材料力学-精-弯曲变形

第六章 弯曲变形1．明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立。2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。3．了解梁的刚度条件。基本要求4/11/20241.§6-1引言一．工程实际中的弯曲变形4/11/20242.

1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elasticcurve），或挠度曲线（deflectioncurve），简称弹性线或挠曲线。

二．基本概念FyxOyxO4/11/20243.

2．挠度与转角梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用w

表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope）

，用

表示；横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移。通常不予考虑。

w

yxO4/11/20244.挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：

y规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。逆时针转角为正，顺时针转角为负。挠曲线方程：w=w（x）转角方程：q=q（x）4/11/20245.在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：

在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即

很小，因而上式中tan

。于是有y4/11/20246.力学中的曲率公式数学中的曲率公式§6-2挠曲线的微分方程4/11/20247.小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w

坐标的取向有关。4/11/20248.由于规定挠度向上为正，有——挠曲线微分方程仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。xwOMM4/11/20249.§6-3用积分法求弯曲变形对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

——转角方程——挠度方程4/11/202410.－弹簧变形积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或中间绞链连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件4/11/202411.

确定约束力,判断是否需要分段以及分几段

分段建立挠度微分方程

微分方程的积分

利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数

确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角

分段写出弯矩方程分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同积分法求解步骤4/11/202412.

例6-1已知：悬臂梁受力如图示，F、l、EI均为已知。求：梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和转角xyxFlAB4/11/202413.解：由边界条件：得：xyxFlAB4/11/202414.梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：xyxFlAB4/11/202415.

例6-2已知：简支梁受力如图示。F、EI、l、a、b均为已知。试：讨论这一梁的弯曲变形。FabABlCxyx1x24/11/202416.解：FabABlCxyx1x24/11/202417.由连续和光滑条件：得：得：由边界条件：FabABlCxyx1x24/11/202418.梁的转角方程和挠曲线方程分别为：AC段CB段FabABlCxyx1x2最大转角：当a>b时，qB为最大转角。4/11/202419.FabABlCxyx1x2AC段CB段最大挠度：当q=0时，w为极值。当a>b时，q

=0的截面在AC段。4/11/202420.§6-4用叠加法求弯曲变形在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。叠加方法（superpositionmethod）叠加原理载荷叠加、变形叠加4/11/202421.

例6-3已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角

B4/11/202422.4/11/202423.

例6-4已知：外伸梁受力如图示，F、l、a、EI均为已知。求：C、D截面的挠度和转角。（D为AB中点）FlaABCD4/11/202424.FlaABCDFBCFFaABCFaABCwC1wC2DwDqC1qC2qD4/11/202425.FaABCDwDqC2qDAB段挠曲线和转角方程：得：4/11/202426.

例6-5已知：F、l、EI均为已知。求：B截面的挠度和转角。FllABC2EI

EI4/11/202427.FllABC2EI

EIFBCFABCFlFABCABCFl4/11/202428.FllABC2EI

EIFBCFABCABCFlwB1qB3wB2wB3qB2qB1wC1wC24/11/202429.

例6-6已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC和转角

C4/11/202430.方法一：4/11/202431.方法二：xxqdxACdxBdwCdqC4/11/202432.

例6-7已知：图示组合梁，F=qa，EI为已知。求：截面B的挠度和截面A的转角。FABCaa/2a/2qFBCqa/2BAqqA1wBFABCqqA4/11/202433.

例6-8已知：悬臂梁受力如图，Me=Fa/2。试画出挠曲线的大致形状。设抗弯刚度EI为常数。MeaFaaM－+Fa/2Fa/24/11/202434.

例6-9图示刚架结构。试求C点的水平和垂直位移。ACBFa2aFBCACBFFadCV1dCV1dCV2dCH4/11/202435.

例6-10图示等截面刚架，自由端承受集中载荷F的作用，试求自由端的铅垂位移。设弯曲刚度EI与扭转刚度GIt均为已知常数。FABClaFBCAFBFadC1dC2dC3dC14/11/202436.§6-5简单超静定梁F4/11/202437.3．相当系统在静定基上加上外载荷以及多余约束力，得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。2．静定基将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。1．静不定梁约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁。AFB一．静不定梁的概念4/11/202438.3．在静定基上计算多余约束处的变形后，代入变形协调条件，建立补充方程，解出多余约束反力。2．建立变形协调条件；将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件。1．判断梁的静不定次数，解除多余约束，建立静定基；二．静不定梁的解法4/11/202439.

例6-11一悬臂梁AB，承受集中载荷F作用，因其刚度不够，用一短梁加固，如图所示。试计算梁AB的最大挠度的减少量。设二梁各截面的弯曲刚度均为EI。Fl/2ABCl/24/11/202440.Fl/2ABCl/2解：加固前，AB梁的最大挠度加固后FABCFCACFCwC1wC2由wC1=wC2，得此时AB梁的最大挠度：仅为前者的60.9%。4/11/202441.[w]——许用挠度[q]——许用转角梁的刚度条件4/11/202442.

例6-12已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP=20kN，a=lm，l=2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角

q

=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。B4/11/202443.中心架1、如卸荷装置、中心架（或跟刀架）卸荷带轮一．改善结构形式，减小弯矩的数值。§6-6提高弯曲刚度的一些措施4/11/202444.3、缩小跨距2、合理安排梁的约束与加载方式选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的刚度。但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的刚度。二．选择合理的截面形状。

三．合理选择材料4/11/202445.本章小结1．挠度和转角的正负方向确定2．掌握用积分法求梁的挠曲线和转角方