2021-2022学年上海市闵行区九年级上学期数学期末试题及答案

2021-2022学年上海市闵行区九年级上学期数学期末试题及

答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.在RtABC中，各边的长度都扩大4倍.那么锐角B的正切值（）

A.扩大4倍B.扩大2倍C.保持不变D.缩小4

倍

【答案】C

【解析】

【分析】根据锐角三角函数的定义得出tan3=器，求出掇=养，再得出选项即可・

AC

【详解】解：如图，在RLABC中，ZC=90°,则tanB~BC

4ACAC

・•・在RjA5c中，各边的长度都扩大4倍.那么锐角8的正切值保持不变,

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是能根据锐角三角函数的定义得出

AC

tanBn------.

BC

3

2.在RtABC中，NC=90,BC=4,AC=3，那么NA的三角比值为1的是

（）

A.sinAB.cosAC.tanAD.cotA

【答案】B

【解析】

【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可.

【详解】解：在吊ABC中，NC=90°,BC=4,AC=3,

AB=VAC2+BC2=V32+425,

2=3

AB5

故选：B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余

弦，正切，余切的区别.

3.下列二次函数与抛物线y=—f+2x—3的对称轴相同的函数是（）

A.y——x~+4x—3B.y——2x~一3x

,1,

C.y=3x2+6x-7D.y=-x-x+5

【答案】D

【解析】

b

【分析】通过抛物线对称轴为直线x=-一求解.

2a

【详解】解：抛物线丁=一/+21-3的对称轴为直线％=—[=1,

选项A中抛物线对称轴为直线工=-3=2,不符合题意.

-2

选项B中抛物线对称轴为直线X=—-一33不符合题意.

-44

选项C中抛物线对称轴为直线x=-9=-1,不符合题意.

6

选项。中抛物线对称轴为直线X=-?=1,符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴与系数的关系.

4.如图，已知在中，点D在边A8上，那么下列条件中不能判定

ABCACD的是()

ACAB

B.AC2=ADAB

CD—BC

C.ZB=ZACDD.ZADC=ZACB【答案】A

【解析】

【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断A,B,由两个角对应相等

的两个三角形相似可判断C,D,从而可得答案.

ACAfi_

【详解】解：k=F而彳於8，8不一定相等，不能判断q/WC二ACD,故A符合

CDBC

题意;

AC2=AD-AB>

AC_AB

而NA=NA,

~\D~~AC

：-ABCA4CD,故B不符合题意;

AB=ZACD,NA=NA,

：.ABC-AC。,故C不符合题意；

ZADC=ZACB,ZA=ZA,

：.^ABC故D不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边

对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键.

5.如果4+b=c；，a-h=3c,且c/0，下列结论正确的是

A.同=忖B.a+2h=O

C.。与人方向相同D.a与人方向相反

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的性质进行计算判断即可.

【详解】解：将a+/,=c代入a—6=3c，

计算得：a=-2b(方向相反).

故选：D

【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.

、2

6.二次函数y=ax+陵+。(4/0)的图像如图所示，现有以下结论：(1)b>0：

(2)abc<0；(3)a-b+c>0,(4)a+b+c>0(5)b2-4ac>0：其

中正确的结论有()

【答案】C

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,

然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：(1):函数开口向下，...aVO,：对称轴在y轴的右边，.2>0,，b>

2a

0,故命题正确；

(2)Va<0,b>0,c>0,/.abc<0,故命题正确；

(3)♦..当x=-l时，yVO,...a-b+cVO,故命题错误;

(4),当x=l时，y>0,.'.a+b+c>0,故命题正确；

(5)•.•抛物线与x轴于两个交点，.•.b2-4ac>0,故命题正确；

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a

与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.如果%:y=5:2,那么(x+y):y的值为

7

【答案】一##7：2

2

【解析】

分析】设x=5k,y=2k,代入计算即可.

【详解】；x：y=5:2,

・••设x=5k,y=2k,

7

：.(x+y):y=(5k+2k)：2k=7：2,故答案为：

【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质，并灵活解题是解题的关键.

8.已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长线段AP

的长是厘米.

【答案】（4-1）

【解析】

【分析】根据黄金分割：AP：AB=K1二1解答即可.

2

【详解】解：根据题意，AP：AB=X1二LAB=2厘米，

2

/.AP=避二1・AB=（石一1）厘米，

2

故答案为：（石—1）.

【点睛】本题考查黄金分割，熟知黄金分割和黄金数叵口=较长线段：全线段是解答的关

2

键.

2

9.在MBC中，NC=90,8C=4,sinA=—，则A8=_________.

3

【答案】6

【解析】

2

【分析】根据sinA=—,即可求得AB的长.

3

2

【详解】•・・5C=4,sinA二一,

3

K4

.".AB=-------=2=6.

sinAj

故答案为6.

