2023-2024学年江苏省南通市高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.sin64cos40-cos64°sin4=()

A.—B.yC.--D.--

2222

【正确答案】A

【分析】直接运用两角差的正弦公式即可.

【详解】sin64cos4-cos64sin4=sin(64-4)=sin60=

故选：A.

2.已知£,B为不共线的向量，且NX+55，BC=-2a+Sh＜西=4,+2否则()

A.共线B.45,。共线C.共线D.B,C,。共线

【正确答案】B

【分析】根据而，BC，丽求出刀和丽，再根据而与胫不共线，可得4民。不共线,

根据方与而共线，且有公共点B，可得4尻。共线，根据配与而不共线，可得4C,。

不共线，根据前与而不共线，可得凤C,。不共线.

【详解】因为万=3+53，BC=-2a+8b^CD^4a+2b-

所以丽=蔗+函=切+1访，AC=AB+BC=-a+]3b)

因为Z，5为不共线，所以a出为非零向量,

若存在/iwR,使得赤=4团,

则a+5h=>1(—26!+8b)=-2A3+826，即(1+22)5=(82-5)*，

_11+22=0

因为“，5不共线，所以8力_5=0'即，此方程组无解,

故方与前不共线，所以48,C不共线，故A不正确；

因为”二^如，即方与丽共线，又万与丽有公共点B,所以共线，故B正确;

若存在；leR,使得就=4画，则-3+136=4初+24，即(1+42)2=(13-22历,

义=」

1+42=0:,此方程组无解,

因为z,B不共线，所以，即《

13-22=0Z=—

2

故祝与而不共线，所以4C,。不共线，故C不正确;

若存在/leR,使得前=4而，贝1」-24+跖=4耘+2防，即（42+2）2=（8-2/1历，

_pU+2=0[2=--

因为a,在不共线，所以。即2,此方程组无解，

18-22=0卜=4

故就与而不共线，所以8,C,。不共线，故D不正确.

故选：B

3.设2（z-E）+12=3（z+£）+8i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A.2iB.2C.-2iD.-2

【正确答案】B

【分析】设z=a+矶a,beR）,则\”加，利用复数运算以及复数相等可求得。、b的值,

即可得解.

【详解】设2=〃+阳a,beR）,则三°_加，

由2（z—z）+12=3（z+z）+8i可得12+4bi=6a+8i,所以，_g，解得a=6=2,

因此，复数z的虚部为2.

故选：B.

4.在“8C中，角48,C的对边分别为a,“c,且5=9,b=3,a=W），则。=（）.

A.73B.2>/3C.3->/3D.3

【正确答案】B

【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.

【详解】在中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3+c2-43c-9>

BPc2-y/ic-6-0>解得：c=26或c=-Q（舍），：.c=2+.

故选：B.

5.已知在中，AB=2,AC=3,N历（C=。，点。为边8c上靠近8的三等分点，则

75.前的值为（）

111_24

A.-----B.—C.~D.一

3333

【正确答案】D

【分析】利用益、衣表示向量而、BC，利用平面向量数量积的运算性质可求得质

的值.

【详解】如下图所示:

2—■1―.

-AB+-AC

33

由平面向量数量积的定义可得在•%=〔布MKkosl-ZxBxgMB,

因此，而屈=；（2方+码｛万一画寸就+福衣—2万）

=1X（32+3-2X22）^^.

故选：D.

6.已知中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，且满足6cosC=a+ccos8,则该

三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【正确答案】C

【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.

【详解】因为bcosC=a+ccos8,

由正弦定理可得：sin8cosc=sin/+sinCeos8,

所以sin8cosc-sinCeos8=sin[万一(8+C)],

所以sin(5-C)=sin(5+C),

所以B-C=5+C或8-C="-8-C,

TT

即C=0(舍去)或8=5，

故为直角三角形,

故选：c

7.已知=则sin(2a+1的值为()

77八22

A.-B.—C.-D.

9999

【正确答案】A

【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】由2a+1-2a+[=g,得2a+U+2a-1,

632623

所以sin12a+1卜sin

1i1sin(2a+=cos^2ayj=_2sin21a-1=1-2x1.

故选：A.

