2023-2024学年福建省福州则徐中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023.2024学年福建省福州则徐中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

I.方程3--8x—10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）

A.3和8B.3和一8C.3和-10D.3和10

2.若关于x的一元二次方程/—ax+6=0的一个根是2,则a的值为（）

A.2B.3C.4D.5

3.一元二次方程/—X—1=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.若关于％的方程——x—m=0有实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m<；B.m.C.m>-1D.m>J

5.用配方法解方程/-4x+2=0,配方正确的是（）

A.（x+2）2=2B.（x-2产=2C.（%-2）2=-2D.（x-2）2=6

6.若%i，小是一元二次方程/-2x-3=0的两个根，则X1+&的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

7.已知方程/+%=2,则下列说法中，正确的是（）

A.方程两根和是1B.方程两根积是2

C.方程两根和是-1D.方程两根积比两根和大2

8.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平

均每次降价的百分率为X,根据题意，所列方程正确的是（）

A.150（1-x2）=96B.150（1-%）2=96

C.150（1-x）=96D.150（1-2x）=96

9.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，己知

盒子的容积为3000巾3,则原铁皮的边长为（）

A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm

10.菱形ABC。的一条对角线长为6,边4B的长是方程/—7x+12=0的一个根，则菱形

ABCD的周长为（）

A.16B.12C.16或12D.24

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.方程5/-x-3=%2-3+x的一次项系数是.

12.方程/=2x的根为.

13.若“=一1是方程M+x+m=0的一个根，则该方程的另一个根为.

14.秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流

感，假设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则列方程为.

15.对于任意实数a、b,定义一种运算：a像b=a?+一M，若xG)(x-1)=3,贝收的

值为.

16.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b-

3.例如把(2,-5)放入其中，就会得到22+2x(—5)-3=-9,现将实数(犯一3巾)放入其中，

得到实数4,则m.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

17.解方程

(l)x2-4x-1=0

(2)2(%-I)2-16=0.

四、解答题(本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题8.0分)

若x=一2是一元二次方程/+2x+7n=0的一个根，求方程的另一个根及m的值.

19.(本小题8.0分)

已知关于%的方程--2x+加=0有两个不相等的实数根，求实数?n的取值范围.

20.(本小题8.0分)

滴水县某中学规划在校园内一块长36米，宽20米的矩形场地48CD上修建三条同样宽的人行

道，使其中两条与平行，另一条与4D平行，其余部分种草，(如图所示)，若使每一块草坪

的面积都为96平方米，则人行道的宽为多少米？

21.(本小题8.0分)

2

已知，xt,%2是关于万的一元二次方程/+(2m+l)x+(m+1)=0的两个实数根，当与打=

5时，求m的值.

22.(本小题8.0分)

为了美化环境，某旅游示范县加大对绿化的投资.2012年用于绿化投资20万元，2014年用于

绿化投资24.2万元，求2012年到2014年绿化投资的年平均增长率.

23.(本小题8.0分)

为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉.如图，矩形地4BCD一

面靠墙(墙的长度为12m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个面积相等的

矩形.已知栅栏的总长度为277n.

⑴若矩形地力BCD的面积为42nl2,求4B的长;

(2)当4B边为多少时,矩形地4BCD的面积最大,最大面积是多少？

24.(本小题8.0分)

把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新

数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，

若最终结果为1,我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”.例如：

3232+22=13I2+32=10I2+02=1,7072+02=4942+92=97

92+72=130t仔+32+。2=io-/+()2=1,

所以32和70都是“快乐数”.

(1)最小的两位“快乐数”是;

(2)证明19是“快乐数”；

(3)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1,且这个三位数的百位数比个位数字小2,

十位数字为0,求出这个“快乐数”.

25.(本小题8.0分)

已知关于》的一元二次方程(a+c)M+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的

长.

(1)如果x=-1是方程的根，试判断A/IBC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断AABC的形状，并说明理由;

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：3——8x—10=0的二次项系数和一次项系数分别为3,-8,

故选：B.

一元二次方程ax?+bx+c=0(a,b,c是常数且a*0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、

常数项.

本题考查了一元二次方程的一般形式:a/+bx+c=0(a,b,c是常数且a丰0)特别要注意a丰。的

条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中aM叫二次项，人叫一次项，c是常数

项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

2.【答案】D

【解析】解：••・关于x的一元二次方程M-ax+6=。的一个根是2,

■■22—2a+6=0,

解得a=5.

故选：D.

根据关于x的一元二次方程/一ax+6=0的一个根是2,将x=2代入方程即可求得a的值.

本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.解决本题亦可利用根与系数的关系.

3.【答案】B

【解析】解：:/—x—i=o,

4=(-1)2-4x1x(-1)=5>0,

所以方程有两个不相等的实数根，

故选：B.

先求出的值，再判断即可.

