直击2024年高考-高三数学高考模拟卷（天津地区）-答案解析

高三数学高（天津地区）

一、选择题（共9题，共45分）

1.（5分）已知4={%eN*|x43},B={X\X2-4X<0},则4cB=（）.

A.{1,2,3}B.[1,2}C.（0,3]D.（3,4]

2.（5分）设x,yeR,则“生》2且y>2”是“/+y2》4”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据

（单位:kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序

分别编号为第一组，第二组……第五组.如图是根据实验数据制成的频率分布直方图.已知第一组

与第二组共20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组有疗效的人数为（）.

D.18

4.（5分）函数y=财三汴（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（）.

5.（5分）函数f（x）=2sin（3%+@）（s>0,|@|<］）的最小正周期为兀，若其图象向右平移;个单位

长度后得到的函数为奇函数，则函数/（%）的图象（）.

A.关于点传,0）对称B.在上单调递增

C,关于直线x=:对称D.在无=£处取最大值

6.（5分）设〃乃是定义域为R的偶函数，且在［0,+8）上单调递增，若。=/（1。8四2），b=

/（logb专），c=/（―3一§）,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>b0.a>b>c

7.（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂

直于底面的四棱锥称为阳马.现有直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚

中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体，若要

使该阳马体积最大，则应削去的胶泥体积为（）.

A47r8^3B4兀8A/3C竺一三D47r2^2

327393333

22

8.（5分）设双曲线a=1（£1>0,8>0）的右焦点为F，右顶点为4过/;1作4F的垂线与双曲线

交于B,C两点，过B,C分别作4C,4B的垂线交于点D.若。到直线BC的距离小于a+7a2+非,

则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）.

A.（-1,0）U（0,1）B.（—8,_1）u（1,+8）

C.（-V2.0）U（0.V2）D.（-℃>,-V2）U（V2,+°°）

传,

9.(5分)/(x)=VI,.11，若g(x)=-1有且只有两个零点，则实数m的取值范

|ex+i__|x<o

围是().

A.m>2或m<—eB.—2<m<eC.—e<m<2D.m<-2或m>e

二、填空题（共6题，共30分）

10.（5分）已知复数z=?@（i是虚数单位），则复数z的虚部为______

D-1

11.（5分）表广展开式中的常数项为.

12.（5分）已知圆/+y2+2%-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长为4,则实数a的值

为.

13.（5分）已知a>0,b>0,a+b=1,则：，的最小值为.

a+3b2a+b---------

14.（5分）已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放

回地依次取出3个小球.贝U3个小球颜色互不相同的概率是；若变量f为取出3个球中红球

的个数，贝心的方差。（9=.

15.（5分）在梯形4BCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AM=^AB,CM与BO相交于点

Q.若加号嬴，则而.笳=;若在•祐裳，N为线段4C延长线上的动点，则而.

蕊的最小值为.

三、解答题（共5题，12小题；共75分）

16.在中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosc（acosB+bcos4）=c.

（1）（9分）若cos/=在，求cos（24+C）的值.

4

（2）（6分）若c=V7,△ABC的面积为这，求边a,b的值.

2

17.如图，在多面体力BCDEF中，四边形4BCD为正方形，DEL^^ABCD,DE//BF,AD=DE=2,

BF=2

E

（1）（5分）求证：AC1EF.

（2）（5分）求直线EC与平面力CF所成角的正弦值.

（3）（5分）在线段DE上是否存在点G,使得直线BG与4。所成角的余弦值为段若存在，求出点G

到平面ACF的距离；若不存在，请说明理由.

18.已知数列｛an｝满足册+2=〔册+之,对数，且几eN*,%=1,a2=2.

120n,71为偶数

（1）（5分）求｛册｝的通项公式.

（2）（5分）设g=anan+19nGN*,求数列｛bn｝的前2TI项和S2n.

（3）（5分）设“=。2九-遂271+（-1）九，证明：2+2+…

C1c2c3cn&

19.已知椭圆C：5+《=l(a>b>0)的离心率为q，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，

点F为椭圆的左焦点，且AFAB的面积是1+坦.

2

(1)(6分)求椭圆。的方程.

(2)(9分)设直线％=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于%轴的对称点为Pi(点B与点Q不

重合)，直线PiQ与%轴交于点”，求面积的取值范围.

20.已知函数/(%)=In%—aa>0.

(1)(5分)讨论/(%)极值点的个数.

(2)(10分)若fO)恰有三个零点G，%七3«1<[2<[3)和两个极值点%1，X2(%1<%2).

(i)证明：/(%1)+/(%2)=0.

(ii)若m<n,且znlnzn=zilnn,证明：°爪一>n(lnn+1).