8.某观测站C在目标A的南偏西25,方向，从A出发有一条南偏东35。走向的公路，在。处

测得与。相距3Lt〃?的公路8处有一个人正沿着此公路向A走去，走20碗到达。，此时测得

CD距离为2\km，若此人必须在20分钟内从。处到达A处，则此人的最小速度为()

A.30km/hB.45km/hC.X4km/hD.15km/h

【正确答案】B

【详解】由已知得/。力3=25。+35。=60。，BC=31,CD=21,80=20,可得

_BC2-VBD2-CD2312+202—21223那么s加竽，

CnOSD=---------------=-------------=---

2BCxBD2x31x2031

BCxsinB

于是在△/IB。中,AC==24,

sinZ.CAB

在△45。中，BC2=AC2+AB2~2ACABCQ^Q,即312=242+/"—24/8,解得48=35或

力8=—11(舍去)，因此40=48—8。=35—20=15.

故此人在。处距Z处还有15km,若此人必须在20分钟，即;小时内从。处到达Z处，则

其最小速度为15+；=45(km/h).

故选B.

二、多选题

9.欧拉公式/=cose+isin。(其中i为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，

该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论

里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.—+—iB.百为纯虚数

22e

C.复数/的模长等于1D.的共朝复数为

e22

【正确答案】ABC

【分析】利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误.

【详解】A：由题意，e"'=cos%+isin&=，2+1,正确；

4422

B：由题意，「'=cosC+isin^=i为纯虚数，正确；

22

C：由题意，/=cos)+isin%=-1,其模长为1,正确；

D：由题意，/=cosC+isin^=«LL则其共轨复数为3-L错误.

662222

故选：ABC

10.设向量£=(4,2),6=(1,-1),则下列叙述错误的是()

A.若£与坂的夹角为钝角，贝蛛<2且4w-2

B.自的最小值为2

c.与B共线的单位向量只有一个为

\7

D.若同=2同,则左=2夜或-2a

【正确答案】CD

【分析】利用向量的夹角公式可判断A的正误；利用向量的模长公式及二次函数的性质可

判断B的正误：利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出％的值，

进而判断D的正误.

【详解】A：若£与B的夹角为钝角，则有£石=左-2<0,且£与否不共线，

即左<2且女工一2,故人正确;

B：W=J%?+4,当且仅当左=0时，”有最小值为2,故B正确；

c：与B共线的单位向量有-和-两个，故c错误；

\/\7

D：若问=2即则属工=2近，解得左=±2,故D错误；

故选：CD.

11.在—8。中，角4B,C所对的边分别为“，b,c,以下说法中正确的是（）

A.若力>8,则sin4>sin8

B.若。=4,b=5,c=6,则zUBC为钝角三角形

TT

C.若a=5,b=10,N=f,则符合条件的三角形不存在

D.若acos/=bcos8,则〃8。一定是等腰三角形

【正确答案】AC

【分析】利用正余弦定理，三角函数的性质逐一判断即可.

【详解】若4>6,贝!1。>人所以由正弦定理可得sin/>sin8,故A正确；

若“=4,b=5,c=6,则即cosC>o,所以角c为锐角，即

2ab

为锐角三角形，故B错误；

若4=5,h=l0,A=^,根据正弦定理可得Sin8=触见4=处乂也=收>1

4a52

所以符合条件的三角形不存在，即C正确；

若acosN=bcosB,则sin4cos4=sin5cos5,即sin2J=sin25，因为24G（0,^）,25G（0,力,

jr

所以24=28或24+28=万，即Z=8或Z+8=-,

2

所以A/8C为等腰或直角三角形，故D错误.

故选：AC

12.已知』8c中，AB=1,AC=4,5C=713，D在BC上,40为N2/C的角平分线，

E为ZC中点下列结论正确的是（）

A.8£=6B.”8c的面积为加

C.延D.P在的外接圆上，贝IJ尸B+2PE的最

5

大值为24

【正确答案】ACD

【分析】先由余弦定理算出N8/C=?,再计算18c面积，验证B选项，在中，利

用余弦定理求8E验证A选项，用等面积法S“Bc=S”g+S“c。，求”。验证C选项，用正

弦定理表示P8,PE,结合三角函数性质验证D选项.

【详解】解：在“5C中，由余弦定理得cosNA4C=0c士,二8U

2ACAB2

因为Z8/Ce（（U）,所以ZB/C=?.

