.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的根的判别式的求解，熟练掌握，即可解题.

5、D

【解析】根据2)且A-12()列式求解即可.

【详解】由题意得

(jm)2-4XlX(-l)>0且JM20,

解之得

kn.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+%x+c=0(aWO)的根的判别式A=^-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系

式解答本题的关键.当A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；

当△<()时，一元二次方程没有实数根.

6、C

【分析】作过P作77/_Lx轴于点”，过点用作97_1》轴于点“'，交抛物线=+1于点p,由PF=PH

4

结合，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P，时，△PMF周长取最小值，再由点尸、

用的坐标即可得出MH'的长度，进而得出APM/周长的最小值.

【详解】解：作过「作P"_Lx轴于点”，

由题意可知：PF=PH,

A"MF局长=MF+MP+PF=MF+MP+PH，

又•••点到直线之间垂线段最短，

...当M、P、H三点共线时MP+PH最小，此时APA1尸周长取最小值，

过点M作MHJ.X轴于点”‘，交抛物线y=Lf+i于点p,此时周长最小值，

-4

尸(0,2)、M(3,6),

;.MH'=6,FM=7(3-0)2+(6-2)2=5»

APMF周长的最小值=ME+RW=6+5=11.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出

△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.

7、D

【分析】过点D作DE〃AB交AO于点E,通过平行线分线段成比例求出。瓦OE的长度，从而确定点D的坐标，代

入到解析式中得到k的值，最后利用矩形的面积即可得出答案.

【详解】过点D作DE〃AB交AO于点E

VDE/7AB

.OEDEOD

"OA~AB~OB

•：OD:DB=3:2

.OEDEOD_3

OA~AB~OB-5

33

：.OE=-OA,DE=-AB

33

AD(-OA,-AB)

•.•点口在丫=々尤＞0)上

x

33

：.k=-OA-AB

55

VQ4.AB=2(X)

99

；.k=—OA-AB=—x200=72

2525

故选D

【点睛】

本题主要考查平行线分线段成比例及反比例函数，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.

8、C

【分析】根据三角形内角和定理求出NA=70。,根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：VZABC=50°,ZACB=60°

二ZA=70°

•.•点O是4ABC的外心，

.IZBOC=2NA=140°,

故选:C

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、外心的定义和圆周角定理.

9、C

【分析】根据题意先求得。0、0C的长，分两种情况讨论：①当点在直线/的左侧时，利用勾股定理求得AG,利

用锐角三角函数求得AC,即可求得答案；②当点在直线/的右侧时，同理可求得答案.

【详解】令x=0,贝!|y=6,点D的坐标为（0,6）,OD=6,

'：NOCO=60",

OP_6

:.oc=2技

tan600也

分两种情况讨论：

①当点在直线/的左侧时：如图,

过A作AGJ_CZ）于G,

,:AM=AN=2,MN=26，

AMG=GN=、MN=近,

2

：,AG=ylAM2-MG2=夜，

在RfAGC中，ZACG=60",

AC」的=夜=29

一sin60。一耳一亍，

V

：.OA=OC-AC=2拒-乙娓,

3

m-2>/3—>/6,

3

②当点在直线/的右侧时：如图，

过A作AG_L直线/于G,

'：AM=AN^2,MN=2叵,

:.MG=GN=LMN=6,

2

,AG=VAM2-MG2=,_（亚j=血,

在RfAGC中，NACG=60。，

一=*一0=2后

二一sin60。一班―亍，

T

：.OA=OC+AC^2y/3+-46,

3

2

**•m=2\^34—\/69

3

综上：，〃的值为：2A#）或2乖＞Ay[6.

33

故选：C.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，锐角三角函数，分类讨论、构建合适的辅助线是解题的关键.

10、C

【分析】证出AABD是等腰直角三角形，得出AD=BD=WAB=4,由三角函数定义求出CD=3,即可得出答案.