参考答案

一、选择题(共9题，共45分)

1【答案】A

【解析】由题设可知：

集合4={%GN*|x<3]={1,2,3},

集合B=(x\x2-4x<0}={x|0<x<4},

则4nB={1,2,3}.

故选A.

2【答案】A

【解析】若x》2且y》2,则/》4,y2>4,所以/+y2》8,即/+y?》4;

^x2+y2>4,则(-2,-2)满足条件，但不满足X》2且y》2.

所以“x》2且y》2”是“/+丫2》4”的充分而不必要条件.

故选A.

3【答案】C

【解析】由频率分布直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二

组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人，第二组有8人，第三组的频率为0.36,所以第三组

的人数为18人，

第三组中没有疗效的有6人，

第三组中有疗效的有12人.

故选：C.

4【答案】A

【解析】因为y=/(X)=穹等注，

令1-％270,解得X丰±1,

故函数的定义域为团工丰±i},/(-%)=鸳5)=一ma=-设),

故函数=(M：二ysx为奇函数,

函数图象关于原点对称，故排除BD；

所以e5-e~2>0,

即呜>0,

故排除C.

故选：A.

5【答案】A

【解析】A选项：函数/(X)的最小正周期为万，可得3=2,

/(X)向右平移泞单位长度后得到的函数为y=2sin［2(x-/)+0］=2sin(2x-g+0)，

此函数为奇函数，又取<5，

所以0=p

故函数f(%)=2sin(2x+1),/(§=2sin得+g)=0,

；.A正确；B选项：f(%)的递增区间为［—工+时*+时，fceZ,

故B错；C选项：2x+—=—+kn,fc6Z,x=^+/c6Z,

所以直线尤不是对称轴，

故C错；D选项：［Q=2sinH非最大值,

故D错.故选A.

6【答案】D

【解析】依题意/(%)是定义域为R的偶函数，

所以a=f(log方表)"(log?要一目=〃-1唯3)=/0og23),

b=f(logVJ专)=f(1%歹5)=/(-log32)=/(log32),

C=/(-34)=/(34),

3

log23>log22=1,2=8,(3,=3,23>(3,>2>

11

1=logs3>log32>log333=

0<33<3-】书,

由于/(%)在［。,+8)上单调递增，所以a>b>c.

故选：D.

7【答案】A

【解析】如图正方体4BCD-①当心必中,四棱锥劣-ABC。即为阳马,

4B

设正方体棱长为a,体积为匕,

显然％1-4BCD=g^ABCD'=”1，

所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大，在球的内部，任意构造一个正方体,

显然球的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线BD］等于球的直径，

即叫=2.

又BD［=V3a,

所以75a=2,即。=学，则匕=03=(竽)3=卓，

所以%l-ABCD=［匕=

又球的体积为U=>R3=刎

所以应削去的胶泥的体积为u-vD1_ABCD=(兀-甯.

故选A.

8【答案】A

【解析】方法一：B,C的坐标分别为(c,±J),由图像的对称性知，。点在x轴上，则根据几何关系

有

匕4

DF=^=^=^y=^^<a+^T^=a+c,故^£1^2<1,c2<2a2,即a2+

AFc-aa2(c-a)a2u

b2<2a2,£<1,故渐近线斜率k=±£e(—1,O)U(O,1).

故选A.方法二：如图所示，

由题意知BC为双曲线的通径，所以|BC|=龙，则|3?|=史.

aa

X|XF|=c-a,因为BD1AC,DCLAB,所以点。在x轴上.

22

由RtABF4〜RtADFB,^\BF\2=\AF\■\FD\,即㈠=(c—a).|FD|，

所以|FD|=wJ,则由题意知/J<a+Va2+62,即<。+以

az(c-a)az(c-a)az(c-a)

所以力4<Mg—a).(a+C),即力4vq2(c2—层),即^4<Q2b2,

所以0<与<1,解得0<2<1,而双曲线的渐近线斜率为±2,

a2aa

所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(-1,0)u(0,1),

故选A.

9【答案】D

【解析】当x》0时，/(%)=£，-(%)=宗，

当xe付,1)时，尸(无)>0,函数单调递增；

当％e[i,+8),尸(久)4o，函数单调递减，/(1)=i；

当x<0时，/(%)=—|e%+1-||,

其图像可以由y=/的图像向左平移一个单位，再向下平移3个单位,

再把x轴上方的图像翻折到x下方得到.画出函数图像，如下图所示:

-m/(x)-1,当m=0时，g(x)=-1,无零点;

当m丰0时，g(x)=mf(x)—1=0,即/'(x)=，

函数有两个零点，即函数图像有两个交点，

根据图像知：0<\<:或

解得m>e或m<-2.