所以S“Bc=；/8/CsinN8/C=Ji,故B错误；

在A/8E中，BE2=AE2+AB2-2AE-ABcosABAE=3,所以5E=百，故A正确;

因为力D为/8/C的角平分线，

由等面积法得又诙=邑的+%8=；/氏4）如必；+；404^11名工，

整理得6=?/。，解得生亘，故C正确；

45

P在ANBE的外接圆上，如图

所以在ABPE中，记NPBE=a,ZBEP=0,由正弦定理得尸8=2sin〃，PE=2sina,又

a+〃=等,

2»

所以。8+2尸E=2sin〃+4sina=2sin---a4sina=&osa+5sina

3

=2"sin（a+*）,其中tang=乎,

又因为ae（0,充

，所以尸B+2PE的最大值为2不，故D正确.

故选：ACD

本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题.

三、填空题

13.在复平面内，刀对应的复数是1-i,而对应的复数是2i-3,则而对应的复数是

【正确答案】4-3i

【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算可求得答案.

【详解】解：由题意可知，DB=AB-AD，则而对应的复数是（＞i）-（2i-3）=4-3i.

故答案为.4-3i

一2cosl00-sin20°

14.=

cos20°

【正确答案】百

【分析】利用cosl（r=cos（30。-20。）展开计算即可

［详解］2cosl0°-sin2002cos（30°-20°）-sin20°_&os20°+sin20°-sin2006

cos20°cos20°cos20°

故答案为.百

15.已知向量痴的夹角为与，若同=1,|4+,="，则问.

【正确答案】3

【详解】由题意可得：伍+肛=^+斤+2小5=1+时+2xlx问xcos|乃=7,

整理可得：_2x1xM_6=0,（忖-3）（问+2）=0,

据此可得.川=3

四、双空题

16.已知由$诂2》=2$m》《«z，COS2X=2COS2X-1，cos3x=cos（2x+x）可推得三倍角余弦

公式cos3x=dcos'x-3cosx，已知cos540=sin36°,结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式

可得sinl8°=；如图，已知五角星力8COE是由边长为2的正五边形GHLK和

五个全等的等腰三角形组成的，则施.丽=

【正确答案】业15+V5

4

【分析】由cos54°=sin36°结合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出关于sinl8。的

二次方程，结合0<sinl8°<l可求得sinl80的直求得NHEG=18。,NEHG=54°,过点“作

2cosl8

HMVBE,垂足为点求得"”=2cosl80,£//=„,然后利用平面向量数量积

sin18°

的定义可求得结果.

【详解】因为cos54"=cos（90,-360）=sin36",所以，4cos3180-3cos18s=2sinI8'cosl8a,

即4cos218°-3=2sinl8"，即40-sit?18>3=2sinI8°,即4sin?180+2sinl80-1=0，

因为0<sinl8"<l>解得sin]&*=-+6L.

84

在五角星4BCDE中，EG=EI,HG=HI,HE=HE,故△EHG三/\EH1,

从而可得NHEG=-ZCEB=18°,AEHG=-ZIHG=54',

22

过点H作HMLBE,垂足为点M，则NGHM=18'，于是cos/GHM==,

从而有HM=GHcosZGHM=2cos180,于是EH=——=2cos,

sin/.HEGsin18°

所以，麻•万3=阿卜瓯卜os54'=2x2c°^8xsin360=8cos2180=8-8sin218°

=8-8x

故与

五、解答题

17.已知复Z[=l-2i,z?=3+4i,i为虚数单位.

(1)若复数4+砂2对应的点在第四象限，求实数。的取值范围;

⑵若z=M,求z的模•

【正确答案】(1)ri

⑵后

【分析】(1)利用复数代数形式的运算法则化简复数4+*2,求出对应点利用点在第四象

限，得到不等式组，即可求实数a的取值范围；

(2)利用复数代数形式的除法运算化简复数z=兔三，从而求出其模.

4+Z2

【详解】(1)解：:句=l-2i,z2=3+4i,

复数4+"2=(l-2i)+a(3+4i)=(l+3a)+(4a-2)i,

则复数z,+az2在复平面内所对应的点为(1+3a,4a-2),

11+3a>0ii

由题意可得力、八，解得即"

4。-2<032

(2)解.上L一百

乙好.z,+z2(l-2i)+(3+4i)4+2i2+i

(l+3i)(2-i)2-i+6i-3i25+5i1.

