等比数列的概念教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题等比数列的概念（第一课时)教科书书名：数学选择性必修第二册教材出版社：人民教育出版社教学目标1.通过实例类比等差数列定义理解等比数列的概念并学会简单应用。2.掌握等比数列通项公式并了解其推导过程。教学内容教学重点：等比数列的定义、通项公式的理解与应用。

教学难点：等比数列通项公式的推导与应用。教学过程一、类比引入回顾等差数列的定义及相关概念：知识体系等差数列定义（文字语言）一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，公差用表示．定义（符号语言）中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项，．通项公式前项和公式问题1：我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”。类比等差数列的研究思路和方法，从运算角度是否还有数列值得研究呢？先来看下列几个问题中的数列：1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:①②③2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是④3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是⑥问题2：类比等差数列的研究，你觉得可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？说说你的发现：如果用表示数列①，那么有.其余几个数列也有这样的取值规律吗？请你试着写一写。数列②；数列③；数列④；数列⑤数列⑥问题3：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？二、新授一）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)．符号语言：．二）等比中项问题4：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时，．三）等比数列的通项公式问题5：类比等差数列求通项公式的方法（累加法），你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?设一个等比数列的首项是，公比是，则由定义可知且．方法一：（累乘法）.当时，上式也成立．故方法二：（迭代法）设一个等比数列的首项是，公比是，则由定义知，，，，由此可得，又，即当时，上式也成立．于是，首项为，公比为的等比数列的通项公式为问题6：在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比

q

由知，当且时,；当时,为关于项数的指数型函数．反之，指数型函数(为常数,且)构成一个等比数列：，其首项为，公比为.问题7：类比指数函数的性质,你能说说公比的等比数列的单调性吗?——此为指数型函数指数函数的单调性单调递减单调递增等比数列的单调性单调递减单调递增等比数列的单调性单调递减单调递增单调递增单调递减三、巩固应用【例1】若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解．解法1：由，，得②的两边分别除以①的两边，得．解得或．把代入①，得．此时，．把代入①，得．此时，．因此，的第5项是24或．解法2：因为，所以是与的等比中项，于是．所以．因此，的第5项是24或．归纳：（1）等比数列通项公式的求法i）根据已知条件，建立关于的方程组，求出后再求，这是常规方法．ii）充分利用各项之间的关系，直接求出后，再求，最后求，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．（2）例2结论推广——等比数列性质i）若，则；ii）若，则．【例2】已知等比数列的公比为,试用的第项表示.解析：由题意,得①②②的两边分别除以①的两边，得，所以.【例3】数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．解析：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．于是得解方程组，得或所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．五、练习巩固1.在等比数列中，，．求和公比q．分析：设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列的性质求出，即可求出，再代入，即可求出；解析：设等比数列的首项为，公比为，因为，，由等比数列的性质可得，，又，，，，解得：，当时，由，所以；当时，由，所以所以或2.已知数列是等比数列．（1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？（2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？分析：（1）分别说明和即可；（2）分别说明和即可.解析：（1）设等比数列的公比为，则，，，所以，，成等比数列，，则，所以，，成等比数列；（2），，，所以，，成等比数列；又，则，所以，，是等比数列.六、课堂小结：1.基本知识点：知识体系等差数列等比数列定义（文字语言）一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，公差用表示．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)．定义（符号语言）中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项，．如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时，．通项公式；2.等比数列的性质：在等比数列中，i）若，则；ii）若，则；

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题等比数列的概念（第二课时）教科书书名：数学选择性必修第二册教材出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学目标1.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题．2.探究发现等差与等比数列的联系，并能解决相关问题.教学内容教学重点：实际问题数学模型化的探究，等比数列与等差数列的联系.

教学难点：实际问题数学化成等比数列问题的分析与理解教学过程一、复习巩固等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)．符号表示：．通项公式：函数性质：等比数列：的单调性单调递减单调递增无单调性单调递增单调递减无单调性二、典例分析例1用10000元购买某个理财产品一年．（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？分析：1.复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，2.若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列．解析：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以．所以，12个月后的利息为（元）．（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是．因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元．解不等式，得．所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．归纳：一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．设计意图：通过运用等比数列模型，解决实际问题．发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养．增强应用意识．例2已知数列的首项．（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．【证明】（1）由，，得的通项公式为．设，则．又，所以，是以27为首项，9为公比的等比数列．（2）由，，得．两边取以3为底的对数，得．所以．又，所以，是首项为1，公差为的等差数列．结论：1.若是等差数列，则数列是等比数列；2.若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列设计意图：通过典型例题，加深对等差与等比数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。例3设等比数列满足，，则的最大值为．解析一：等比数列满足，即，解得．则，当或4时，表达式取得最大值为．故答案为64．解析二：等比数列满足，即，解得．则，记，则，两式相乘，得，所以．后面解析同方法一．设计意图：通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理和数学运算的核心素．三、应用巩固1．在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，则这两个数依次为.答案：27、81解析：在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，设等比数列的公比为，则，解得，所以在9与243中间插入2个数为、.2．正项等比数列满足，则的最小值为（）A.B.C.D.答案：C解析：设等比数列的公比为，由已知可得，则有，所以，当且仅当