2

【详解】解：AD上BC交BC于点D,AD=BD,

.•.43。是等腰直角三角形，

:.AD=BD=—AB=4,

2

CD=3,

:.BC=BD+CD=7；

故选：c.

【点睛】

本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定

义是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、-1

【解析】根据二次函数的定义判定即可.

【详解】•••函数y=（左一3）/J7+劣+1是二次函数,

.*.k2-7=2,k-WO

解得k=-l.

故答案为：-1.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键.

1

12、一

2

【分析】先降次，再利用韦达定理计算即可得出答案.

2

【详解】VX的一元二次方程x-2x+m=0的二根为内，”

；・（玉>=2xl-m

:.—m-%]+x2=3X}X2

m=

xx+%2~3X]X2

又%+%=2,x1x2=m

代入得2=3〃z

解得：m=g

2

故答案为!.

2

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，若X的一元二次方程℃2+法+c=o的二根为4与，则为+々=—二，

a

_£

人xIx八-)~~•

■a

13、1

【分析】直接以概率求法得出关于x的等式进而得出答案.

【详解】解：由题意得：—一=』，

解得x=3,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了概率的意义，正确把握概率的求解公式是解题的关键.

14、-1

【解析】由反比例函数系数k的几何意义结合AAP8的面积为4即可得出k=±

1,再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出k=-1,此题得解.

【详解】•.•点尸在反比例函数的图象上，轴于点A,轴于点B,

X

1

：.S^APB=-\k\=4,

:・k=±l.

又・・•反比例函数在第二象限有图象，

:・k=-1.

故答案为-1.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y=士图象中任取一点，过这一个点向x轴和y

X

轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值阳是解题的关键.

15、(x+1)；x2+52=(x+1)2.

【解析】试题分析：设水深为X尺，则芦苇长用含X的代数式可表示为(X+1)尺，根据题意列方程为V+52=(X+1)2.

故答案为（x+1）,X2+52=（X+1）2.

考点：由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用.

16、1

AnAR

【解析】由条件可证得△ABCS/SAOB,可得到——,从而可求得AC的长，最后计算的长.

ABAC

【详解】'：ZDBA=ZC,NA是公共角，.,.△ABCs△405,.•.殁=〃_,即冬=0-,解得：AC=8,：.CD=8-

ABAC4AC

2=1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键.

77

17,——

9

【分析】利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】,：ZAOB=2ZACB=70°,

.＜、70兀"_7冗

3609

7TT

故答案为三.

【点睛】

本题主要考查扇形的面积公式，求出扇形的圆心角是解题的关键.

18、60°

【分析】连接BD交OC与E,得出乙48。=90°,从而得出NAD5=30。；再根据弦BC与弦CO长度相同得出

BD1OC,即可得出NOOC的度数.

连接BD交OC与E

AD是。的直径

ZABD=90°

ZA=60°

ZADB=30°

弦8c与弦CO长度相同

•••BDLOC

NOOC=9()°—30°=6()°

故答案为600.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，辅助线得出乙钻。=90。是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）（1）AC与。O相切，证明见解析；（2）0O半径是

4

【解析】试题分析：（1）连结OE,如图，由BE平分NABD得到NOBE=NDBO,加上NOBE=NOEB,则ZOBE=ZDBO,

于是可判断OE〃BD,再利用等腰三角形的性质得到BDJ_AC,所以OE_LAC,于是根据切线的判定定理可得AC与

（30相切；

（2）设OO半径为r,则AO=10-r,证明AAOEsaABD,利用相似比得到-----=—,然后解方程求出r即可.

106

试题解析：（DAC与。O相切.理由如下：

连结OE,如图，

TBE平分NABD,

二NOBE=NDBO,

VOE=OB,

:.NOBE=NOEB,

二NOBE=NDBO,

，OE〃BD,

VAB=BC,D是AC中点，

；.BDJ_AC,

AOEIAC,

.••AC与。O相切；

（2）设（DO半径为r,则AO=10-r,

由（1）知，OE〃BD,

.♦.△AOEsaABD,

AOOE10-rr

：.——=——,即an-----=一,

ABBD106

.15

..r=—，

4

即。O半径是?.