(2+i)(2-i)55

所以卜|=J(_iy+(_i)2=JL

18.己知平面向量)=(1,2),A=(-3,-2).

(1方在£方向上的投影向量；

(2)当％为何值时，应+石与13石垂直.

【正确答案】

⑵T

【分析】(1)直接利用投影向量的定义计算即可；

(2)由数量积的坐标表示计算即可.

【详解】⑴B在Z方向上的投影向量=M|8S＜。力＞口=耳耳］不，司.

(2)D+J与£-3号垂直,ka+b=(k-3,2k-2),a-3ft=(10,8),

.•.(Aa+h)-(a-3i)=0,即10("3)+8(2"2)=0,解得"=『■.

19.己知向量a=(cosa,正sin£+2sina),6=(sina,V5cosJ3-2cosa),旦aHb.

(1)求cos(a+£)的值；

(2)若a,匹(0,且tana=g,求2a+4的值.

【正确答案】(1)巫;(2)二.

54

【分析】(1)由共线向量的坐标表示列出等式，利用两角和的余弦公式化简等式即可得解;

(2)由cos(a+0的值求出tan(a+/)，再利用两角和的正切公式求出tan(2a+0,根据

2。+〃的范围即可求得2。+〃.

【详解】(1)因为〃〃6，所以cosa(6cos6一2cosa)-sina(J^sin/?+2sina)=0,

V5(cosacos4一sinasin夕)=2(cos2a+sin2a)=2,

亚cos(a+〃)=2,即cos(a+/?)=—.

(2)由。，尸后(。,2!卜导0＜a+〃＜兀，

)/z

又因为cos(a+夕)=—《一＞0,

所以0＜a+夕＜不，则sin(a+P)=——，tan(a+P)=—,

25，

-1T__1

e、,1ll……八、tana4-tan(a+B)a7.

因为tana=；,所以tan(2a+〃)=---------------------—=1,

3l-tanatan(a+p)।_

~32

7TTT

因为0<a<5,所以0<2a+夕<乃，所以2。+/?=彳.

本题考查两角和与差的余弦、正切公式，已知三角函数值求角，涉及向量共线的坐标表示,

属于中档题.

20.在-5C中,内角43,。所对的边分别为。，瓦c.已知asinZ=4bsin3,

ac=y[5(a1-h2-c2).

(I)求cos/的值；

(II)求sin(28-4)的值.

【正确答案】(D-叵(II)-域

55

【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系。=%，再根据余弦定理

求出COS力，

进而得到sin/,由转化为sin4=2sin8,求出sinB,进而求出cosB,从而求

出28的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

试题解析：(I)解：ISasinA=4/?sin5,及二~；=上』得a=2b.

sirt4sinB

由QC=指位一〃―/)，及余弦定理，得，b2+c2-a2一丁"V5.

cosZ=--------------=----------=-------

2hcac5

（II）解：由（I）,可得siM=2亚，代入asinJ=4bsin8,得sinB="‘in'=

54b5

由（I）知，Z为钝角，所以cosB=J1一sin3=冬后.于是sin28=2sin8cos8=3,

55

3

cos2^=l-2sin25=-,故

4

sin（28-4）=sin28cos4-cos28sirL4=不

555

正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角''寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的

关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角

函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角

和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

21.某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路Z8的一侧进行

绿化，线段N8长为4百米，C,。都设计在以N8为直径的半圆上.设=

jr

（1）现要在四边形NBC。内种满郁金香，若zcor>=§,则当。为何值时，郁金香种植面

积最大；

（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段8C,CD和。/组成，若BC=

CD,则当。为何值时，栈道的总长/最长，并求/的最大值（单位：百米）.

【正确答案】（1）当0时，郁金香种植面积最大；（1）当0为时，栈道的总长/最

长，/的最大值为6百米.

【分析】（1）求出利用三角形的面积公式可得四边形Z8C。关于。的函数，利用三角函数的

恒等变换可以得到“一角一函”的形式，然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最

大值；

（2）利用余弦定理求得关于，的三角函数，相加可求出/关于e的三角函数表达式，利

用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.

【详解】解：（1）

:线段长为4百米，所以圆的半径为2百米，即。1=08=00=8=2,

当NCOO=q时，由三角形的面积公式得：

=

S/BCOS^BOC+S&C0D+SgOA

=—x22sin0+—x22sin—+—x22sin|