陕西省西安市八校联考2023-2024学年高三下学期理科数学试题（含答案）

届高三年级数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集，集合，，则（）．A． B． C． D．2．i是虚数单位，若复数则z的共轭复数（）A． B． C． D．3．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则m的值可以是（）．A． B． C． D．4．已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差（）X02040PmmA．120 B．160 C．200 D．2605．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（）．A．18 B．14 C．10 D．6．随机取实数t，，则关于x的方程有两个负根的概率为（）．A． B． C． D．7．如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）．A． B． C． D．8．已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，图像在A、B两点处的切线相交于点P．若，则的面积的最小值为（）．A．1 B． C．2 D．49．某三甲医院选定A、B、C、D、E5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A与B必须在同一医院，B与C一定不在同一医院．则不同的选派方案有（）．A．48种 B．42种 C．36种 D．30种10．已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）．A． B．3 C． D．11．已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于x的方程至少有两解，则a的取值范围为（）．A． B． C． D．12．已知函数的零点为，存在零点，使（参考值）．则不能是（）．A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知单位向量、反向，向用，，若，则实数________．14．已知的展开式中，含x项的系数为k，．则________．15．某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，，，，，，，，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．16．已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，为等腰直角三角形，A为直角，若这样的有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为________．三、解答题（共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列，满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前n项和为．求证：．18．（本小题满分12分）已知为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积为，求c的最小值．19．（本小题满分12分）如图所示多面体中，四边形ABCD和四边形ACEF均为正方形，棱，G为EF的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD；（Ⅱ）求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，其焦点为F，过点F的直线l交抛物线S于A和B两点，，角（如图）．（Ⅰ）求抛物线S的方程；（Ⅱ）在抛物线S上是否存在关于直线l对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若在其定义域上单调递增，求k的取值范围；（Ⅱ）证明：对，．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22．[选修4-4：极坐标与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求出直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线相交于A、B两点，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求不等式的解集．西安地区“八校”2024届高三年级联考▲理数试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共60分．题号123456789101112答案BADCBDACDACD第12题提示：是增函数，且，，．用二分法，得．选项A，的零点为1、，；选项B，的零点为；选项C，的零点为…、、、、…；选项D，的零点为0．逐依验证即可．二、填空题：每小题5分，共20分．13．14．102315．11416．第16题提示：不妨设直线AB的斜率为，则直线AC的斜率为，写直线方程，用“设而不求”或求出和，求出、，由，得到含有k和a的方程，由题意，此关于k的方程有唯一解，得，得．三、解答题：共70分．17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设等比数列的公比为.则由题意得，解之，得，． 4分数列的通项公式为． 6分（Ⅱ）证明：．，． 8分 10分，当且仅当时取等号．，即． 12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，得， 2分即，得．，，或舍去． 4分在钝角三角形中，，，得C为钝角．所以．． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．，得． 8分由余弦定理，得． 10分．当且仅当时等号成立．的最小值是12． 12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：四边形ABCD和四边形ACEF均为正方形．，又，且AC与BD是平面ABCD上的两条相交直线．平面ABCD． 4分由ACEF为正方形，得．平面ABCD． 6分（Ⅱ）解：由题意知，直线AB、AD、AF两两互相垂直．分别以直线AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐系．设，则．于是，有，，，，，，，，，．设平面BCG的一个法向量为，则，即，得．取，得．所以． 9分，，．平面ACEF，即平面ACG．是平面ACG的一个法向量． 10分设二面角的大小为，结合图形，知为锐角．．二面角的余弦值为． 12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得，直线的倾斜角为．直线，即．联立方程组，消去x，整理得．因为，直线l过抛物线S的焦点F，所以，直线l与拋物线S必有两个不同交点． 3分设，．则，．．得．抛物线． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线，，直线．假设在抛物线S上存在关于直线l对称的相异两点M和N．那么，直线直线l，则直线MN的斜率为． 6分设直线．由方程组，消去y，得．令，得． 8分设，，线段MN的中点，点Q也在直线l上．则，，． 10分，解之得．即满足要求的直线MN不存在．假设错误．即在抛物线S上不存在关于直线l对称的相异两点． 12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）的定义域为． 2分在上单调递增时，在上恒成立，得在恒成立，即在上恒成立． 3分设，得．由，得，或（舍去）．当时，，在上单调道增；当时，，在上单调递增．在处取得极大值也是最大值，即． 5分．在其定义域上单调递增时，k的取值范围为． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增．当，时，，即．①令，则，代入①，整理得．② 8分在②中，依次令．顺次得到，，，…，． 10分将以上各不等式两边分别相加并整理，得．证毕． 12分22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为． 3分由曲线的极坐标方程为，得，得曲线的直角坐标方程为． 5分（Ⅱ）由直线l的参数方程可知，直线l过定点，倾斜角为，其参数方程为标