2023-2024学年吉林省辽源市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年吉林省辽源市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知向量£=(3,2,1),6=(2,4,0),则4^-25=()

A.(16,0,4)B.(8,16,4)C.(8-16,4)D.(8,0,4)

【正确答案】D

【分析】根据向量的数乘以及减法运算，即可求得答案.

【详解】4a-26=4(3,2,l)-2(2,4,0)=(12,8,4)-(4,8,0)=(8,0,4),

故选:D.

2.已知两条直线/j(a-l)x+2y+l=0,(：x+@+3=0垂直，贝Ia等于()

A.1B.-C.0D.0或5

33

【正确答案】B

【分析】由两直线垂直的判断条件求解即可

【详解】因为直线4：(a-l)x+2y+l=0与4：x+ay+3=0垂直，

所以(a-l)xl+2xa=0,解得a=:，

故选：B.

3.抛物线好=4x的焦点到准线的距离为()

A.4B.2C.1D.y

【正确答案】B

【分析】利用焦点到准线的距离为。，即可求解

【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为。，

所以由抛物线V=4x可得。=2,

故选：B

4.已知圆的方程为X2+/-4X=0,过点(2,1)的该圆的所有弦中，最短弦的长为()

A.1B.2C.273D.4

【正确答案】C

【分析】根据圆的几何特征，过圆内一点最短的弦是过此点且与该直径垂直的弦，然后用垂

径定理即可求解

【详解】设圆的圆心为C,（2,1）为点人，

由圆的方程为/+产-以=0可得（X-2）2+/=4,故圆心C（2,0）,半径为2,

所以|/C|=1,

根据圆的几何特征，最短弦所在直线与XC垂直，

所以最短的弦长为2"斤=2也,

故选：C

5.等差数列｛%｝中,+。6=90,求q+%=（）

A.45B.15C.18D.36

【正确答案】D

【分析】利用等差数列的性质求出为=18,再利用等差数列的性质可得结果

【详解】因为｛6｝是等差数列，所以。2+%+%+%+4=5%=9。，解得知=18,

所以《+%=〃4=36,

故选：D

6.如图，在正方体/BCD—44GA中，点E是上底面44GA的中心，则异面直线NE与

80所成角的余弦值为（）

C•乎"

【正确答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.

【详解】以。为原点，刀，比，函为x),z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正

方体棱长为2,4(2,0,0),£(1,1,2),。(0,0,2),8(220)

所以ZE=(-1,1,2),28=(2,2,-2),

uuruuur

AED.B-4V2

[1皿|11叼=—f=-----7==-----

网.p向V6xV123

所以异面直线/E与8。所成角的余弦值为它.

3

故选：B

7.已知数列｛%｝满足。向=2°“+1,其中%=1,则4=()

A.2B.4C.9D.15

【正确答案】D

【分析】利用构造法证明数列｛4+1｝为等比数列，即可求解.

【详解】因为。用=2。“+1,所以“用+1=2(%+1),即方吟=2,

所以数列｛%+1｝是公比为2的等比数列，

所以拧-Z',所以外+1=16,则外=15,

故选:D.

8.设B，尸2是双曲线1•-%■=1的两个焦点，尸是双曲线上的一点，且31ml=5|"|,则

A/与鸟的面积等于()

A.24B.1572C.12后D.30

【正确答案】A

【分析】利用双曲线定义求出△尸耳心的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后

通过三角形正弦定理面积公式求出面积.

【详解】3忸耳|=5忸用=忸6kmp闯,根据双曲线定义：|SH尸用=4,

京然|一归用=4n|P同=6,|尸耳|=10,|耳闻=8,

100+36-643

根据余弦定理:

1205

则sin/不尸乙=[,SPF[F2=1x|P^|x|P^|xsinZ^P^=24.

故选：A

二、多选题

9.已知等差数列｛4｝的前n项和为S,,,%=1，则（）

A.%+%=2B.a3a7=2C.5,,=11D.S9=9

【正确答案】AD

【分析】利用等差数列的性质和前〃项和公式即可求解.

【详解】因为｛6｝为等差数列，所以%+%=为5=2,故A正确，

若数列｛《,｝的公差为0,则%=%=%=1，则。3%=1，B错误；

因为用=114+55d=11（4+5"）=11%

若数列｛4,｝的公差为0,则Su=l"=ll，

但若数列｛对｝的公差不为0,则品=11%C错误；

因为$9=9%+3&/=9（q+4d）=9%=9,D正确，

故选:AD.