故选D.

二、填空题(共6题，共30分)

10【答案】2

【解析】解―等=霁翳=+2i，

，复数z的虚部为2.

11【答案】-220

【解析】二项式1-京广的展开式的通项为

r12

图+1=%-X"•(W)=C[2.(-iy-X-T,

令12=0,求得r=9,

3

即Tio=Cf2x(-金)，

.,.常数项为(一1)9/2=-220,

故答案为：-220.

12【答案】-4

【解析】圆/+y2+2%—2y+a=0即(％+1)2+(y-1)2=2-a,圆心坐标为(—1,1)，

故弦心距为4=中=四・

再由弦长公式可得2-a=2+4,；.a=—4.

故答案为：-4.

13【答案】史言

【解析】由a+力=1可得(a+3b)+(4a4-2b)=5,

所以士112

a+3b+,=诉+;^

1/12\.

5+石7元)[(a+3切+由+2冽

272+3

1[4a+2b+2(a+3b)+3》

5La+3b4a+2b5

8-5V2

CL——

、匕日/-ry坐4a+2b_2(a+3b)

1H«

1即・时等号成立,

三乂三a+3b-4a+2b15V2—6

0=---------

2

所以磊+就的最小值为噌

故答案为：答.

14【答案】

【解析】由题意知，任取一球为红球的概率为'任取一球为黑球的概率为卷，任取一球为白球的

概率为土

则依次取的3个小球颜色不相同的可能取法以及概率:

红黑白：亮?红白黑：言，黑红白：磊，黑白红：亮，白红黑：言，白黑红：磊

所以有放回地依次取3个小球颜色互不相同的概率为磊x6=总.

由题意知，？的取值为0,1,2,3.

则

7

八则TPV延?=07)=「1：吁plp+l=—-inr,P(vS?=1)x=3xpl啊pl”pl=1—OU

C10^10C10,乙5JoJoJo

优_)_储oGoGo_125,«_)一储0储0G0_125,

所以f的分布列为

0123

6448121

p

125125125125

0X64+1X48+2X12+3X1753

所以E（f）=

1251255

26424821221

则D（f）=（0-§XX々+(2-三Xx—

A125+fi-!5.1255.1255.125

12

=京，

所以。⑷=||.

故答案为:亲H-

15【答案WU

【解析】因为4B〃C。，AD=1,48=3,CD=1,AM=\AB,

所以4M=CD.

所以四边形4MCD为平行四边形.

所以且4D=MC,则可设而=4标=4丽.

故怒=AM+MQ=|AB+MC-QC

=|AB+（1+A）MC

=|AB+（I+A）AD.

因为8,D,Q共线，

所以打（1+4）=1,解得"-右

所以而=iAB+|AD.

因为而=|MC,

所以方=DA+AM+MP

——>1——>1——>

=-AD+-AD

33

=^AB-^AD.

33

所以而•苏=QXB+-QAB-河）

，屈2,拔2..

999

因为族=AD+AM=AD+^AB,

所以技•版=（AD+^AB）-AB=AD-AB+^AB2

=3cosABAD+3=-.

2

所以cosZBAD=—

又/BADe（0,兀），

所以拳

因为质=-|MC,

所以|珂=?沆卜

如图以点4为原点建立平面直角坐标系，

则C&3Q(lD3(3,0),

设N(x,6%),x>|,

故NQ=Q—x,y-V3xj,'NB=(3-x,—\/3x)>

则而,港=(|--V3x)-(3-x,-V3x)=4x2-yx+2,

当时，此时取得最小值，而.温取得最小值学

故答案为：|;||.

三、解答题(共5题，12小题；共75分)

16(1)【答案】—上逋.

8

【解析】因为2cosc(acosB+bcosA)=c,

由正弦定理得2cosC(sin4cosB+sinBcosA)=sinC,

艮132cosCsin(i4+B)=2cosCsinC=sinC,

因为CG(0,7i),sinC>0,

所以cosC=|.

由C为三角形内角得C=g；

由cosZ=底，贝卜山4=回，

44

所以sin2/=2sinAcosA=2x—x—=—,

444

r61

cos24=2cos24—1=2x-----1=——,

164

cos(2i4+C)=cos24cosC—sin24sinC

11V15V3

=------X-----------------X——

4242

_1+3V5

—8,

16(2)【答案】a=2,b=3或a=3,b=2.

【解析】因为△4BC的面积S=2absinC=迪，

22

所以ab=6①.

由余弦定理=a2+b2-2abcosC得7=a2+b2—ab,

则+按=13(2),

由①②解得a=2,8=3或。=3,b=2.

17(1)【答案】证明见解析.