【点睛】本题考点：锐角的正弦函数.

10.两个相似三角形的面积之比是9:25,其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那

么另一个三角形对应边上的高为_厘米.

【答案】3

【解析】

【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高【详解】•••两个三角形面积比为9:25

两个三角形相似比为3:5

设：另一三角形对应边上的高为x

r3

解得x=3

55

故答案为：3

【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键.

11.e为单位向量，。与e的方向相同，且长度为2,那么a=e

【答案】2

【解析】

【分析】两向量方向相同可做线性运算，单位向量长度为1,故可得二者的数量关系.

【详解】解：•••e长度为1,行长度为2,二者方向相同

.•.做线性运算可得

故答案为：2.

【点睛】本题考查了向量的线性运算.解题的关键在于明确向量是有大小和方向的量.

12.如果抛物线y=x2+m+\的顶点是坐标轴的原点，那么m的值是

【答案】-1

【解析】

【分析】根据顶点为原点得出m+l=O,再解出m即可.

【详解】•.•该函数顶点是坐标轴的原点

m+l=O；解得m=T

答案为：m=-l

【点睛】本题考查一元二次方程中参数的取值，掌握各种典型函数图像的知识是关键.

13.已知二次函数〃x)=gx2+bx+c图像的对称轴为直线x=4,则

/(1)“3).(填“〉”或“<”)

【答案】>

【解析】

【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案.

【详解】解：•••二次函数/(x)=gd+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=4,

•••当X的取值越靠近4函数值就越小，反之越大,

“3>/（3），

故答案为：>.

【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性.

14.如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点

A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处.如果

AB工BD，CD±BD,AB=1.5米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的

高度是米

【分析】根据两个三角形相似、对应边长度比成比例求出古城墙高度.

【详解】•••入射角=反射角

/.入射角的余角NAPB=反射角的余角ZCPD

又AB_LBD；CD±BD

/.AABP^ACDP

._CDL55

5

；.CD=PDX—=10

6

故答案为：10

【点睛】本题考查相似三角形在求建筑物的高度中的应用，找出比例是关键.

15.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡

度为.

【答案】|2

【解析】【分析】根据坡度的概念计算，得到答案.

202

【详解】解：斜面AB的坡度为：=

2

故答案为：—

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h

和水平宽度1的比是解题的关键.

16.如图，已知在RtAABC中,/ACB=90,/B=30,AC=1,。是AB边上

一点，将/\ACD沿CD翻折，点A恰好落在边BC上的点E处，那么

AD

【答案】6-1##一i+G

【解析】

【分析】翻折性质可知A£>=OE,AC=CE,ZA=NCED；在Rr二ABC中有

ZA=60°,BC=C；NCED=NB+NEDB,得DEB是等腰三角形,

AD=DE=BE=BC-CE=BC—AC即可求出长度.

【详解】解：翻折可知：aACD^ECD,AD=DE,AC=CE

VZB=30°,AC=\,ZACB=90°

.•.在中，AB=2AC=2

.•.ZA=NCEO=60。，BC=h-f=6

■:/CED=/B+/EDB

：.NEDB=ZB=300

。石B是等腰三角形

/.DE=EB

:.AD=EB=BC-CE=y/3-i

故答案为：73-1.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，勾股定理等

知识点.解题的关键在于找出边相等的关系.

17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（。,3）（。＞4）,射线。4与反比例函数

12

丁=一的图像交于点P，过点A作工轴的垂线交双曲线于点8,过点A作y轴的垂线交双

X

_12

【分析】求出A0的直线解析式y联立,:,求出?（2右，巫）,过尸点作

ay=^x°

a

I?I?

交于点PN[AC交于点、N,则C（a,—）,3（4,3）,分别求出AC=3----，

aa

PN=a-28，AB=a-4,PM=3-^~，即可求5必出=1（a-4）（3-辿），

a2a

5必”=:（。-2&）（3-鸟，再求沁即可•

2a»A4CP

【详解】解：设A。的解析式为y=依，

..3=cik,

a

x=2\[a

联立；解得6后，

y=­xy=—

:.PQ8,鸣，

a

过P点作尸MJ.AB交于点3,PN工AC交于点、N,

-SMBP=13-4)(3-^^~)，

2a

S^CP=彳3-2G)(3----)，

2a

246r-

SJQ-12+---------6va

..AABP_a=j

%。3a-66-12+24«

a

故答案为：1.

【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性

质.

18.如图，在Rt..ABC中，NC=90,AC=8,BC=6，点尸是AC边上一点,

将△ACS沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点。处，联结

PQ,如果/CQB=NAPQ,那么AQ的长为

【解析】【分析】由题意知，=+=io,A和。关于过点P的直线对称,

如图所示，AP=PQ,ZCQB=ZAPQ,有NCPQ=ZAQC,NQCP=NACQ,故

QP_QC_PCLQAQ_S_AQ

有.QPCS.AQCA

AQACQCtan/4=^——=——=—^AP5QP

上上APAB10

求出QC,PC,AP的值，进而得出AQ的值.

