中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)

第页中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一.选择题1.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）（A） （B） （C） （D）（第（第1题）2.如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有AABCDEFGA．1个 B．2个 C．3个D．4个4.如图，ΔABC中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交、于D、E两点，并连接、．若∠A=30，＝，则∠BDE的度数为何？A．45B．52．5C．67．5D．755.如图(1)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图(2)所示．求图(1)与图(2)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？图1图2A．2：1B．3：2C．4：3D．5：46.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm7.如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于（）A．B．C．D．8.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16B．18C．20D．16或209．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（） A． 20°B．50°C．60°D．80°10．把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）第11题图A第11题图ADEFPQCB11.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为()A．2B．2C．D．312．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．913．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A． 20或16B．20C．16D．以上答案均不对14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A． B． C． D．15．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A．2B．3C．D．+116.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④．其中正确的结论有（）A．1个B．2个 C．3个D．4个二.填空题1.边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.3.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为．4.已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为5.如图，在△ABC中，AB=AC，，则△ABC的外角∠BCD＝°．（第（第5题）6.如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。7.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则．第第7题D8.如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.9.如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使BB=BA，连结AB…按此规律上去，记∠ABB=，∠，…，∠则⑴=；⑵=。10．如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。11.如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．（第11题图）12.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．13.等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是．14.一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．15.一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为．16.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为________°.18.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=70º，则∠BAD=º．19.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=．20.如图，是上的三点，．，则度．21.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是.三.解答题1.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？2.如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．ABABECDOABCEDO3.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．4.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

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第4题图BAEDFC5.是一张等腰直角三角形纸板，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.6.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“>”,“<”或“=”）.7.如图1，过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定。特别的，当点D重合时，规定。另外。对、作类似的规定。（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30º，求、；（2）在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且，面积也为2；（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×）①若△ABC中，，则△ABC为锐角三角形；（）②若△ABC中，，则△ABC为直角三角形；（）③若△ABC中，，则△ABC为钝角三角形；（）8.如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在▲关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β.当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合.已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系图1图1图2图3PB1FMADOECCBA1PB1FMADOECCBA1PB1ADOCBA19.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．10．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5,若BC＝8时，求PQ的长.11.已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。13.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

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第13题图BAEDFC14.如图5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．AABCDO图515.如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB=AC．第15题图第15题图16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．答案及解析一.选择题1.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）（A） （B） （C） （D）（第7题）（第7题）【答案】B2.如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【答案】D3.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有AABCDEFGA．1个 B．2个 C．3个D．4个【答案】D4.如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交、于D、E两点，并连接、．若∠A=30，＝，则∠BDE的度数为何？A．45B．52．5C．67．5D．75【答案】Ｃ5.如图(十六)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A．2：1B．3：2C．4：3D．5：4【答案】Ｃ6.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm【答案】D7.如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于（）A．B．C．D．【答案】C8.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16B．18C．20D．16或20【答案】C9．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（） A． 20°B．50°C．60°D．80°解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．故选B．10．把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）解答：解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选C．11.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为()A．2B．2C．D．3【答案】C12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．9解答：解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．13．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A． 20或16B．20C．16D．以上答案均不对解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A． B． C． D．QUOTE【答案】C15．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A．2B．3C．D．+1解答：解：延长BC至F点，使得CF=BD，∵ED=EC∴∠EDB=∠ECF∴△EBD≌△EFC∴∠B=∠F∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB∴∠ACB=∠F∴AC∥EF∴AE=CF=2∴BD=AE=CF=2故选A．16.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④．其中正确的结论有（）A．1个B．2个 C．3个D．4个【答案】C二.填空题1.边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】cm2.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.【答案】4或63.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为．【答案】4.已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为【答案】80º5.如图，在△ABC中，AB=AC，，则△ABC的外角∠BCD＝°．（第14题）（第14题）【答案】1106.如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。【答案】80°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。7.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则．第15题第15题D【答案】8.如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.【答案】49.如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使BB=BA，连结AB…按此规律上去，记∠ABB=，∠，…，∠则⑴=；⑵=。【答案】⑴⑵10．如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。【答案】80°。11.如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．（第15题图）【答案】eq\f(31,2)12.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．【答案】1513.等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是．【答案】11或13．14.一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．【答案】16或1715.一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为．答案：20cm16.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。答案：6和4或5和517.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为________°.【答案】36°18.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=70º，则∠BAD=º．【答案】35º19.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=．【答案】40°．20.如图，是上的三点，．，则度．[答案].21.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是.【答案】三.解答题1.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴，即，所以，（3）当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；此时，GC=，即x=当CG＞时，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．2.如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．AABCEDO【答案】ABECDOABECDO∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE．……3分∴AD=AE．……4分(2)互相垂直……5分在Rt△ADO与△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO．……6分∴∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分线．………7分又∵AB=AC，∴OA⊥BC．………8分3.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．【答案】（1）在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；（2）如图，连接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．4.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．BBAEDFC【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=55.是一张等腰直角三角形纸板，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得又甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，解法2：如图甲，由题意得如图乙，设甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)(3)(3)解法1：探索规律可知：‘剩余三角形的面积和为：解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为第二次剪取后剩余三角形面积和为第三次剪取后剩余三角形面积和为…第十次剪取后剩余三角形面积和为6.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“>”,“<”或“=”）.第25题图2第25题图1第25题图2第25题图1（2）特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是：（填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）.【答案】（1）=.（2）=.方法一：如图，等边三角形中，是等边三角形，又.方法二：在等边三角形中，而由是正三角形可得(3)1或3.7.如图1，过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定。特别的，当点D重合时，规定。另外。对、作类似的规定。（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30º，求、；（2）在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且，面积也为2；（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×）①若△ABC中，，则△ABC为锐角三角形；（）②若△ABC中，，则△ABC为直角三角形；（）③若△ABC中，，则△ABC为钝角三角形；（）【答案】解:（1）如图，作CD⊥AB，垂足为D，作中线CE、AF。∴=1∵Rt△ABC中，∠CAB=30º，∴AE=CE=BE,∠CEB=60º，∴△CEB是正三角形，∵CD⊥AB∴AE=2DE∴=；∴=1，=；（2）如图所示：（3）①×；②√；③√。8.如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在▲关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β.当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合.已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系图1图1图2图3PB1FMADOECCBA1PB1FMADOECCBA1PB1ADOCBA1【答案】（1）相似由题意得：∠APA1=∠BPB1=αAP=A1PBP=B1P则∠PAA1=∠PBB1=∵∠PBB1=∠EBF∴∠PAE=∠EBF又∵∠BEF=∠AEP∴△BEF∽△AEP（2）存在，理由如下：易得：△BEF∽△AEP若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可∴∠BAE=∠ABE∵∠BAC=60°∴∠BAE=∵∠ABE=β∠BAE=∠ABE∴即α=2β+60°（3）连结BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H.PPB1ADOCBA1HG∵∠B1A1P=∠A1PA=60°∴A1B1∥AC由题意得：AP=A1P∠A=60°∴△PAA1是等边三角形∴A1H=在Rt△ABD中，BD=∴BG=∴（0≤x＜2）9.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．【答案】（1）解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∠ECD=∠A=36°.解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，又∵DE=DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD=∠A=36°.（2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∵∠ECD=36°，∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，∠BEC=72°=∠B，∴BC=EC=5.解法二：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.10．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5,若BC＝8时，求PQ的长.【答案】：(1)证明ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC,CD＝CE且∠ACB＝∠DCE＝60°∵∠A