10.下列四个命题中真命题有（）

A.直线y=x+2在y轴上的截距为-2

B.经过定点40,2）的直线都可以用方程、=6+2表示

C.直线2x+my+6=0（/neR）必过定点（-3,0）

3

D.己知直线3x+4j，+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是

【正确答案】CD

【分析】利用截距的定义可判断A选项；取垂直于x轴的直线的方程可判断B选项；求出

直线所过定点的坐标可判断C选项；利用两直线平行求出山的值，再利用平行线间的距离

公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，直线N=x+2在夕轴上的截距为2,A错；

对于B选项，经过定点/（0,2）且垂直于x轴的直线的方程为x=0,B错；

对于C选项，对于直线方程2x+叼+6=0（zneR）,由＜可得＜,

b=o卜=0

所以，直线2x+叼+6=0G〃€R）必过定点（-3,0）,C对；

对于D选项，若直线3x+4y+9=0与直线6x+叫+24=0平行，

则?6=m24解得加=8，

349

故两直线方程分别为3x+4y+9=0、3x+4y+12=0,

112-913

这两平行直线间的距离为d=,!=±,D对.

V32+425

故选：CD.

三、单选题

11.在棱长为3的正方体/8CD-44GA中，点尸在棱。c上运动（不与顶点重合），则点

8到平面NRP的距离可以是（）

A.1B.>/6C.2D.3

【正确答案】BC

【分析】利用坐标法，设P(0",0)(0<f<3),可得平面/的法向量万=(f,3,。，进而即得.

【详解】以。为原点，。4。。,。4分别为达y,z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),4(3,0,0),8(3,3,0),0,(0,0,3),设尸(0,f,0)(0<f<3),

所以/尸=(―=(—3,0,3),AB=(0,3,0),

设〃=(x,y,z)为平面/RP的法向量,

n-AP=-3x+ty=0

则有:令N=3,可得万=亿3,。,

n~ADx=-3x+3z=0

瓯司9

则点B到平面AD.P的距离为d=

|«|一42-+9

因为0</<3,所以2/+9«9,27),所以。<(后3).

故选：BC

四、多选题

fv2

12.已知双曲线C:=-匕=l(a>0)的左、右焦点分别为人,吕，离心率为2,尸为C上一点,

a3

则()

A.双曲线C的实轴长为2B,双曲线C的一条渐近线方程为丁=-瓜

C.|「耳|一|产用=2D.双曲线C的焦距为4

【正确答案】ABD

【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质对每个选项进行判断即可

【详解】由双曲线方程知：b=6离心率为e=±=五三=2,解得〃=1，

aa

故双曲线。：/一己=1,

3

对于A,实半轴长为1,实轴长为2a=2,A正确：

对于B,由双曲线方程可得渐近线方程为y=±JL,故一条渐近线方程为y=-Gx,B正

确；

对于C,由于P可能在C的不同分支上，则根据定义有II尸片IT尸乙11=2,C错误；

对于D,焦距为2c=2勿+/=4,D正确.

故选：ABD.

五、填空题

13.设直线/的方向向量为而=(l,-2,z),平面夕的一个法向量为1=(2,若直线〃/

平面a,则实数z的值为.

【正确答案】-4

【分析】根据直线/〃平面a,则直线/的方向向量与平面a的一个法向量垂直，即两向量点

乘为0.

【详解】若直线〃/平面C，则直线/的方向向量与平面C的一个法向量垂直，

由此可得益i=2+2+z=0，解得z=-4.

故-4

14.设两圆G：/+/-1=0与圆。2：/+/-2》+4夕=0的公共弦所在的直线方程为

【正确答案】2x-4y-l=0

【分析】利用两圆的方程相减即可求解.

【详解】因为圆G：X2+/-1=O®,圆G：x2+y2-2x+4y=o®,

由①-②得，2x-4v-l=0,

所以两圆的公共弦所在的直线方程为2x-4y-l=0.

故答案为.2x-4y-l=0

2

15.经过椭圆?+丁=1的左焦点片，作不垂直于x轴的直线48,交椭圆于小B两点,F2

是椭圆的右焦点，则的周长为.

【正确答案】8

【分析】利用椭圆的定义，即可求解周长.

2

【详解】由椭圆工+必=1,可得4=2.

4

由椭圆的定义可得»用+|/闻=忸用+忸周=2a=4.

所以"的周长=|/用+|/£|+出闾耳月$8月=4a=8.

故8

16.已知函数/(》)=售，数列｛%｝满足条件。用=/(2),且％=1,则氏=.

【正确答案】y##0.5

【分析】根据递推公式一一计算可得.

【详解】解：依题意。,用=用彳，又4=1,

%+2

、2x-

~2422%_11,

所以的=消="%=

生+22+22'

3

故g

六、解答题

17.已知向量£=(2,-1,2),7=(1,4,1).

(1)求恢-耳的值;

(2)求向量£+2石与］一石夹角的余弦值.

【正确答案】(1)3卡;

(2)一半.

3

【分析】(1)根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解;

（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.

