等差数列的通项公式上课

关于等差数列的通项公式上课一般地，如果一个数列

a1,a2,a3，…，an…

从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，

a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d

那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。知识回顾an+1-an=d(n∈N*)第2页,共31页，2024年2月25日，星期天通项公式的推导1（归纳猜想）设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：

a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…所以有：an=a1+(n-1)d

当n=1时，上式也成立。所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d（n∈N*）问an=?

通过观察：a2，a3，a4都可以用a1与d

表示出来；a1与d的系数有什么特点？a1、an、n、d知三求一…a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,…an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d第3页,共31页，2024年2月25日，星期天叠加得…等差数列的通项公式推导2（叠加）第4页,共31页，2024年2月25日，星期天例1.在等差数列｛an｝中,已知a3=10,a9=28,求a12。推广：等差数列｛an｝中，am,an(n>m)等差数列的通项公式一般形式:

an=am+(n－m)d.

解：由题意得

a1+2d=10a1+8d=28所以a12=4+(12-1)×3=37注:a12=a1+11d=a1+2d+(12-3)d=a3+(12-3)d=a1+8d+(12-9)d=a9+(12-9)d解得：a1=4d=3练一练：已知a5=11,a8=5,求等差数列｛an｝的通项公式.第5页,共31页，2024年2月25日，星期天练习1、填空题：

(1)已知等差数列3，7，11，…，则a11=

(2)已知等差数列11，6，1，…，则an=

(3)已知等差数列10，8，6，…，中，-10是第（）项43-5n+1611第6页,共31页，2024年2月25日，星期天练习2.已知等差数列｛an｝的通项公式为an=2n–1.

求首项a1和公差d.变式引申:如果一个数列｛an｝的通项公式an=kn+d,其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗?语言描述这种现象想一想！第7页,共31页，2024年2月25日，星期天性质一、思考：1.若在a,b中插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应该满足什么条件？2.在-1与9之间顺次插入a，b，c三个数，使这五个数成等差数列，求插入的三个数和等差数列的公差？第8页,共31页，2024年2月25日，星期天第9页,共31页，2024年2月25日，星期天

在等差数列中，为公差，若且求证：

证明：设首项为，则例4.等差数列的性质二第10页,共31页，2024年2月25日，星期天注意：①上面的命题的逆命题

是不一定成立的；②上面的命题中的等式两边有

相同数目的项，否则不成立。如a1+a2=a3成立吗？第11页,共31页，2024年2月25日，星期天第12页,共31页，2024年2月25日，星期天在等差数列{an}中，已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.【解析】a4+a5+a6+a7=56，所以a4+a7=28，①又a4a7=187②，联立①②解得a4=17，a7=11，

a4=11，a7=17，

或所以d=-2或2,从而a14=-3或31.例题分析第13页,共31页，2024年2月25日，星期天练习.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8第14页,共31页，2024年2月25日，星期天等差数列的单调性由等差数列的定义知an＋1－an＝d，当d＞0时，an＋1＞an即{an}为递增数列；当d＝0时，an＋1＝an

即{an}为常数列；当d＜0时，an＋1＜an

即{an}为递减数列．第15页,共31页，2024年2月25日，星期天第16页,共31页，2024年2月25日，星期天（2）四个数成递增等差数列，中间两个数和为2，首末两项的积为-8，求这四个数。练习：（1）三个数成等差数列，和为6，积为-24，求这三个数。第17页,共31页，2024年2月25日，星期天性质四、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，……an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m第18页,共31页，2024年2月25日，星期天性质四、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d第19页,共31页，2024年2月25日，星期天性质四、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，……是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd第20页,共31页，2024年2月25日，星期天性质四、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a2+a3，a3+a4，……是等差数列，公差为2d

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。第21页,共31页，2024年2月25日，星期天例：第22页,共31页，2024年2月25日，星期天性质五、1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}也为等差数列，公差为kd。2、若数列{an}与{bn}都为等差数列，则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等差数列，{pan+qbn}也为等差数列。第23页,共31页，2024年2月25日，星期天第24页,共31页，2024年2月25日，星期天1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中

(1)

若a59=70，a80=112，求a101；

(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0课堂练习第25页,共31页，2024年2月25日，星期天(4)第26页,共31页，2024年2月25日，星期天例3第27页,共31页，2024年2月25日，星期天练习已知，求的值。解:第28页,共31页，2024年2月25日，星期天小结★掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题

an=a1+(n－1)d★提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力第29页,共31页，2024年2月25日，星期天am+an=ap+aq【说明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}为等差数列

2.a、b、c成等差数列

an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）a