【详解】解：由题意知，A和。关于过点尸的直线对称，如图所示

在RtABC中，NC=90°，AC=8,BC=6

•••AB=VAC2+BC2=10

VAP=PQ,NCQB=NAPQ

：.ZA=ZPQA,ZCPQ=ZAQC

ZQCP=ZACQ

在,QPC和，AQC中<NCPQ=NCQA

APQC=ZA

A.QPC^^AQC

QPQCPC

~\Q~~\C~~QC

又：AC8

cosZA=------

AP茄10

.QP5QCPC

*'-8QC

252539

AQC=5,PC=—,AP=AC-PC=S--=—

888

3939

•••AQ=M故答案为：y.

【点睛】本题考查了轴对称，相似三角形的判定与性质，正切值等知识点.解题的关键与难

点在于相似比找出线段之间的数量关系.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

+（百4

19.计算:tan45+药

【答案】2A/3-2

【解析】

【分析】代入特殊角三角函数值，化简零指数累，负整数指数基，利用平方差公式进行二次

根式分母有理化计算，然后再算加减.

4(6-1)

【详解】解:原式=1+1-2+

(73+1)(73-1)，

=1+1-2+2-^3-2，

=2>/3-2.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解/=1（。70）,”-0=^370）,解题的关

键是熟记特殊角三角函数值，掌握利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算.

20.如图，AD,BE是^ABC的中线，交于点G,且AB=a,BC=b.

（1）直接写出向量AG关于a、b的分解式,AG=______

（2）在图中画出向量BG在向量。和Z7方向上的分向量.（不要求写作法，但要保

留作图痕迹，并写明结论）

【答案】（1）-ci-\—b；

33

（2）见解析【解析】

【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD=^BC,AG=|AD,由AD=AB+8D求

解即可；

（2）过点G分别作AB、BC的平行线，分别交BC、AB于H、F,作向量8尸、8”即可.

小问1详解】

W：'：AD,BE是^ABC的中线，交于点G,

R.BD=!BC,AG=-AD,

23

,/AB=a,BC=b，

AD=AB+BD^a+-b,

NZ1乙1

AG=-AZ)=—(ad—b)=-a-\--b,

33233

21

故答案为：—a+~b；

33

【小问2详解】

解：如图所示，BF>8”是向量BG在向量a和b方向上的分向量.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、

BHD0

三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给

定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键.

21.如图，已知在RtABC中，ZACB=90,tanZCAB=2,点A的坐标为

(-1,0),点B在x轴正半轴上，点c在y轴正半轴上.

(1)求经过B、C两点的直线的表达式.

(2)求图像经过A、B、C三点的二次函数的解析式.

【答案】⑴y=-gx+2.

1,3

(2)y=—x+—x+2.

-22

【解析】

【分析】(1)利用tan/C4B=2先求解。的坐标，再证明

?CAOWCO,tanCAO=tan?BCO,再求解8的坐标，利用待定系数法求解BC的解

析式即可；

(2)根据抛物线与x轴的交点设抛物线为y=a(x+l)(x-4),再把。的坐标代入求解“即

可.

【小问1详解】

解：tan/C4B=2,点A的坐标为(-1,0),AOACO,

nr

\皆=2,则OC=2,C(0,2),

Q2ACB90靶AOC=90?,\?C4O?ACO90??ACO?BCO,

\?CAO彳记CO,tan040=1册？8。0,\宾=2,06=20。=4,二8(4,0),设直线

BC为:y=kx+bt,

所以直线8c为：y=--x+2.

2

【小问2详解】

解：设过A(-1,0),3(4,0),C(0,2)的抛物线为:

y=a(x+l)(x-4),\-4a=2,解得：a

2

所以抛物线为：y=--(x+l)(+--x+2.

【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数与

二次函数的解析式，熟练的利用锐角三角函数求解氏C的坐标是解本题的关键.

22.为了维护南海的主权，我国对相关区域进行海空常态化立体巡航.如图，在一次巡航

中，预警机沿AE方向飞行，驱护舰沿BP方向航行，且航向相同(AE〃BP).当

预警机飞行到A处时，测得航行到B处的驱护舰的俯角为45，此时B距离相关岛

屿P恰为60千米；当预警机飞行到C处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方D

处，此时8=10千米，当预警机继续飞行到E处时，驱护舰到达相关岛屿P,且测得

E处的预警机的仰角为22°.求预警机的飞行距离AE.（结果保留整数）（参考数据:

sin22«0.37,cos22«0.93,tan22«0.40.）

【答案】预警机的飞行距

离AE为95千米

【解析】

【分析】过B作BIILAE于H,过E作EFLBP交延长线于F,利用锐角三角函数解直角三角

形求得AH、PF即可.

