北师大版七年级数学下册同步精讲精练专题训练平行线的拐点问题(原卷版+解析)

专题训练平行线的拐点问题一、单拐点（2022秋•榆树市期末）如图，，则图中、、关系一定成立的是A． B． C． D．（2022秋•南关区校级期末）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为A． B． C． D．如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．55°将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（）A．127° B．133° C．137° D．143°（2022秋•龙岗区校级期末）如图，直线，点在上，交于点，若，，点在上，求的度数．（2022秋•峄城区校级期末）（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点在与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？（2022秋•伊川县期末）如图：（1）若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；（2）若，如图②，直接写出、与之间的数量关系：．（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则．（2022秋•临汾期末）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线，直线与，分别交于点，，点在直线上，且在点的左侧，点在直线上，且在点的左侧，点是直线上的一个动点（点不与点，重合）．当点在点，之间运动时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．独立思考：（1）请解答老师提出的问题．实践探究：勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点在，两点的外侧运动时，，，之间的数量关系又是如何？（2）如图2，当点运动到点上方时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点运动到点下方时，请直接写出，，之间的数量关系．（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若，，．则；（2）【问题归纳】如图1，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．（2022秋•南关区校级期末）已知，点在直线、之间，．（1）如图1，请直接写出和之间的数量关系：．（2）如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，平分，平分，与交于点，则的度数为．二、多拐点（2023•惠阳区校级开学）如图，，，平分，平分，则A． B． C． D．（2022秋•渠县校级期末）如图，直线，，，则A． B． C． D．（2022秋•大渡口区校级期末）如图，，，，则A． B． C． D．（2022秋•秦州区校级期末）如图，直线，，，则A． B． C． D．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知，，则、与的关系是．（1）如图（1），已知，探索、、、，、、、之间的关系；（2）如图（2），已知，探索、、、，、之间的关系；（3）如图（3），已知，探索、、、之间的关系．（2022秋•即墨区期末）如图，，平分，平分，，求．专题训练平行线的拐点问题一、单拐点（2022秋•榆树市期末）如图，，则图中、、关系一定成立的是A． B． C． D．【分析】首先过点作，由，可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得，，继而可得．【解答】解：过点作，，，，，．故选：．（2022秋•南关区校级期末）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】先利用平行线的性质得出，进而利用三角板的特征求出，最后利用平行线的性质即可．【解答】解：如图，过点作，，，，，，，，故选：．如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．55°【解题思路】过点C作CF∥AB，由题意可求得∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，由平行线的性质可得∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，从而可求∠DCF的度数，则可求∠D的度数．【解答过程】解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵∠1＝135°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，∵CF∥AB，AB∥DE，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，∴∠DCF＝∠D，∵∠ACD为直角，∴∠DCF＝90°﹣∠ACF＝45°，∴∠D＝45°．故选：C．将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（）A．127° B．133° C．137° D．143°【解题思路】过点E作EF∥AC，由平行线的性质可得∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，从而可得∠2+∠DEF＝180°，结合条件可求得∠DEF的度数，即可求解．【解答过程】解：过点E作EF∥AC，如图所示：∵AC∥EF，AC∥BD，∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，∴∠2+∠DEF＝180°，∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEF＝43°，∴∠2＝180°﹣∠DEF＝137°．故选：C．（2022秋•龙岗区校级期末）如图，直线，点在上，交于点，若，，点在上，求的度数．【分析】由平行线的性质求出，由三角形的外角性质得出，即可求出的度数．【解答】解：，，，，．（2022秋•峄城区校级期末）（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点在与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【分析】（1）首先过点作，由直线，可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得；（2）首先由两直线平行，内错角相等，可得，然后根据三角形外角的性质即可证得．【解答】（1）证明：过点作，，，，，；（2）结论：，证明：如图：，，在中，，，．（2022秋•伊川县期末）如图：（1）若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；（2）若，如图②，直接写出、与之间的数量关系：．（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则．【分析】（1）过点作；通过平行线的性质倒角即可；（2）过点作；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；（3）由（2）中的结论计算即可．【解答】解：（1）；理由如下：如图，过点作；，，，，，；（2）；理由如下：如图，过点作；，，，，，故答案为：；（3）解：由（2）可知：，，，，故答案为：120．（2022秋•临汾期末）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线，直线与，分别交于点，，点在直线上，且在点的左侧，点在直线上，且在点的左侧，点是直线上的一个动点（点不与点，重合）．当点在点，之间运动时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．独立思考：（1）请解答老师提出的问题．实践探究：勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点在，两点的外侧运动时，，，之间的数量关系又是如何？（2）如图2，当点运动到点上方时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点运动到点下方时，请直接写出，，之间的数量关系．【分析】（1）过点作，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由与平行线中的一条平行，与另一条也平行得到，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；（2），如图2所示，过点作，同理即可得证；（3），如图2所示，过点作，同理即可得证．【解答】解：（1）．理由如下：如图1，过点作，则．，，，；（2）．理由如下：如图2，过点作，则．，，，；（3）．理由如下：如图3，过点作，则．，，，．（2022秋•长春期末）（1）【问题】如图1，若，，．则；（2）【问题归纳】如图1，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求解即可；（2）根据平行线的性质求解即可；（3）过点作，根据平行线的性质求解即可．【解答】解：（1）如图1，过点作，，，，，．故答案为：；（2），理由如下：如图1，，，，，；（3），理由如下：如图2，过点作，，，，，．（2022秋•南关区校级期末）已知，点在直线、之间，．（1）如图1，请直接写出和之间的数量关系：．（2）如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，平分，平分，与交于点，则的度数为．【分析】（1）过点作，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点作，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【解答】解：（1）过点作，如图，，．，，．．．．故答案为：；（2）和满足：．理由：过点作，如图，，．，，．．．．．．．（3）设与交于点，如图，平分，．平分，．，．，．，．由（2）知：，．故答案为：．二、多拐点（2023•惠阳区校级开学）如图，，，平分，平分，则A． B． C． D．【分析】首先过点作，过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由，即可求得，又由平分，平分，根据角平分线的性质，即可求得的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得的度数．【解答】解：过点作，过点作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．故选：．（2022秋•渠县校级期末）如图，直线，，，则A． B． C． D．【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，，，，，，，．故选：．（2022秋•大渡口区校级期末）如图，，，，则A． B． C． D．【分析】如图，作．利用平行线的性质得，，即可解决问题．【解答】解：如图，作，，，，，，，，，，．故选：．（2022秋•秦州区校级期末）如图，直线，，，则A． B． C． D．【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，则，，，，，，．故选：．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知，，则、与的关系是．【分析】首先过点作，过点作，由，即可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【解答】解：过点作，过点作，，，，，，①，②，由①②得：．故答案为：．（1）如图（1），已知，探索、、、，、、、之间的关系；（2）如图（2），已知，探索、、、，、之间的关系；（3）如图（3），已知，探索、、、之间的关系．【分析】（1）过点作，由平行线的性质证得，，则，即．（2）如图2，证法同上；（3）过作，结合平行线的性质可得出结论，从而找到规律，利用规律解