4

D

考点：圆切线的判定：相似经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过

圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.解决(2)小题的关键是利用相似比构建方程.

20、证明见解析.

【分析】先根据角平分线的定义可得NABE=NC8£,再根据等腰三角形的性质可得NCDE=NCBE,从而可得

ZABE=NCDE,然后根据相似三角形的判定即可得证.

【详解】BE是A8C的角平分线

：.ZABE=ZCBE

BC=CD

:"CDE=/CBE

:.ZABE^ZCDE

又ZAEB=ZCED

：NABE:VCDE.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

411

21、(1)反比例函数的表达式为y=-(2)直线AC的函数表达式为y=—x-1；(3)(-,8).

x22

【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数表达式中，即可得出结论；

(2)先求出AB,设出点C的纵坐标，利用AABC的面积为6,求出点C纵坐标，再代入反比例函数表达式中，求出

点C坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式；

(3)先求出直线AP的解析式，再和反比例函数解析式联立求解即可得出结论.

【详解】解：(1)•••点A(4,1)在反比例函数y=V的图象上，

.\k=4xl=4,

4

.•.反比例函数的表达式为y=-；

(2)设点C的纵坐标为m,

：AB_Ly轴，A(4,1),

，AB=4,

VAABC的面积为6,

/.-ABx(1-m)=6,

4

由(1)知，反比例函数的表达式为丫=一，

x

...点C的纵坐标为：-2,

.,.点C(-2,-2),

设直线AC的解析式为y=k'x+b,

4k'+b=l

将点A(4,1),C(-2,-2)代入y=k'x+b中,

-2k'+b=-2

：.<2,

b=-l

二直线AC的函数表达式为y=-1；

(3)由(2)知直线AC的函数表达式为丫=^*-

VZPAC=90°,

AAC±AP,

・•・设直线AP的解析式为y=-2x+b\

将A(4,1)代入y=-2x+b‘中，-8+b'=L

，b'=9,

，直线AP的解析式为y=-2x+9①，

4

由(1)知，反比例函数的表达式为丫=一②，

x

Cf1

x=4Ax=—

联立①②解得，।(舍)或2,

g[y=8

工点P的坐标为(,，8),

2

故答案为：（一，8）.

2

【点睛】

考查了待定系数法，三角形的面积公式，方程组的解法，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键.

7

22、（l）j=-X-1；（2）4AOB的面积为万；（3）xV-4或0VxV3.

【解析】（1）先根据A点的横坐标与5点的纵坐标都是3,求出A,B,再把A,B的值代入解析式即可解答

（2）先求出C的坐标，利用三角形的面积公式即可解答

（3）一次函数大于反比例函数即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的x的取值范围；

12

【详解】（I；•一次函数7=丘+伙七b为常数，写0）的图象与反比例函数V=--的图象交于4、8两点，

且与X轴交于点C,与y轴交于点o,A点的横坐标与8点的纵坐标都是3,

.•.3=上，

x

解得：x=-4,

12

y=-=-4,

故5(-4,3),A(3,-4),

把A,5点代入^=履+/>得:

-4k+b=3

3人+人=一4’

k=-\

解得：

故直线解析式为：J=-X-1；

（2）y=-x-1,当y=0时，x=-1,

故。点坐标为：（-1,0）,

,117

则AAO5的面积为：一xlx3+—xlx4=—；

222

12

⑶不等式kx+b>——的解集为：xV-4或0<x<3.

x

【点睛】

此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式

23、(1)m<2；(2)原方程的两根是-3和1.

【分析】(1)根据根的判别式求出的取值范围；

(2)将再，Xz代入方程，求得玉+Z+2=0,再根据石+%2+玉*2+5=