【详解】解：过B作BH_LAE于H,过E作EF_LBP交延长线于F,则NAHB=NEFP=90°,

由题意,ZA=45°，NEPF=22°，BH=CD=EF=10千米,EH=BF,BP=60千米,

在Rt^AHB中,ZA=45°,BH=10千米,

.•.AH=BH=10千米,

在RtZ\EFP中,NEPF=22°,EF=10千米,

…蔡式=25,

.,.AE=AH+HE=10+60+25=95（千米）,

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形，作

垂线构造直角三角形是解答的关键.

23.如图，在等腰二A3C中，A8=AC,点。是边8C上的中点，过点。作CE_L8C,

交84的延长线于点£，过点B作交A£＞于点E，交AC于点H,交CE于

点G.

E

（1）BCBH=CHEC；

（2）BC2^4DFDA-

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用已知条件证明MCESACHB即可；

（2）通过证明AAQCSABDF得出生=丝，再根据8。=QC=',得出结论.

DFBD2

【小问1详解】

证明：CELBC,BHrAC,

:.ABCE=NCHB=9Q。,

•.AB^AC，

：.ZABC=ZACB,

;.NBCE^^CHB,

.・.——BC=——CE,

CHBH

..BCBH=CHEC；

【小问2详解】证明•A5=AC,点。是边3c上的中点，

ADLBC,BH±AC,

.\ZADC=ZAHF=90°,

ZDAC=ZHAF,

ZACD=ZAFH,

ZAFH=BFD,

；,ZACD=ZBFD,

ZADC=/BDF=900,

/.^ADCsmDF,

.DCAD

•,二,

DFBD

BD=DC=-BC,

2

1,

-BC'=ADDF,

4

即BC2=4DFDA-

【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，解题的

关键是掌握相似三角形的判定定理进行证明.

24.如图，在平面直角坐标系xQy中，直线y=-x+5与x轴交于点A,与V轴

交于点B.点C为抛物线y=ax2-2a2x+a3+^a的顶点.

(1)用含a的代数式表示顶点C的坐标:

(2)当顶点C在AOB内部，且SA"=|时，求抛物线的表达式：

(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移1个单位后，平移后的抛物线的顶点

P仍在&AOB内，求。的取值范围.【答案】(1)C(a,ga)

(2)y=2x2-8x+9；

(3)l<a<3

【解析】

【分析】(1)利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；

(2)求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；

(3)根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的

一元一次不等式组，解不等式组即可求解

【小问1详解】

解：抛物线y——cix^—Q.cix+-|—a=a(x—iz)-H—a，

22

二顶点C的坐标为(a,—a)；

2

【小问2详解】

解：对于y=-x+5,当x=0时，y=5,当y=0时，x=5,

.".A(5,0),B(0,5),

•.•顶点C在.AOB内部，且SA℃=|,

,115

・・一x5—ci——,

222

/.a=2,

抛物线的表达式为y=2/-8x+9；

【小问3详解】

解：由题意，平移后抛物线的顶点P的坐标为(a+1,ga—3),

•••平移后的抛物线的顶点尸仍在.AOB内，

a+l>0

11八

A\—a——>0,

22

/八u11

一(a+1)+5>-a—

I22

解得：l<a<3,

即”的取值范围为l<a<3.【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数

的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟

练掌握相关知识的联系与运用，第(3)小问正确得出不等式组是解答的关键.

25.己知四边形ABCD是菱形，A8=4，点E在射线CB上，点、F在射线

CD上，且/EAF=/RAD.

(1)如图，如果ZBAD=90，求证：AE=AF；

(2)如图，当点E在CB的延长线上时，如果

AJ7

ZABC=60，设DF=x,——=y,试建立)，与x的函数关系式，并写出x的取

AE

(3)联结AC,BE=2,当ZXAEC是等腰三角形时,

请直接写出DF的长.

【答案】(1)证明过程详见解答；

4—x

(2)y=^-(0<x<4)

(3)或3

57

【解析】

【分析】(1)先证明四边形ABCO是正方形，再证明AABEMAADF，从而命题得证；

(2)在AD上截取r>G=£)P,先证明ADG尸是正三角形，再证明AABEsA4G尸，进一

步求得结果；

(3)当AE=A。时，作AHLCE于H，以尸为圆心，OE为半径画弧交AO于G,作

DGJ

FN工AD于N,证明AABHSA/M),ZAGF=ZABE,可推出——=一，再证明

DF2

4-DGGF

MBE^MGF,可推出一^=十，从而求得。/