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：•.・关于x的方程/一％-m=0有实数根，

Z1=(-1)2—4(—m)=1+4m>0,

解得m>—

故选：c.

根据判别式的意义得到/=l+4m>0,解不等式即可.

本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0(a力0)的根的判别式A=炉-4ac：当』>0,方程有

两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当/<0,方程没有实数根.

5.【答案】B

【解析】解：—4x+2=0,

x2—4%+4=2,

•••(x-2)2=2,

故选:B.

分析：根据一元二次方程的配方法即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

6.【答案】4

【解析】解：••・一元二次方程一一2久一3=0的二次项系数是a=1,一次项系数b=-2,

•・・由根与系数的关系，得

+x2=2.

故选：A.

根据一元二次方程的根与系数的关系XI+次=-!可以直接求得+X2的值.

此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的

解题方法.

7.【答案】C

【解析】解：x2+x-2=0,

两根之和为-1,两根之积为-2.

故选C.

先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系进行判断.

本题考查了一元二次方程以2+旅+。=09力0)的根与系数的关系：若方程的两根为与，无2，

则X]+刀2=—，X1'X2=

8.【答案】B

【解析】解：根据题意得：150(1-为2=96,

故选:B.

根据“连续两次降价后，该种商品每件售价为96元”列方程求解.

本题考查了一元二方程的应用，找到相等关系是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】【解答】

解：正方形铁皮的边长应是久厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为(％-3x2)厘米，高为3厘

米，根据题意列方程得，

(%—3x2)(%—3X2)x3=300,

解得X]=16,x2=-4(不合题意，舍去)；

答：正方形铁皮的边长应是16厘米.

故选：D.

【分析】

设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3x2)厘米，高为3厘

米，根据长方体的容积计算公式列方程解答即可.

此题主要考查长方体的容积计算公式：长方体的容积=长、宽x高，以及平面图形折成立体图形后

各部分之间的关系.

10.【答案】A

【解析】解：x2-7x+12=0,

(X—3)(x—4)=0,

x—3=0或x—4=0,

所以=3,x2-4,

•.•菱形ABC。的一条对角线长为6,

.,•边4B的长是4,

•••菱形2BCD的周长为16.

故选：A.

先利用因式分解法解方程得到匕=3,右=4,再根据菱形的性质可确定边4B的长是4,然后计算

菱形的周长.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过

因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一

元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问

题了(数学转化思想).也考查了菱形的性质.

11.【答案】一2

【解析】解：方程整理得：4%2-2%=0,

则方程的一次项系数为-2.

故答案为：-2.

方程整理为一般形式，找出一次项系数即可.

此题考查了一元二次方程的一般形式，熟知任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如

下形式aM+bx+c=0(a70),这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键.

12.【答案】勺=0,次=2

【解析】解:x2=2x,

x2—2%=0,

x(x—2)=0,

x=0,或x—2=0,

%1—0,%2—2，

故答案为：Xi=0,x2=2.

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法.

13.【答案】0

【解析】解：设该方程的另一个根为t,

根据题意得一l+t=解得t=0,

即该方程的另一个根为0.

故答案为0.

设该方程的另一个根为3利用根与系数的关系得到-l+t=-1,然后解关于t的方程即可.

本题考查了根与系数的关系：若X1，冷是一元二次方程。M+6:+，=0。。0)的两根，则匕+

b_c

X2=X1X2=

14.【答案】6

【解析】解：设每轮传染中平均每个人传染了X人.

依题意得1+x+x(l+x)=49,

:.x2+2x-48=0,

=6,x2=-8(不合题意，舍去).

所以，每轮传染中平均一个人传染给6个人.

故答案为：6.

设每轮传染中平均每个人传染了X人，第一轮后有(1+X)人患了流感，第二轮后会传染给尤(1+X)

人，则两轮以后共有l+x+Ml+x)人得病，然后根据共有49人患了流感就可以列出方程求解.

此题主要考查了增长率问题，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，

人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的.

15.【答案】2或-1

【解析】【分析】

本题主要考查了一元二次方程的解法-因式分解法.本题是新定义型题目，正确理解新定义并准

确使用是解题的关键.依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论.

【解答】

解：由题意得：

x2+(x—I)2—x(x—1)=3.

整理得：

%2—x—2=0.

即(X-2)(x+1)=0.

解得：=2,x2=-1.

故答案为：2或—1.

16.【答案】7或-1

【解析】【分析】

根据公式。2+26-3,可将(m,—3m)代入得出加？+2x(—3m)—3=4,解方程即可.

本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方

程.

【解答】

解：根据题意得，m2+2x(-3m)-3=4,

解得nil-7,m2=-1,

故答案为：7或一1.