【解析】由题意，以。为原点，分别以51DC，加的方向为X轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直

角坐标系，

可得。(0,0,0),71(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2),F(2,2,0.

AC=(-2,2,0)，EF=(2,2,

从而技-£T=-2x2+2x2+0=0>

所以就1品，即力C1EF.

17(2)【答案】f.

6

【解析】就=(一2,2,0)，AF=

设£=(%,y,z)为平面4CF的法向量，则(2y+Lz=0，

不妨设工—1>可得n=(1,1,—4)>

因为就=(0,2,-2)>

设直线EC与平面4CF所成角为。，则

sE”卜。s%矶=|易襄|=|，

所以直线EC与平面4CF所成角的正弦值为I

O

17(3)【答案】V2.

【解析】假设在线段DE上存在一点G(0,0,h),

使得直线BG与4。所成角的余弦值为|,则/=(-2,-2㈤,

由题意方=(-2,0,0)­

则H庶砚=|曰卜解得h=1,

所以存在点G(0,0,1)满足条件,

可得4G=(-2,0,1)，

由(2)可知平面4CF的一个法向量为蔡=

所以点G到平面ACF的距离为第]==伉

|n||3V2]

n,ri为奇数

18(1)【答案】

啰，九为偶数

【解析】•啜列“满足”图嬲鬻数且…"……

.•.当n为奇数时，an+2-an=2,此时数列{。231}(卜eN*)是以1为首项，2为公差的等差数列，an

a2/c-i=1+2(/c—1)=2/c-1=n；

当九为偶数时，an+2=2an,此时数列｛ci2k｝(keN*)是首项为2,公比为2的等比数列，an=a2k=

n

2k=25，

.(n,n为奇数

(25,n为偶数

18(2)【答案】S2n=(n-1)-2n+3+8(neN*).

【解析】t.'bn=anan+1,n£N*,

•,^2n-l+62n=a2n-la2n+a2na2n+l=(2n+1+271—l)2n=471,2”,

23

•••数列｛d｝的前2n项和S2n=(瓦+b2)+(历+b4)+—I-(b2n-i+^2n)=4(2+2x2+3x2+—F

n-2n),

23n

令4n=2+2x2+3x2+•••+n•2,

23nn+1

则24t=2+2x2+•••+(n-1)-2+n-2,

2nn+1

：.-An=2+2+•••+2-n-2

2(2"-1)nn+1

2-1

=(1-n)•2n+1-2,

n+1

：.An=(n-l)-2+2,

：.S2n=(n-1)-2n+3+8(n£N*).

18（3）【答案】证明见解析.

nnn

【解析】Vcn=a2n_ia2n+(-l)=(2n-1)-2+(-l),

111＜圭一七Q》5）,

**cnC2k-1(2n-l)-2n-l

11111

n<=——("4),

Cnc2k(2n-l)-2+l

+—+-

c3cn

1111

<1++++（n）+…

1339.7-9.

<1+2+—+^<-.

3974

2

19(1)【答案】^+y2=1.

_V3

【解析】由e=£=但得:c=—Cl，

a22

1i(1+y-)ab=l+/nab=2,

则SMAB=-(a+c)-b=-x

则。2=庐+,2=9+2

解得：a=2,则6=1,c=V3

2

椭圆c的标准方程为:v

19（2）【答案】S»QHe（0,学）.

【解析】由点A与点Q不重合可知：0,

x=my+1

联立-第2,整理可得：(zu?+4)y2+26丫-3=o,H0,

丁+y=1

设P（XL，%），Q（%2，y2），

则P1（X1，-％），

则%+y?=一意；,%丫2=一岛,

直线BQ的方程为：y+yi=7zr（x-%i）,

x2—X1

令y=o,

解得：x=

又％i=my1+1,x2=my2+1,

0ny2+i)yi+Qyi+i)y2

则%=

yi+y2

2犯心+(yi+72)

yi+y2

2myi72

%+、2

-6m

=+1=常+1=3+1=4,

?n2+4〜，

即直线PiQ与%轴交点为：”(4,0),

:・S"QH=jX(4-1)xly-L-y2|

3,------------------------

=2,V(7i+72)2-4yly2

=6四+3,6力(J,

m2+4

令t=Vm2+3>V3,

则苏=t2—3,

・,.“PQH=^=中，

当t>百时，t+5单调递增，贝k+三〉更，

tt3

6,6

•______—_3_A/_3

・・l4y3―2'

f+t~3~

又白>。,

，S&PQH6(°，言)

20(1)【答案】当a》泄，f(x)无极值点;

当0<a<|时,f(x)有两个极值点.

【解析】通过题意分析可以得：-(%)=工-a-彳=-竺乎(x>0),