【详解】（1）Va=（2,-1,2）,1=（1,4,1）,

A2a=（4,-2,4）.2联」=（3,-6,3）,

忖-g=,2+（-6）2+32=376；

__向+2力（J」）

（2）设£+25与1的夹角为，，贝！|COS，=T^---r勺，

LZ+2/J-Lz-ft

（7+2/>=（4,7,4）,p/+2Z）|=9,“一6=（1，-5,1）,|^-/?|=3>/3,

.•.c°s*4xl+7x（N+4xl=W=〃,

9x3V327V33

二向量£+2]与1%夹角的余弦值为-冬

18.已知等差数列｛4｝中，％=2,%+%=8

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）求数列的｛%｝前n项和S,,,并求S“的最小值

【正确答案】（1）。,=2〃-4

⑵S”=〃2-3〃，-2

【分析】（1）设等差数列｛对｝的公差为d,根据题意列出关于卬,"的等式，联立可得

a,=-2,d=2,即可求解；

（2）利用等差的求和公式得到S,,然后判断明的正负，即可求得S“的最小值

【详解】（1）设等差数列加“｝的公差为d,

fa.+2tZ=2,[a.=-2

因为%=2,&+。6=8,所以;0Q，解得；。，

\2a｛+6d=8[<7=2

所以a,,=q+（〃-l）d=2〃-4；

“、n（n-l]）

（2）Stt-na]+—--d=n3?,

数列｛4｝首项为负的，公差大于零，是递增数列，

令<0即2〃-4<0,解得"<2,因为“eN",所以"=1,

令=0即2〃-4=0,解得»=2,

令%>0即2〃一4>0,解得〃>2,

所以第1项是负数，第2项是0,从第3项起变成正数，

所以当〃=1或2时，S,取得最小值，St=S2=-2

19.圆C的圆心为(2,0),且过点力(1,石).

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线/：h-y+4=0与圆C交M,N两点，且|〃M=2五，求k.

【正确答案】(l)(x-2y+y2=4

(2)%=-1或k=-7

【分析】(1)利用题意可得到圆的半径为/'=2,即可求解；

(2)利用几何法先求出圆心C到直线/的距离为]=近，然后利用点到直线的距离即可求

解

【详解】⑴因为圆C的圆心为(2,0),且过点4,6),

所以半径r=-7(2-l)2+(0-^)2=2，

所以圆C的标准方程为(x-2)2+丁=4

(2)设圆心C到直线/的距离为d,因为|〃N|=2五，

所以|网|=2"2_[2=2"-"2=2至,解得

所以，由圆心到直线距离公式可得"=号号=&,

解得％=-1或后=-7.

20.如图，在三棱柱N8C-44G中，/^_L平面/8C,Z8，/C,Z8=4C=^<=l,A/为线

段4G上的一点.

小MG

(1)求证：BM±AB..

(2)若M为线段4G上的中点，求直线4B、与平面BCM所成角大小.

【正确答案】(1)证明见解析，

喏

【分析】(1)由题意可得两两垂直，所以以A为原点，分别以所在

的直线为x，y，z建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，

(2)先求出平面8CA/的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.

【详解】(1)证明：因为平面/8C,/8,4Cu平面/8C,

所以

因为Z81NC,所以两两垂直，

所以以A为原点，分别以所在的直线为xj，z建立空间直角坐标系，如图所示，

则4(0,0,0),5(1,0,0),C(0,1,0),4(0,0,1),(1,0,1),Q0,1,1),

设

所以丽=福=(1,0,1),

所以丽•丽=-1+0+1=0,

所以丽1彳瓦，

所以

(2)因为“为线段4c上的中点，所以

设平面3cAi的法向量为加=(x,y,z),则

m-BM=—x+—y+z=O,.一

2，令X=1,则〃?=1,,

m•BC=-x+y=041

设直线/用与平面8cM所成角为。，则

所以直线期与平面8cM所成角的大小为%

21.己知数列｛4｝的前〃项和为S,,,且电=6,。用=2(S“+1).

(1)证明：｛%｝为等比数列，并求｛《,｝的通项公式;

(2)求数列卜q｝的前n项和。.

【正确答案】⑴证明见解析，%=2X3"T(„EN-)

ms(2//-l)x3w+l

(2)S〃=-----------

M----1(]

【分析】(1)由题意，根据公式为=一，可得数列递推公式3=3(〃理),

S"n>2an

结合等比数列的通项公式，可得答案；

（2）由题意，根据错位相减法，可得答案.

【详解】（1）因为*=2（S,+1）,所以%=2（S,T+1）（肝5）,

故a.+i-q=2（5,一S“_|）=2%,即乎=3（用2）

又a,=2（H+l）=2%+2,故q=2,即5=3,因此也=3（„eN-）

故｛4｝是以2为首项，3为公比的等比数列.因此%=2x3"—（〃eN）

（2）=2x1+2x2x3+2x3x32+---+2«x3n-'®

故37；=2x1x3+2x2x3?+...+2（"-1）x3'—+2”x3"②

①-②，得-27；=2+（2x3+2x3?+…+2X3"T）-2NX3"

2x3（3"i-l）

=2+——_