17.【答案】解：(1)方程整理得：X2-4X=1,

配方得：x2-4%+4=5,即(x-2)2=5,

开方得：％-2=±，亏，

--

解得；Xy=2+A/5>x2=2—V5;

(2)方程整理得：(x-1)2=8,

开方得：x-1=±2V-1，

-

解得：xx=1+2V-2>&=1-2A/2-

【解析】(1)方程整理后，利用配方法求出解即可；

(2)方程整理后，利用开平方即可求出解.

此题考查了解一元二次方程-配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.

详解：(1)方程整理得：x2-4x=1,

配方得：X2—4%+4=5,即Q—2)2=5,

开方得：x-2=

=

解得：X]=2+\/-5>%22—V-5;

(2)方程整理得:(x-1)2=8,

开方得：X-1=±2V~2，

解得：=1+2\T-2>上=1—2yj~2-

18.【答案】解：•.。=一2是一元二次方程/+2%+瓶=0的一个根，

•••(-2)2+2x(-2)+m=0,即m=0,

:.一元二次方程/+2x+m=0为/+2x=0,即x(x+2)=0,

解得x=0或x=-2,

•••方程的另一个根是x=0,m的值为0.

【解析】根据一元二次方程根的定义及解法直接求解即可得到答案.

本题考查一元二次方程根的定义及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义

及解法是解决问题的关键.

19.【答案】解：•••方程/—2x+m=0有两个不相等的实数根，

•••△=(―2)2—4xlxm=4—4m>0,

解得：m<1.

【解析】根据方程的系数结合根的判别式△>(),即可得出关于小的一元一次不等式，解之即可得

出实数小的取值范围.

本题考查了根的判别式，牢记“当A>0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.

20.【答案】解：设人行道路的宽为x米，根据题意得：

(36-2x)(20-x)=96x6,

解得:%i—2,x2=36(舍去).

故人行道的宽为2米.

【解析】六块草坪组合到一起，正好构成一个矩形，根据矩形的面积，设人行道的宽为x米，则矩

形的长是(36-2乃小，宽是(20—x)zn,即可得到方程(36-2x)(20-x)=96x6；解方程即可

求解.

本题考查了一元二次方程的应用，此类题是看准题型列出方程，题目不难，重在看准题；每一块

草坪的面积=草坪的长x草坪的宽.

21.【答案】解：:一元二次方程/+(2m+l)x+(m2+1)=0有两个实数根，

•••Z1>0,即(2m+I)2-4(m2+1)>0,

解得m>I，

•・・/、不是关于%的一元二次方程/+(2m+1)%+(m2+1)=0的两个实数根，

2

・•・xrx2=m4-1,

**=5,

:.m2+1=5,

解得巾1=2,m2=-2,

、3

•・.m>-f

故zn=2.

【解析】首先根据根的判别式得到关于m的不等式，解不等式求得小的取值范围，然后根据根与

系数的关系得到关于m的方程，然后解方程即可.

本题考查了一元二次方程a/+公+c=0(a工0)的根与系数的关系：如果一元二次方程a/+

取+。=09丁0)的两根分别为修，％2,则Xl+X2=-(与-2=；；也考查了根的判别式.

22.【答案】解：设绿化投资年平均增长率是X,由题意得：

20(1+x)2=24.2,

解得：Xj=0.1,x2=—2.1(舍去).

二年平均增长率是0.1=10%

答：绿化投资年平均增长率是10%.

【解析】设绿化投资年平均增长率是X,根据条件建立方程，求出其解就可以得出结论.

本题是一道数学应用题中的增长率问题的实际问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用及

一元二次方程的解法的运用，解答中对结果验根是否符合题意是解答的关键.

23.【答案】解：设4B的长为xm,则BC的长为(27-3x)m,

根据题意得：(27-3x)x=42,

解得x=2或x=7,

当x=2时，27-3%=21>12,不合题意，舍去，

当x=7时，27-3x=6<12,符合题意，

•••x=7>

答：4B的长为7m；

(2)设矩形的面积为Srn2,

则S=(27-3x)x=-3x2+27x=-3(x-9x)=-3(x-1)2+拳，

■:-3V0,

.•.当时，s有最大值，最大值为竽，

...当4B边为竽时，矩形地4BCD的面积最大，最大面积是竽m2.

44

【解析】(1)设48的长为xm，贝IBC的长为(27—3x)m,根据矩形的面积=42列出方程，解方程

判断x的值即可；

(2)设矩形的面积为Sm2,根据矩形的面积公式列出函数解析式，由函数的性质求最大值即可.

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式.

24.【答案】10

【解析】解：(1)最小的两位“快乐数”是10,

故答案为：10；

(2)•；19t12+92=82t8?+22=68762+8?=100-»12+。2+。2=1,

19是快乐数；

(3)设三位“快乐数”为abc,由题意，经过两次运算后结果为1,所以第一次运算后结果一定是10

或者100,所以a2+Z>2+c2=10或100,

•••a,b,c为整数，且aH0,a2+炉+c?=10时，，

•••I2+32+0